logo

TechCodeview

Aritmetisk progression

Aritmetisk progression, även känd som A.P. är en sekvens i matematik där skillnaden mellan de två på varandra följande termerna är en konstant. Konstanten är känd som den gemensamma skillnaden. Den aritmetiska progressionen är en sekvens av tal i ordning, där skillnaden mellan två på varandra följande tal är ett konstant värde.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om aritmetisk progressionsdefinition, aritmetisk progressionsformler, relaterade exempel och andra i detalj.

för loop in bash

Innehållsförteckning



Vad är aritmetisk progression?

Aritmetisk progression (AP) är en talföljd där skillnaden mellan två på varandra följande tal är ett konstant värde. Med andra ord kan aritmetisk progression definieras som En matematisk följd där skillnaden mellan två på varandra följande termer alltid är en konstant.

Aritmetisk progression

Till exempel är talserien: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... i aritmetisk progression, som har en gemensam skillnad (d) mellan två på varandra följande termer (säg 1 och 2) lika med 1 (2 – 1). En vanlig skillnad mellan två på varandra följande termer kan ses, även för udda tal och jämna tal som 2 är lika med. I AP är tre huvudtermer Common difference (d), nth Term (an), och summan av de första n termerna (Sn); alla tre termerna representerar egenskaperna hos AP. Låt oss ta en titt på vad den gemensamma skillnaden är i detalj,

Vi stöter på olika ord som sekvens, serie och progression i AP; nu, låt oss se vad varje ord definierar,

  • Sekvens är en ändlig eller oändlig lista med tal som följer ett visst mönster. Till exempel, 0, 1, 2, 3, 4, 5... är sekvensen, som är en oändlig sekvens av heltal.
  • Serier är summan av de element som sekvensen motsvarar. Till exempel 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. är serien av naturliga tal. Varje nummer i en sekvens eller en serie kallas en term. Här är 1 en term, 2 är en term, 3 är en term osv.
  • Progression är en sekvens där den allmänna termen kan uttryckas med hjälp av en matematisk formel eller sekvensen, som använder en matematisk formel som kan definieras som progression.

Notera: Det finns huvudsakligen tre typer av progression:

  1. Aritmetisk progression (AP)
  2. Geometrisk progression (GP)
  3. Harmonisk progression (HP)

Notationer i aritmetisk progression

Vi kommer att stöta på följande notationer i aritmetisk progression:

  • Första terminen ⇢ a
  • Vanlig skillnad ⇢ d
  • N:te termen ⇢ a n
  • Summan av första n termer ⇢ S n

Allmän form av aritmetisk progression är a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Här är några exempel på AP:

  • 6, 13, 20, 27, 34,41,...
  • 91, 81, 71, 61, 51, 41,...
  • p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
  • -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,...

Vanlig skillnad för aritmetisk progression

Vanlig skillnad betecknas med d i aritmetisk progression. Det är skillnaden mellan nästa mandatperiod och den före den. För aritmetisk progression är den alltid konstant eller densamma. Med ett ord, om den gemensamma skillnaden är konstant i en viss sekvens, kan vi säga att detta är A.P. Om sekvensen är en1,a2, a3, a4, och så vidare.

Med andra ord, den gemensamma skillnaden i den aritmetiska progressionen betecknas med d. Skillnaden mellan den efterföljande termen och dess föregående term. Den är alltid konstant eller densamma för aritmetisk progression. Med andra ord kan vi säga att i en given sekvens, om den gemensamma skillnaden är konstant eller densamma, så kan vi säga att den givna sekvensen är i Aritmetisk progression (AP).

Formeln för att hitta den gemensamma skillnaden är,

d = (a n + 1 – a n ) = (a n – a n-1 )

  • Om den gemensamma skillnaden är positiv, då AP ökar . Till exempel 4, 8, 12, 16... i dessa serier ökar AP
  • Om den gemensamma skillnaden är negativ då AP minskar . Till exempel -4, -6, -8..., här minskar AP.
  • Om den gemensamma skillnaden är noll då AP kommer att vara konstant . Till exempel 1, 2, 3, 4, 5..., här är AP konstant.

Sekvens av aritmetisk progression kommer att vara som en 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,…

Vanlig skillnad (d) = a 2 – a 1 = d

a 3 – a 2 = d

a 4 – a 3 = d och så vidare.

