Komplexa tal är den naturliga fortsättningen av reella tal. I modern tid används komplexa tal inom många områden som digital signalbehandling, kryptografi och många datorrelaterade områden.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om imaginära tal, komplexa tal och dess typ, olika operationer på komplexa tal, egenskaper hos komplexa tal, tillämpning av komplexa tal, etc.

Definition av komplexa tal

Komplexa tal är de tal av formuläret (a + i b) var a & b är de reella talen och i är en imaginär enhet som kallas jota som representerar √-1. Till exempel är 2 + 3i ett komplext tal där 2 är ett reellt tal och 3i är ett imaginärt tal. Komplexa tal kan skrivas som a + ib där a och b är rationella tal som kan representeras på en tallinje som sträcker sig till oändlighet .

Modul av komplext tal

Modulen för det komplexa talet är det absoluta värdet och representerar avståndet mellan ursprunget och den givna punkten. Det är också känt som storleken på det komplexa talet. Låt oss betrakta ett komplext tal z = a + ib, då definieras z-modulen som:

|z| = √(a ² + b ² )

var,

• a är den reella delen av det komplexa talet z, och
• b är den imaginära delen av det komplexa talet z.

Argument för komplexa tal

Vinkeln mellan radievektorn för ett komplext tal och den positiva x-axeln kallas argumentet för ett komplext tal. För ett komplext tal z = a + ib ges det matematiskt av:

θ = brun ^-1 (b/a)

var,

• a är den reella delen av det komplexa talet z, och
• b är den imaginära delen av det komplexa talet z.

Power of i(iota)

i(iota) definieras som kvadratroten av -1. Således kan vilken som helst potens av i uttryckas som en upprepad multiplikation av i med sig själv, dvs.

• i = √(-1)
• i²= -1
• i³= – jag
• i⁴= 1
• i⁵= i
• i⁶= – 1
• och så vidare..

Behov av komplexa siffror

I forna tider hade man bara kunskap om naturliga tal som dessa tal är mest intuitiva till sin natur eftersom den mänskliga hjärnan redan har en förståelse för dem med hjälp av bilder av saker som får och mat. Således har vi bara mängden naturliga tal ( N ) men i naturliga tal finns det ingen lösning på ekvationen x + a = b (a> b) och a, b ∈ N. Således uppstod en förlängning av naturliga tal, dvs. Heltal( jag ).

Nu, återigen i denna uppsättning tal, finns det ingen lösning på ekvationen, ax = b (a ≠ 0) och a, b ∈ I, där a och b båda är heltal. Således utökas en uppsättning heltal (I) till en uppsättning rationella tal ( Q ).

Återigen, i denna uppsättning rationella tal finns det ingen lösning på ekvationen x²= a (a> 0) och a ∈ Q. Alltså, Q utökas till att omfatta siffror så att x²= a(för a> 0) d.v.s. irrationella tal. Denna uppsättning heter Real Numbers och representeras av R .

Nu trodde man länge att vi inte behöver utöka denna uppsättning reella tal för att bilda en annan större uppsättning eftersom denna samling av tal verkar komplett. Men återigen väcktes ett nytt problem i denna uppsättning siffror, dvs. det finns inget reellt tal så att x²= a (a <0) och a ∈ R. Således utökas mängden reella tal ytterligare till att omfatta alla sådana värderade och benämnda denna mängd komplexa tal och representeras av C .

Klassificering av komplexa tal

Som vi vet är standardformen för ett komplext tal z = (a + i b) där a, b ∈ R, och i är iota (en imaginär enhet). Så beroende på värdena för a (kallad reell del) och b (kallad imaginär del), klassificeras de komplexa talen i fyra typer:

• Noll komplext tal
• Rent riktiga siffror
• Rent imaginära siffror
• Imaginära siffror

Låt oss lära oss om dessa typer i detalj.

Noll komplext tal

För alla komplexa tal z = a + ib om a = 0 & b = 0, då kallas det komplexa talet nollkomplext tal. Till exempel är det enda exemplet på detta 0.

Rent riktiga siffror

För varje komplext tal z = a + ib om a ≠ 0 & b = 0, så kallas det komplexa talet ett rent reellt tal, dvs ett tal utan imaginär del. Alla de reella talen är exempel på detta så att 2, 3, 5, 7, etc.

Rent imaginära siffror

För alla komplexa tal z = a + ib om a = 0 & b ≠ 0, då kallas ett komplext tal ett rent imaginärt tal, dvs ett tal utan reell del. Alla tal utan reella delar är exempel på denna typ av tal, t.ex. -7i, -5i, -i, i, 5i, 7i, etc.

Imaginära siffror

För alla komplexa tal z = a + ib om a ≠ 0 & b ≠ 0, då kallas ett komplext tal en tänkt tal . Till exempel (-1 – i), (1 + i), (1 – i), (2 + 3i), etc.

Olika former av komplexa tal

Det finns olika former av komplexa tal som är,

• Rektangulär form
• Polär form
• Exponentiell form

Låt oss nu lära oss om dem i detalj.

