TechCodeview

Om du studerar trig eller kalkyl - eller gör dig redo för det - måste du bekanta dig med enhetscirkeln. Enhetscirkeln är ett viktigt verktyg som används för att lösa sinus, cosinus och tangens för en vinkel. Men hur fungerar det? Och vilken information behöver du veta för att kunna använda den?

I den här artikeln förklarar vi vad enhetscirkeln är och varför du bör känna till den. Vi ger dig också tre tips som hjälper dig att komma ihåg hur du använder enhetscirkeln.

Funktionsbild: Gustavb /Wikimedia

Enhetscirkeln: En grundläggande introduktion

Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1. Detta betyder att för varje rät linje som dras från cirkelns mittpunkt till valfri punkt längs kanten av cirkeln, kommer längden på den linjen alltid att vara lika med 1. (Detta betyder också att cirkelns diameter blir lika med 2, eftersom diametern är lika med två gånger radiens längd.)

Vanligtvis, enhetscirkelns mittpunkt är där x-axeln och y-axeln skär varandra, eller vid koordinaterna (0, 0):

Enhetscirkeln, eller triggcirkeln som den också kallas, är användbar att veta eftersom den låter oss enkelt beräkna cosinus, sinus och tangens för valfri vinkel mellan 0° och 360° (eller 0 och 2π radianer).

Som du kan se i diagrammet ovan kommer du att skapa en rätvinklig triangel genom att rita en radie i valfri vinkel (markerad med ∝ i bilden). På denna triangel är cosinus den horisontella linjen och sinus den vertikala linjen. Med andra ord, cosinus =x-koordinat, och sinus = y-koordinat. (Triangelns längsta linje, eller hypotenusa, är radien och är därför lika med 1.)

Varför är allt detta viktigt? Kom ihåg att du kan lösa längden på sidorna i en triangel med hjälp av Pythagoras sats, eller $a^2+b^2=c^2$ (i vilken a och b är längden på triangelns sidor, och c är hypotenusans längd).

Vi vet att cosinus för en vinkel är lika med längden på den horisontella linjen, sinus är lika med längden på den vertikala linjen och hypotenusan är lika med 1. Därför kan vi säga att formeln för en rätvinklig triangel i enhetscirkeln är följande:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Eftersom ^2=1$ kan vi förenkla denna ekvation så här:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Tänk på att dessa värden kan vara negativa beroende på vilken vinkel som bildas och vilken kvadrant x- och y-koordinaterna faller i (jag kommer att förklara detta mer i detalj senare).

Här är en översikt över alla större vinklar i grader och radianer på enhetscirkeln:

k närmaste granne algoritm

Enhetscirkel — grader

Enhetscirkel — Radianer

Men vad händer om det inte bildas någon triangel? Låt oss titta på vad händer när vinkeln är 0°, vilket skapar en horisontell rät linje längs x-axeln:

På den här linjen är x-koordinaten lika med 1 och y-koordinaten lika med 0. Vi vet att cosinus är lika med x-koordinaten och sinus är lika med y-koordinaten, så vi kan skriva detta:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Tänk om vinkeln är 90° och gör en perfekt vertikal linje längs y-axeln?

Här kan vi se att x-koordinaten är lika med 0 och y-koordinaten är lika med 1. Detta ger oss följande värden för sinus och cosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Denna slogan gäller definitivt om du inte är en matteälskare.

Varför du bör känna till enhetscirkeln

Som nämnts ovan är enhetscirkeln till hjälp eftersom det låter oss enkelt lösa för sinus, cosinus eller tangens för vilken grad eller radian som helst. Det är särskilt användbart att känna till enhetscirkeldiagrammet om du behöver lösa vissa triggvärden för matteläxor eller om du förbereder dig för att studera kalkyl.

