Area Under Curve är area som omges av kurva och koordinataxlarna, den beräknas genom att ta väldigt små rektanglar och sedan ta deras summa om vi tar oändligt små rektanglar så beräknas deras summa genom att ta gränsen för den funktion som så bildas.

För en given funktion f(x) definierad i intervallet [a, b] ges arean (A) under kurvan för f(x) från 'a' till 'b' av A = ∫ _a ^b f(x)dx . Arean under en kurva beräknas genom att ta funktionens absoluta värde över intervallet [a, b], summerat över området.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om området under kurvan, dess tillämpningar, exempel och andra i detalj.

Innehållsförteckning

• Vad är Area Under Curve?
• Beräkna arean under kurvan
• Använda Reimann Sums
• Använda bestämda integraler
• Ungefärlig area under kurva
• Beräknar area under kurva
• Formler för område under kurva

Vad är Area Under Curve?

Area Under the Curve är area som omges av en kurva med x-axeln och givna randvillkor, dvs området som begränsas av funktionen y = f(x), x-axeln och linjen x = a och x = b. I vissa fall finns det bara ett eller inget gränsvillkor eftersom kurvan skär x-axeln antingen en eller två gånger respektive.

Arean under kurvan kan beräknas med hjälp av olika metoder som Reimann summa och Definitiv integral och vi kan också approximera området med hjälp av de grundläggande formerna, dvs triangel, rektangel, trapets, etc.

Läs i detalj: Kalkyl i matematik

Beräkna arean under kurvan

För att beräkna arean under en kurva kan vi använda följande metoder som:

• Använda Reimann Sums
• Använda bestämda integraler
• Använder Approximation

Låt oss studera dessa metoder i detalj enligt följande:

Använda Reimann Sums

Reimann Summor beräknas genom att dela en given funktions graf i mindre rektanglar och summera arean för varje rektangel. Ju fler rektanglar vi överväger genom att dela upp det angivna intervallet, desto mer exakt är arean som beräknas med detta tillvägagångssätt; men ju fler delintervall vi tar hänsyn till, desto svårare blir beräkningarna.

Reimann Summa kan klassificeras i ytterligare tre kategorier som:

• Vänster Reimann Sum
• Rätt Reimann Summa
• Mittpunkt Reimann Summa

Arean som använder Reimann-summan ges enligt följande:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

var,

• f(x _i ) är värdet av den funktion som integreras vid i ^th provpunkt
• Ax = (b-a)/n är bredden på varje delintervall,
  • a och b är gränserna för integration och
  • n är antalet delintervall
• ∑ representerar summan av alla termer från i=1 till n,

Exempel: Hitta arean under kurvan för funktion, f(x) = x ² mellan gränserna x = 0 och x = 2.

Lösning:

Vi vill hitta arean under kurvan för denna funktion mellan x = 0 och x = 2. Vi kommer att använda en vänster Reimann Summa med n = 4 delintervall för att approximera arean.

Låt oss beräkna arean under kurvan med 4 delintervall.

Således, bredd på delintervall, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Alla de 4 delintervallen är,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

x₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Nu kan vi utvärdera funktionen vid dessa x-värden för att hitta höjderna på varje rektangel:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Arean under kurvan kan nu approximeras genom att summera arean av rektanglarna som bildas av dessa höjder:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Därför är arean under kurvan för f(x) = x²mellan x = 0 och x = 2, approximerad med hjälp av en vänster Reimann Summa med 4 delintervall, är ungefär 1,25.

Använda bestämda integraler

Definite Integral är nästan samma som Reimann-summan men här närmar sig antalet delintervall oändligheten. Om funktionen ges för intervall [a, b] definieras den bestämda integralen som:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

En bestämd integral ger den exakta arean under kurvan, till skillnad från Reimann-summan. Den bestämda integralen beräknas genom att hitta funktionens antiderivata och utvärdera den vid integrationens gränser.