Rektangulär form

Rektangulär form är även kallad Standardformulär och det representeras av (a + ib), där a och b är de reella talen.

Till exempel: (5 + 5i), (-7i), (-3 – 4i), etc.

Polär form

Polär form är representationen av ett komplext tal där polära koordinater [där koordinater representeras som (r, θ), där r är avståndet från origo och θ är vinkeln mellan linjen som förenar punkten och origo och den positiva x-axeln) används för att representera ett komplext tal. Alla komplexa tal representeras som r [cos θ + i sin θ].

Till exempel: [cos π/2 + i sin π/2], 5[cos π/6 + i sin π/6], etc.

Exponentiell form

Exponentiella former av komplexa tal är representationen av komplexa tal med Eulers formel och i denna form representeras komplexa tal av reⁱ, där r är avståndet för en punkt från origo och θ är vinkeln mellan den positiva x-axeln och radievektorn.

Till exempel: eⁱ⁽⁰⁾, Det är^i(π/2), 5.e^i(π/6), etc.

Notera: Alla tre former av de komplexa talen som diskuterats ovan är interkonvertibla, dvs dessa kan konverteras från en form till en annan mycket enkelt.

Operationer på komplexa tal

Följande operationer kan utföras på komplexa nummer:

• Tillägg
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division
• Konjugation

Tillägg av komplexa tal

Vi kan lägga till två komplexa tal genom att helt enkelt addera deras reella och imaginära delar separat.

Till exempel, (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i.

Subtraktion av komplexa tal

Vi kan subtrahera två komplexa tal genom att helt enkelt subtrahera deras reella och deras imaginära delar separat.

Till exempel, (3 + 2i) – (1 + 4i) = 2 – 2i.

Multiplikation av komplexa tal

Vi kan multiplicera två komplexa tal med hjälp av den fördelande egenskapen och det faktum att i²= -1.

Till exempel, (3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i²= 3 + 14i – 8 = -5 + 14i.

Uppdelning av komplexa tal

Vi kan dividera ett komplext tal med ett annat, genom att helt enkelt multiplicera både täljaren och nämnaren med nämnarens komplexa konjugat och ytterligare förenkla uttrycket.

Till exempel, (3 + 2i)/(1 + 4i) = (3 + 2i)(1 – 4i)/(1 + 4i)(1 – 4i) = (11 – 10i)/17.

Konjugering av komplexa tal

Vi kan lätt hitta konjugat av ett komplext tal, genom att helt enkelt ändra tecknet på sin imaginära del. Konjugat av ett komplext tal betecknas ofta med ett streck ovanför talet, till exempel z̄.

Till exempel är konjugatet av 3 + 2i 3 – 2i.

Identiteter för komplexa tal

För två valfria komplexa tal z₁och z₂följande algebraiska identiteter kan anges:

• (Med ₁ + z ₂ ) ² = (z ₁ ) ² + (z ₂ ) ² + 2 z ₁ × z ₂
• (Med ₁ - Med ₂ ) ² = (z ₁ ) ² + (z ₂ ) ² – 2 z ₁ × z ₂
• (Med ₁ ) ² - (Med ₂ ) ² = (z ₁ + z ₂ )(Med ₁ - Med ₂ )
• (Med ₁ + z ₂ ) ³ = (z ₁ ) ³ + 3(z ₁ ) ² Med ₂ +3(z ₂ ) ² Med ₁ + (z ₂ ) ³
• (Med ₁ - Med ₂ ) ³ = (z ₁ ) ³ – 3(z ₁ ) ² Med ₂ +3(z ₂ ) ² Med ₁ - (Med ₂ ) ³

Formler relaterade till komplexa tal

Det finns några formler relaterade till komplexa tal, varav några är följande:

Eulers formel

Eulers formel visar sambandet mellan den imaginära styrkan av exponent och trigonometriskt förhållande sin och cos och ges av:

Det är ^ix = cos x + i sin x

De Moivres formel

De Moivres formel uttrycker n^thpotens av ett komplext tal i polär form och ges av:

(cos x + i sin x) ⁿ = cos(nx) + i sin(nx)

Komplext plan

Planet på vilket de komplexa talen representeras unikt kallas det komplexa planet eller Argand-planet eller Gauss-planet.

Det komplexa planet har två axlar:

• X-axel eller Real Axis
• Y-axel eller imaginär axel

X-axel eller Real Axis

• Alla rent reella komplexa tal representeras unikt av en punkt på den.
• Real del Re(z) av alla komplexa tal plottas med avseende på den.
• Det är därför som X-axeln också kallas Verklig axel .

Y-axel eller imaginär axel

• Alla rent imaginära komplexa tal representeras unikt av en punkt på den.
• Den imaginära delen Im(z) av alla komplexa tal plottas i förhållande till den.
• Det är därför Y-axeln också kallas Imaginär axel .

Geometrisk representation av komplexa tal

Som vi vet att varje komplext tal (z = a + i b) representeras av en unik punkt p(a, b) på det komplexa planet och varje punkt på det komplexa planet representerar ett unikt komplext tal.

