logo

TechCodeview

Cotangens formel

Trigonometri är en viktig gren av matematiken som handlar om förhållandet mellan längderna av sidor och vinklar i en rätvinklig triangel. Sinus, Cosinus, tangens, cosekant, sekant och cotangens är de sex trigonometriska förhållandena eller funktionerna. Där ett trigonometriskt förhållande avbildas som förhållandet mellan sidorna av en rätvinklig triangel.

  • sin θ = motsatt sida/hypotenusa
  • cos θ = intilliggande sida/hypotenusa
  • tan θ = motsatt sida/intilliggande sida
  • cosec θ = 1/sin θ = hypotenusa/motstående sida
  • sek θ = 1/cos θ = hypotenusa/intilliggande sida
  • barnsäng θ = 1/tan θ = intilliggande sida/motstående sida

Cotangens formel

En Cotangensfunktion är en reciprok funktion av den givna tangentfunktionen. Värdet på en kotangensvinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan längden på sidan som gränsar till den givna vinkeln och längden på sidan som är motsatt den givna vinkeln. Vi skriver cotangensfunktion som spjälsäng.



Triangel ABC

Nu är kotangensformeln för vinkeln θ,

barnsäng θ = (Angränsande sida)/(Motsatt sida)



  • Kotangensfunktionen är positiv i den första och tredje kvadranten och negativ i den andra och fjärde kvadranten.
  1. barnsäng (2π + θ) = barnsäng θ (1stkvadrant)
  2. barnsäng (π – θ) = – barnsäng θ (2ndkvadrant)
  3. barnsäng (π + θ) = barnsäng θ (3rdkvadrant)
  4. barnsäng (2π – θ) = – barnsäng θ (4thkvadrant)
  • Cotangensfunktionen är en negativ funktion eftersom cotangensen för en negativ vinkel är den negativa av en cotangens positiv vinkel.

cot (-θ) = – cot θ

  • När det gäller tangentfunktionen skrivs cotangensfunktionen som,

barnsäng θ = 1/tan θ

(eller)



cot θ = tan (90° – θ) (eller) tan (π/2 – θ)

  • Cotangensfunktionen i termer av sinus- och cosinusfunktioner kan skrivas som,

cot θ = cos θ/sin θ

Vi vet att barnsäng θ = intilliggande sida/motstående sida

Dela nu både täljaren och nämnaren med hypotenusan

⇒ barnsäng θ = (intilliggande sida/hypotenus) / (motsatt sida/hypotenus)

Vi vet att sin θ = motsatt sida/hypotenusa

cos θ = intilliggande sida/hypotenusa

Därför är cot θ = cos θ/sin θ

  • Cotangens funktion i termer av sinusfunktion kan skrivas som,

barnsäng θ = (√1 – sin 2 i)/sin i

e r modellexempel

Vi vet att cot θ = cos θ/sin θ

Från de pytagoreiska identiteterna har vi;

cos2θ + sin2θ = 1

⇒ cos θ = √1 – sin2i

Därför är barnsäng θ = frac{sqrt{left(1-sin^{2} heta ight)}}{sin heta}

  • Cotangensfunktion i termer av cosinusfunktion kan skrivas som,

cot θ = cos θ/(√1 -cos 2 i)

Vi vet att cot θ = cos θ/sin θ

Från de pytagoreiska identiteterna har vi;

cos2θ + sin2θ = 1

sin θ = √1 – cos2i

Därför är barnsäng θ = frac{cos heta}{sqrt{left(1-cos^{2} heta ight)}}

  • Cotangensfunktion i termer av sekant- och cosekantfunktioner kan skrivas som,

cot θ = cosec θ/sek θ

Vi har, cot θ = cos θ/sin θ

Detta kan skrivas som cot θ = (1/sin θ) / (1/cos θ)

⇒ cot θ = cosec θ/sek θ

  • Cotangens funktion i termer av cosecant funktion kan skrivas som:

cot θ = √(cosec 2 - 1)

Från de pytagoreiska identiteterna har vi,

cosec2θ – spjälsäng2θ = 1

⇒ spjälsäng2θ = 1 – cosec2- 1

Därför är barnsäng θ = √(cosec2- 1)

  • Cotangensfunktion i termer av sekantfunktion kan skrivas som:

barnsäng θ = 1/(√sek 2 jag – 1)

Från de pytagoreiska identiteterna har vi,

sek2θ – alltså2θ = 1

tan θ = √sek2jag – 1

Vi vet att cot θ = 1/tan θ

Därav, barnsäng θ = frac{1}{sqrt{left(1-sek^{2} heta ight)}}

Trigonometrisk kvottabell

Trigonometrisk kvottabell

Cotangentlag eller Cotangentlagen

Cotangentlag liknar sinuslag, men här handlar det om halva vinklar. Cotangenternas lag beskriver förhållandet mellan längderna på triangelns sidor och cotangenserna för halvorna av de tre vinklarna. Betrakta en triangel ABC, där a, b och c är längderna på triangelns sidor.