Men exakt hur kan det hjälpa dig att känna till enhetscirkeln? Låt oss säga att du får följande problem på ett matteprov – och är det inte får använda en miniräknare för att lösa det:

$$sin30°$$

Var börjar du? Låt oss ta en titt på enhetscirkeldiagrammet igen - den här gången med alla större vinklar (i både grader och radianer) och deras motsvarande koordinater:

Jim.belk /Wikimedia

Bli inte överväldigad! Kom ihåg att allt du löser för är $sin30°$. Genom att titta på det här diagrammet kan vi se det y-koordinaten är lika med /2$ vid 30°. Och eftersom y-koordinaten är lika med sinus är vårt svar som följer:

$$sin30°=1/2$$

Men vad händer om du får ett problem som använder radianer istället för grader? Processen för att lösa det är fortfarande densamma. Säg till exempel att du får ett problem som ser ut så här:

$$cos{{3π}/4}$$

Återigen, med hjälp av diagrammet ovan, kan vi se att x-koordinaten (eller cosinus) för ${3π}/4$ (vilket är lika med 135°) är $-{√2}/2$. Så här skulle vårt svar på det här problemet se ut då:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Allt detta är ganska enkelt om du har enhetscirkeldiagrammet ovan att använda som referens. Men för det mesta (om inte hela tiden) kommer detta inte att vara fallet, och du förväntas svara på dessa typer av matematikfrågor enbart med din hjärna.

Så hur kan du komma ihåg enhetscirkeln? Läs vidare för våra bästa tips!

Hur man kommer ihåg enhetscirkeln: 3 viktiga tips

I det här avsnittet ger vi dig våra bästa tips för att komma ihåg triggcirkeln så att du enkelt kan använda den för alla matematiska problem som kräver det.

Jag skulle inte rekommendera att öva enhetscirkeln med post-its, men hej, det är en början.

#1: Memorera vanliga vinklar och koordinater

För att kunna använda enhetscirkeln effektivt måste du göra det memorera de vanligaste vinklarna (i både grader och radianer) samt deras motsvarande x- och y-koordinater.

Diagrammet ovan är ett användbart enhetscirkeldiagram att titta på, eftersom det inkluderar alla större vinklar i både grader och radianer, förutom deras motsvarande koordinatpunkter längs x- och y-axlarna.

Här är ett diagram som visar samma information i tabellform:

Nu, även om du är mer än välkommen att försöka memorera alla dessa koordinater och vinklar, så är det här mycket av saker att komma ihåg.

Lyckligtvis finns det ett knep du kan använda för att hjälpa dig komma ihåg de viktigaste delarna av enhetscirkeln.

Titta på koordinaterna ovan och du kommer att märka ett tydligt mönster: alla punkter (exklusive de vid 0°, 90°, 270° och 360°) alternera mellan bara tre värden (oavsett om det är positivt eller negativt):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Varje värde motsvarar en kort, medium eller lång rad för både cosinus och sinus:

Så här betyder dessa längder:

Kort horisontell eller vertikal linje= /2$ Medium horisontell eller vertikal linje= ${√2}/2$ Lång horisontell eller vertikal linje= ${√3}/2$

Till exempel, om du försöker lösa $cos{π/3}$, bör du genast veta att denna vinkel (som är lika med 60°) indikerar en kort horisontell linje på enhetscirkeln. Därför, dess motsvarande x-koordinat måste vara lika med /2$ (ett positivt värde, eftersom $π/3$ skapar en punkt i den första kvadranten av koordinatsystemet).

Slutligen, även om det är bra att memorera alla vinklar i tabellen ovan, notera det de absolut viktigaste vinklarna att komma ihåg är följande:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Behandla dina negativa och positiva som du skulle göra med kablar som potentiellt kan döda dig om de kopplas in på fel sätt.

#2: Lär dig vad som är negativt och vad som är positivt

Det är viktigt att kunna särskilja positiva och negativa x- och y-koordinater så att du hittar rätt värde för ett triggproblem. Som en påminnelse, I om en koordinat på enhetscirkeln kommer att vara positiv eller negativ beror på vilken kvadrant (I, II, III eller IV) punkten faller under:

Här är ett diagram som visar om en koordinat kommer att vara positiv eller negativ baserat på kvadranten en viss vinkel (i grader eller radianer) befinner sig i:

Säg till exempel att du får följande problem på ett matteprov:

$$cos210°$$

Innan du ens försöker lösa det bör du kunna inse att svaret kommer att bli ett negativt tal eftersom vinkeln 210° faller i kvadrant III (där x-koordinaterna är alltid negativ).

Nu, med hjälp av tricket vi lärde oss i tips 1, kan du räkna ut att en vinkel på 210° skapar en lång horisontell linje. Därför är vårt svar som följer:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Vet hur man löser för Tangent

Slutligen är det viktigt att veta hur man använder all denna information om triggcirkeln och sinus och cosinus för att kunna lösa tangenten för en vinkel.