För att representera ett komplext tal z = (a + i b) på det komplexa planet, följ dessa konventioner:

• Den reella delen av z (Re(z) = a) blir X-koordinaten för punkten p

• Den imaginära delen av z (Im(z) = b) blir Y-koordinaten för punkten p

Och slutligen z (a + i b) ⇒ p (a, b) som är en punkt på det komplexa planet.

Egenskaper för komplexa tal

Det finns olika egenskaper hos komplexa tal, av vilka några är följande:

• För alla komplexa tal z = a + ib, om z = 0 så är a = 0 såväl som b = 0.
• För 4 reella tal a, b, c och d så att z₁= a + ib och z₂= c + id. Om z₁= z₂sedan a = c, och b=d.
• Addition av ett komplext tal med dess konjugat resulterar i ett rent reellt tal, dvs z + z̄ = reellt tal.

Låt z = a + ib,

z + z̄ = a + ett + a – ett

⇒ z + z̄ = 2a (vilket är rent verkligt)

• Produkten av ett komplext tal med dess konjugerade resultat är också ett rent reellt tal, dvs. z × z̄ = reellt tal

Låt sedan z = a + ib

z × z̄ = (a + ett) × (a – ett)

⇒ z × z̄= a²– jag²b²

⇒ z × z̄ = a²+ b²(vilket är rent verkligt)

• Komplexa tal är kommutativ under operationen av addition och multiplikation. Låt oss betrakta två komplexa tal z₁och z₂, och då

Med ₁ +z ₂ = z ₂ +z ₁

Med ₁ × z ₂ = z ₂ × z ₁

• Komplexa tal är associativ med operation av addition och multiplikation. Låt oss betrakta tre komplexa tal z₁, Med₂och z₃sedan

(Med ₁ +z ₂ ) +z ₃ = z ₁ + (z ₂ +z ₃ )

(Med ₁ ×z ₂ )×z ₃ = z ₁ ×(z ₂ ×z ₃ )

• Komplexa siffror håller fördelningsegendom av multiplikation över addition också. Låt oss betrakta tre komplexa tal z₁, Med₂och z₃sedan

Med ₁ ×(z ₂ +z ₃ ) = z ₁ ×z ₂ + z ₁ ×z ₃

Läs mer,

• Dela komplexa tal
• Z-stapel i komplexa tal

Exempel på komplexa tal

Exempel 1: Rita dessa komplexa tal z = 3 + 2i på det komplexa planet.

Lösning:

Given:

Med = 3 + 2 i

Så, punkten är z(3, 2). Nu plottar vi denna punkt på nedanstående graf, här i denna graf representerar x-axeln den reella delen och y-axeln representerar den imaginära delen.

Exempel 2: Rita dessa komplexa tal z ₁ = (2 + 2 i), z ₂ = (-2 + 3 i), z ₃ = (-1 – 3 i), z ₄ = (1 – i) på det komplexa planet.

Lösning:

Given:

Med₁= (2 + 2 i)

Med₂= (-2 + 3 i)

Med₃= (-1 – 3 i)

försök fånga java

Med₄= (1 – i)

Så, punkterna är z₁(2, 2), z₂(-2, 3), z₃(-1, -3) och z₄(1, -1). Nu plottar vi dessa punkter på nedanstående graf, här i denna graf representerar x-axeln den reella delen och y-axeln representerar den imaginära delen.

Vanliga frågor om komplexa nummer

Definiera komplexa tal.

Tal av formen a+ib kallas komplext tal, där a och b är det reella talet och i är den imaginära enheten som representerar kvadratroten ur -1.

Vad är skillnaden mellan ett reellt tal och ett komplext tal?

Skillnaden mellan reella och komplexa tal är att vi bara behöver ett tal för att representera ett reellt tal men behöver två reella tal för att representera ett komplext tal.

Vad är den reella delen och den imaginära delen av ett komplext tal?

I ett komplext tal a + ib är a den reella delen av det komplexa talet, och b kallas den imaginära delen av det komplexa talet.

Vad är det komplexa konjugatet av ett komplext tal?

För ett komplext tal a + ib kallas a – ib dess komplexa konjugat. Komplexa konjugat kan hittas genom att helt enkelt ändra tecknet för den imaginära delen.

Vad är modulen för ett komplext tal?

Avståndet mellan origo och punkten som representeras av ett komplext tal i argandplanet kallas modulen för det fullständiga talet och för z = a + ib ges det matematiskt av:

|z| = √(a ² + b ² )

Vad är argumentet för ett komplext tal?

Vinkeln mellan radievektorn för ett komplext tal och den positiva x-axeln kallas argumentet för ett komplext tal och för z = a + ib ges den matematiskt av:

θ = brun ^-1 (b/a)

Vad är den polära formen av ett komplext tal?

För alla komplexa tal, z = a + ib, ges den polära formen av detta av:

r [cos θ + i sin θ]

Vad är Eulers formel?

Eulers formel visar sambandet mellan den imaginära styrkan av exponent och trigonometriskt förhållande sin och cos och ges av:

Det är ^ix = cos x + i sin x