Lagen om cotangenter säger att,

frac{barnsäng(frac{A}{2})}{(s-a)} = frac{barnsäng(frac{B}{2})}{(s-b)} = frac{barnsäng(frac{ C}{2})}{(s-c)} = frac{1}{r}

Där s är halvomkretsen av triangeln ABC och r är dess inradius av triangelns inskrivna cirkel.

s = (a + b + c)/2

r = sqrt{frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}

Exempel på problem

Uppgift 1: Hitta värdet på cot θ om tan θ = 3/4.

Lösning:

Givet data, tan θ = 3/4

Vi vet det, barnsäng θ = 1/tan θ

⇒ barnsäng θ = 1/(3/4) = 4/3

Så, barnsäng θ = 4/3

Uppgift 2: Hitta värdet på cot α, sin α = 1/3 och cos α = 2√2/3.

Lösning:

Givet data, sin α = 1/3 och cos α = 2√2/3

Vi vet det, cot α = cos α/sin α

⇒ barnsäng α = (2√2/3) / (1/3) = 2√2

Därför är värdet på barnsäng α = 2√2

Uppgift 3: En pojke som står 15 m från ett träd tittar i en 30-graders vinkel mot trädets topp. Vad är höjden på trädet?

Lösning:

Diagram från givna data

Givet data är avståndet mellan pojken och trädets fot = 15 m och θ = 30°

Låt höjden på trädet vara 'h'

Vi har, barnsäng θ = intilliggande sida/motstående sida

⇒ spjälsäng 30° = 15/h

⇒ √3 = 15/h [eftersom spjälsäng 30° = √3]

⇒ h = 15/√3

⇒ h = 5√3 m

Därför är trädets höjd = 5√3 m

Uppgift 4: Hitta värdet på barnsäng x om sek x = 6/5.

Lösning:

Givet data, sek x = 6/5

Vi har, sek 2 x – alltså 2 x = 1

⇒ (6/5)2- så2x = 1

⇒ 36/25 – så2x = 1

⇒ alltså2x = 36/25 – 1

⇒ alltså2x = 11/25

⇒ tan x = √(11/25) = √11/5

Vi vet det, barnsäng x = 1/brun x

⇒ spjälsäng x = 1/(√11/5) = 5/√11

Därför är barnsäng x = 5/√11

Uppgift 5: Hitta värdet på cot θ om cosec θ = 25/24.

Lösning:

Givet data, cosec θ = 25/24

Vi vet det, cot θ = √(cosec 2 - 1)

⇒ barnsäng θ = √(25/24)2- 1

⇒ spjälsäng θ =√(625 – 576)/576 = √49/576

⇒ barnsäng θ = 7/24

Därför är värdet på barnsäng θ = 7/24

Uppgift 6: Hitta värdet på cot β om sin β = 5/13.

Lösning:

Givet data, sin β = 5/13

Vi vet det, utan 2 β + cos 2 β = 1

⇒ (5/13)2+ cos2β = 1

⇒ för2β = 1 – (5/13)2= 1 – 25/169 = 144/169

⇒ cos β = √144/169 = 12/13

cot β = cosβ/sin β

= (12/13) / (5/13)

⇒ spjälsäng β = 12/5

Därför är värdet på barnsäng β = 12/5

Uppgift 7: Använd lagen för cotangenter, hitta värdena för ∠A, ∠B och ∠C (i grader) om längden på de tre sidorna av triangeln ABC är a = 4 cm, b= 3 cm och c= 3 cm.

Lösning:

Givet, a = 4 cm, b = 3 cm och c = 3 cm

Triangel ABC

Från cotangentlagen,

frac{barnsäng(frac{A}{2})}{(s-a)} = frac{barnsäng(frac{B}{2})}{(s-b)} = frac{barnsäng(frac{ C}{2})}{(s-c)} = frac{1}{r}

s = (a + b + c)/2

⇒ s = (3 + 4 + 3)/2 = 10/2 = 5

Nu är s – a = 5 – 4 = 1

⇒ s – b = 5 – 3 = 2

⇒ s – c = 5 – 3 = 2

r = sqrt{frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}

⇒ r = √[(1)(2)(2)/5]

Inradius av triangeln r = 2/√5

jämförbar sträng

Från ekvationen för lagen om cotangenter,

spjälsäng (A/2)/1 = 1/(2/√5)

⇒ spjälsäng (A/2) = √5/2 ⇒ A/2 = spjälsäng-1(√5/2)

⇒ (A/2) = 41,8° ⇒ ∠A = 83,6°

spjälsäng(B/2)/2 = 1/(2/√5)

⇒ spjälsäng(B/2)/2 = √5/2 ⇒ spjälsäng (B/2) = √5

⇒ (B/2) = spjälsäng-1(√5) = 24,1° ⇒ ∠B = 48,2°

barnsäng (C/2)/2 = 1/(2/√5)

⇒ spjälsäng(C/2) = √5 ⇒ (C/2) = spjälsäng-1(√5)

⇒ (C/2) = 24,1° ⇒ ∠C = 48,2°

Därför är vinklarna för triangeln ABC ∠A = 83,6°, ∠B = 48,2° och ∠C = 48,2°.