Område med avseende på X-axeln

Kurvan som visas i bilden nedan representeras med y = f(x). Vi måste beräkna arean under kurvan med avseende på x-axeln. Gränsvärdena för kurvan på x-axeln är a respektive b. Arean A under denna kurva med avseende på x-axeln beräknas mellan punkterna x = a och x = b. Tänk på följande kurva:

Formel för area under kurvan w.r.t till x-axeln ges av:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

Charat i sträng

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

var,

• A är Area Under Curve
• och eller f(x) är ekvation av kurva
• en, och b är x-värden eller integrationsgräns, för vilka vi behöver beräkna area

Område med avseende på Y-axeln

Kurvan som visas i bilden ovan representeras med x = f(y). Vi måste beräkna arean under kurvan med avseende på Y-axeln. Gränsvärdena för kurvan på Y-axeln är a respektive b. Arean A under denna kurva med avseende på Y-axeln mellan punkterna y = a och y = b. Tänk på följande kurva:

Formel för area under kurvan w.r.t till y-axeln ges av:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

var,

• A är Area Under Curve
• x eller f(y) är ekvation av kurva
• a, b är y-Intercepts

Lär dig mer, Område mellan två kurvor

Ungefärlig area under kurva

Att approximera arean under kurvan innebär att man använder enkla geometriska former, såsom rektanglar eller trapetser, för att uppskatta arean under kurvan. Denna metod är användbar när funktionen är svår att integrera eller när det inte är möjligt att hitta en antiderivata av funktionen. Noggrannheten av approximationen beror på storleken och antalet former som används.

Beräknar area under kurva

Vi kan enkelt beräkna arean av de olika kurvorna med hjälp av begreppen som diskuteras i den givna artikeln. Låt oss nu överväga några exempel på beräkning av arean under kurvan för några vanliga kurvor.

Area Under Curve: Parabel

Vi vet att en standardparabel är uppdelad i två symmetriska delar av antingen x-axeln eller y-axeln. Antag att vi tar en parabel y²= 4ax och sedan ska dess area beräknas från x = 0 till x = a. Och om det behövs fördubblar vi dess area för att hitta parabelns area i båda kvadranten.

Beräknar area,

och²= 4ax

y = √(4ax)

A = 2∫₀^ay.dx

A = 2∫₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Alltså är arean under parabeln från x = 0 till x = a 8/3a ² kvadratiska enheter

Område under kurva: Cirkel

En cirkel är en sluten kurva vars omkrets alltid är på lika avstånd från dess centrum. Dess area beräknas genom att först beräkna arean i den första kvadranten och sedan multiplicera den med 4 för alla fyra kvadranter.

Antag att vi tar en cirkel x²+ och²= a²och sedan ska dess area beräknas från x = 0 till x = a i den första kvadranten. Och vid behov fyrdubblar vi dess area för att hitta cirkelns area.

java returmatris

Beräknar area,

x²+ och²= a²

y = √(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4∫₀^a√(a²– x²).dx

A = 4[x/2√(a²– x²) + a²/2 utan^-1(x/a)]^a₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.utan^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Alltså är arean under cirkeln pa ² kvadratiska enheter

Area Under Curve: Ellips

En cirkel är en sluten kurva. Dess area beräknas genom att först beräkna arean i den första kvadranten och sedan multiplicera den med 4 för alla fyra kvadranter.

Antag att vi tar en cirkel (x/a)²+ (y/b)²= 1 och sedan ska dess area beräknas från x = 0 till x = a i den första kvadranten. Och vid behov fyrdubblar vi dess yta för att hitta ellipsens yta.

Beräknar area,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4b/a∫₀^a√(a²– x²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²– x²) + a²/2 utan^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.utan^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Alltså är området under ellipsen πab kvadratiska enheter.

Formler för område under kurva

Formel för olika typer av beräkning av Area Under Curve finns i tabell nedan:

Läs också

• Integraler
• Area som definitiv integral

Exempel på Area Under Curve

Exempel 1: Hitta arean under kurvan y ² = 12x och X-axeln.