Första termen av aritmetisk progression

Aritmetisk progression kan skrivas i termer av gemensam skillnad (d) som:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

var,

  • a är första terminen för AP
  • d är gemensam skillnad för AP

N:te termen av aritmetisk progression

Den n:e termen kan hittas genom att använda formeln som nämns nedan,

T n = a + (n - 1)d

var,

  • a är första terminen för AP
  • d är gemensam skillnad
  • n är Antal termer
  • Tnär n:e termen
N-term-av-en-aritmetisk-progression

N:te termen av aritmetisk progression

Notera: Beteende för aritmetisk sekvens baseras på värdet av en gemensam skillnad.

objekt till jsonobject java
  • Om d är positivt kommer termerna att öka till positiv oändlighet.
  • Om d är negativ ökar medlemmarnas termer till negativ oändlighet

Summan av aritmetisk progression

Formel för aritmetisk progressionssumma förklaras nedan; betrakta ett AP som består av n termer.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Summan av aritmetisk progression när den första och sista termen ges,

S = n/2 (första termen av AP + sista termen av AP)

S = N/2[a+ a n ]

Arithmetic Progression Formula (AP Formulas)

För en AP med första termen 'a' och gemensam skillnad 'd' är dess olika formler:

  • Vanlig skillnad på AP: d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = a 4 – a 3 = … = a n – a n-1
  • n:e terminen för AP: a n = a + (n – 1)d
  • Summan av n villkor för AP: S n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , där l är den sista termen i den aritmetiska progressionen.

Sammanfattning av aritmetisk progression

  • Aritmetisk progression (AP) är en talföljd där skillnaden mellan två på varandra följande tal är ett konstant värde. Till exempel, sifferserien: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
  • Allmän form av aritmetisk progression är a, a + d, a + 2d, a + 3d ...
  • Formel för n:te termen av aritmetisk progression är a n = a + (n – 1)d
  • Summan av första n termer eller den aritmetiska summaformeln är S n = n/2[2a + (n – 1) d] , S n = n/2[a + a n ]

Artikel relaterad till aritmetisk progression:

Exempel på aritmetisk progression

Exempel 1: Hitta AP om den första termen är 15 och den gemensamma skillnaden är 4.

Lösning:

Som vi vet,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Här är a = 15 och d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

attributfel python

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, … och så vidare.

Så är AP 15, 19, 23, 27, 31...

Exempel 2: Hitta den 20:e termen för den givna AP:n: 3, 5, 7, 9, …

Lösning:

Givet, 3, 5, 7, 9, 11……

Här,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

an= a + (n - 1)d

atjugo= 3 + (20−1)2

atjugo= 3 + 38

atjugo= 41

Här är 20:e terminen entjugo= 41

Exempel 3: Hitta summan av de första 20 multiplerna av 5.

Lösning:

De första 20 multiplarna av 5 är 5, 10, 15, … 100.

Här är det tydligt att sekvensen som bildas är en aritmetisk sekvens där,

a = 5, d = 5, an= 100, n = 20.

Sn= n/2 [2a + (n − 1) d]

Sn= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

Sn= 10 [10 + 95]

Sn= 1050

Övningsfrågor om aritmetisk progression

Q1. Summan av de första nn termerna i en aritmetisk progression ges av S n = 3n 2 + 2n. Hitta den gemensamma skillnaden och den första termen.

Q2. Första termen i en aritmetisk progression är 7, och den 11:e termen är 31. Hitta summan av de första 11 termerna.

Q3. I en aritmetisk progression är summan av de första 10 termerna 150, och summan av de följande 10 termerna är 550. Hitta den första termen och den gemensamma skillnaden.

Q4. Om den 4:e termen i en aritmetisk progression är 10 och den 9:e termen är 25, hitta den 15:e termen.

F5. En aritmetisk progression har en gemensam skillnad på 5. Om den 6:e termen är 22, hitta den första termen och summan av de första 12 termerna.

sova i js

Vanliga frågor om aritmetisk progression

Vad är aritmetisk progression med ett exempel?

Aritmetisk progression är en talföljd där de två på varandra följande termerna har en gemensam skillnad. Till exempel: 3, 6, 9, 12, 15,...

Hur hittar du summan av aritmetisk progression?

För att hitta den aritmetiska progressionssumman kan följande formler användas baserat på vilken information som tillhandahålls:

S = n/2 (första termen av AP + sista termen av AP) = n/2[a+ a n ]

Vad är skillnaden mellan aritmetisk progression och aritmetisk serie?

Aritmetisk progression är antalet sekvenser inom ett intervall som ger en gemensam skillnad. Medan den aritmetiska serien/sekvensen är summan av alla termer som finns i den aritmetiska progressionen.

Vad är formeln för AP och GP?

Formeln för AP och GP är:

  • AP: a n = a + (n – 1).d
  • GP: a n = a.r

Vad är användningen av aritmetisk progression?

Aritmetisk progression är serien som ger en gemensam skillnad mellan två på varandra följande termer. Det används i det dagliga livet för att generalisera en uppsättning mönster. Till exempel att vänta på en buss, anta att bussarna rör sig med konstant hastighet, med hjälp av AP kan du säga när bussen kommer. AP kan också användas för att göra pyramidliknande strukturer etc.