En berömd matematiker DeMorgan uppfann de två viktigaste satserna för boolesk algebra. DeMorgans satser används för matematisk verifiering av ekvivalensen av NOR- och negativ-OCH-grindarna och negativa-ELLER- och NAND-grindarna. Dessa satser spelar en viktig roll för att lösa olika booleska algebrauttryck. I tabellen nedan definieras den logiska operationen för varje kombination av indatavariabeln.
| Indatavariabler | Utgångsskick | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | OCH | NAND | ELLER | INTE HELLER |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Reglerna i De-Morgans sats är framställda från de booleska uttrycken för OR , AND och INTE med två indatavariabler x och y. Demorgans första sats säger att om vi utför OCH-operationen av två indatavariabler och sedan utför NOT-operationen av resultatet, blir resultatet detsamma som ELLER-operationen av komplementet till den variabeln. Den andra satsen i DeMorgan säger att om vi utför ELLER-operationen av två indatavariabler och sedan utför INTE operationen av resultatet kommer resultatet att vara detsamma som AND-operationen av komplementet till den variabeln.
De-Morgans första teorem
Enligt den första satsen är komplementresultatet av OCH-operationen lika med ELLER-operationen för komplementet till den variabeln. Den är alltså ekvivalent med NAND-funktionen och är en negativ-ELLER-funktion som bevisar att (A.B)' = A'+B' och vi kan visa detta med hjälp av följande tabell.
| Ingångar | Output för varje termin | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)' | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De-Morgans andra sats
Enligt den andra satsen är komplementresultatet av ELLER-operationen lika med OCH-operationen av komplementet till den variabeln. Det är alltså motsvarigheten till NOR-funktionen och är en negativ-AND-funktion som bevisar att (A+B)' = A'.B' och vi kan visa detta med hjälp av följande sanningstabell.
| Ingångar | Output för varje termin | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Låt oss ta några exempel där vi tar några uttryck och tillämpar DeMorgans satser.
Exempel 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Exempel 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Exempel 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
För att tillämpa DeMorgans teorem på detta uttryck måste vi följa följande uttryck:
1) I fullständigt uttryck finner vi först de termer på vilka vi kan tillämpa DeMorgans sats och behandla varje term som en enda variabel.
Så,
2) Därefter tillämpar vi DeMorgans första teorem. Så,
3) Därefter använder vi regel nummer 9, dvs (A=(A')') för att ta bort de dubbla staplarna.
4) Därefter tillämpar vi DeMorgans andra sats. Så,
5) Tillämpa regel nummer 9 igen för att ta bort dubbelstapeln
Nu har detta uttryck ingen term där vi kan tillämpa någon regel eller teorem. Så detta är det sista uttrycket.
Exempel 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
vad är ett gränssnitt