Lösning:

Den givna kurvekvationen är y²= 12x

Detta är en ekvation av parabel med a = 3 så, y²= 4(3)(x)

Grafen för det önskade området visas nedan:

X-axeln delar upp parabeln ovan i 2 lika delar. Så vi kan hitta arean i den första kvadranten och sedan multiplicera den med 2 för att få önskad area

Så vi kan hitta det nödvändiga området som:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 kvm enheter

Exempel 2: Beräkna arean under kurvan x = y ³ – 9 mellan punkterna y = 3 och y = 4.

Lösning:

Givet är kurvekvationen x = y³– 9

Gränspunkter är (0, 3) och (0, 4)

Eftersom kurvekvationen har formen x = f(y) och punkterna också är på Y-axeln kommer vi att använda formeln,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 kvm enheter

Exempel 3: Beräkna arean under kurvan y = x ² – 7 mellan punkterna x = 5 och x = 10.

Lösning:

Givet är kurvan y = x²−7 och gränspunkterna är (5, 0) och (10, 0)

Alltså, arean under kurvan ges av:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 kvm enheter

Exempel 4: Hitta arean som omges av parabeln y ² = 4ax och linjen x = a i den första kvadranten.

Lösning:

kartor java

Kurvan och den angivna linjen kan ritas enligt följande:

Nu är ekvationen för kurvan y²= 4ax

Gränspunkter blir (0, 0) och (a, 0)

Så arean med avseende på X-axeln kan beräknas som:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Exempel 5: Hitta området som täcks av cirkeln x ² + och ² = 25 i den första kvadranten.

Lösning:

Givet, x²+ och²= 25

Kurvan kan ritas som:

Erforderligt område har skuggats i ovanstående figur. Från ekvationen kan vi se att cirkelns radie är 5 enheter.

Som, x²+ och²= 25

y = sqrt{25-x^2}

För att hitta området använder vi:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 kvm enheter

Vanliga frågor om Area Under Curve

Definiera område under en kurva.

Område som omges av kurvan, axeln och gränspunkterna kallas området under kurvan. Med hjälp av koordinataxlarna och integrationsformeln har arean under kurvan bestämts som ett tvådimensionellt område.

Hur man beräknar arean under en kurva?

Det finns tre metoder för att hitta arean under kurvan, det är:

• Reimann Summor innebära att dela upp kurvan i mindre rektanglar och lägga till deras ytor, med antalet delintervaller som påverkar resultatets precision.
• Bestämda integraler liknar Reimann Sums men använder ett oändligt antal delintervall för att ge ett exakt resultat.
• Approximationsmetoder används kända geometriska former för att approximera arean under kurvan.

Vad är skillnaden mellan en bestämd integral och en Reimann-summa?

Nyckelskillnaden mellan en bestämd integral och en Reimann-summa är att en bestämd integral representerar den exakta arean under en given kurva, medan en Reimann-summa representerar områdets ungefärliga värde och summans noggrannhet beror på den valda partitionsstorleken.

Kan Area Under Curve vara negativ?

Om kurvan ligger under axeln eller ligger i koordinataxelns negativa kvadranter, är arean under kurvan negativ. Även i detta fall beräknas arean under kurvan med den konventionella metoden, och lösningen moduleras sedan. Även i de fall då svaret är negativt, beaktas bara områdets värde, inte svarets negativa tecken.

Vad representerar Area Under Curve i statistik?

Area under curve (ROC) är måttet på noggrannheten hos ett kvantitativt diagnostiskt test.

Hur tolkar man tecken på area under en kurva?

Areatecken visar att arean under kurvan är över x-axeln eller under x-axeln. Om arean är positiv är arean under kurvan ovanför x-axeln och om den är negativ är arean under kurvan under x-axeln.

Hur uppskattas arean under kurvan?

Genom att segmentera området i små rektanglar kan området under kurvan uppskattas grovt. Och genom att lägga till områdena för dessa rektanglar kan man få arean under kurvan.