I trig, för att hitta tangenten för en vinkel θ (i antingen grader eller radianer), gör du helt enkelt dividera sinus med cosinus:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Säg till exempel att du försöker svara på det här problemet:

$$ an300°$$

Det första steget är att sätta upp en ekvation i termer av sinus och cosinus:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Nu, för att lösa tangenten, måste vi hitta sinus och cosinus 300°. Du bör snabbt kunna känna igen att vinkeln 300° faller i fjärde kvadranten, vilket betyder att cosinus, eller x-koordinaten, kommer att vara positiv, och sinus, eller y-koordinaten, kommer att vara negativ.

Det ska du också veta direkt vinkeln 300° skapar en kort horisontell linje och en lång vertikal linje. Därför kommer cosinus (den horisontella linjen) att vara lika med /2$, och sinus (den vertikala linjen) kommer att vara lika med $-{√3}/2$ (ett negativt y-värde, eftersom denna punkt är i kvadrant IV) .

Nu, för att hitta tangenten, är allt du gör att koppla in och lösa:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Dags att spinna på dina matematiska färdigheter!

Unit Circle Practice Frågeset

Nu när du vet hur enhetscirkeln ser ut och hur man använder den, låt oss testa vad du har lärt dig med några övningsproblem.

Frågor

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Svar

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

Svarsförklaringar

#1: $sin45°$

Med detta problem finns det två delar av information som du bör kunna identifiera direkt:

Svaret kommer att vara positivt,eftersom vinkeln 45° är i kvadrant I, och sinus för en vinkel är lika med y-koordinaten

• Vinkeln 45° skapar en medellång vertikal linje (för dem)

Eftersom 45° indikerar en positiv, medellång linje, det rätta svaret är ${√2}/2$.

Om du inte är säker på hur du ska räkna ut detta, rita ett diagram som hjälper dig att avgöra om längden på linjen kommer att vara kort, medium eller lång.

#2: $cos240°$

Liksom problem #1 ovan finns det två delar av information som du snabbt borde kunna förstå med detta problem:

Svaret blir negativt,eftersom vinkeln 240° är i kvadrant III, och cosinus för en vinkel är lika med x-koordinaten

• Vinkeln 240° skapar en kort horisontell linje (för cosinus)

Eftersom 240° indikerar en negativ, kort linje, det rätta svaret är $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

Till skillnad från problemen ovan använder detta problem radianer istället för grader. Även om detta kan få problemet att se svårare ut att lösa, använder det i verkligheten samma grundläggande steg som de andra två problemen.

Först bör du inse att vinkeln ${5π}/3$ är i kvadrant IV, så x-koordinaten, eller cosinus, blir ett positivt tal. Det borde du också kunna berätta${5π}/3$skapar en kort horisontell linje.

Detta ger dig tillräckligt med information för att avgöra det de svaret är /2$.

#4: $ an{2π}/3$

Det här problemet handlar om tangent istället för sinus eller cosinus, vilket innebär att det kommer att kräva lite mer matematik från vår sida. Först och främst, minns den grundläggande formeln för att hitta tangent:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Låt oss nu ta graden vi har fått – ${2π}/3$– och koppla in den i denna ekvation:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Du bör nu kunna lösa sinus och cosinus separat med det du har memorerat om enhetscirkeln. Eftersom vinkeln ${2π}/3$ är i kvadrant II, x-koordinaten (eller cosinus) kommer att vara negativ, och y-koordinaten (eller sinus) kommer att vara positiv.

Därefter bör du kunna bestämma enbart utifrån vinkeln att den horisontella linjen är en kort rad, och den vertikala linjen är en lång rad. Det betyder att cosinus är lika med $-1/2$, och sinus är lika med ${√3}/2$.

Nu när vi har räknat ut dessa värden behöver vi bara koppla in dem i vår initiala ekvation och lösa tangenten:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Vad kommer härnäst?

Om du tar SAT eller ACT snart, måste du känna till några trigg så att du kan göra bra ifrån dig i matematikavsnittet. Ta en titt på våra expertguider för att trigga på SAT och ACT så att du kan lära dig exakt vad du behöver veta för testdagen!

Förutom att memorera enhetscirkeln, det är en bra idé att lära sig hur man kopplar in siffror och hur man kopplar in svar . Läs våra guider för att lära dig allt om dessa två användbara strategier, som du kan använda på alla matematiktest – inklusive SAT och ACT!