logo

TechCodeview

Egenvärden

Egenvärden och egenvektorer är de skalära och vektorkvantiteter som är associerade med Matris används för linjär transformation. Vektorn som inte ändras även efter att transformationer har tillämpats kallas egenvektor och det skalära värdet kopplat till egenvektorer kallas Egenvärden . Egenvektorer är de vektorer som är associerade med en uppsättning linjära ekvationer. För en matris kallas egenvektorer också för karakteristiska vektorer, och vi kan hitta egenvektorn för endast kvadratiska matriser. Egenvektorer är mycket användbara för att lösa olika problem med matriser och differentialekvationer.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om egenvärden, egenvektorer för matriser och andra med exempel.



Innehållsförteckning

Vad är egenvärden?

Egenvärden är de skalära värden som är associerade med egenvektorerna i linjär transformation. Ordet 'Eigen' är av tyskt ursprung vilket betyder 'karakteristisk'. Därför är dessa det karakteristiska värdet som indikerar den faktor med vilken egenvektorer sträcks i sin riktning. Det involverar inte förändringen i vektorns riktning förutom när egenvärdet är negativt. När egenvärdet är negativt är riktningen bara omvänd. Ekvationen för egenvärde ges av

Av = λv



Var,

  • A är matrisen,
  • v är associerad egenvektor, och
  • λ är skalärt egenvärde.

Vad är egenvektorer?

Egenvektorer för kvadratiska matriser definieras som vektorvärden som inte är noll som när de multipliceras med kvadratmatriserna ger skalningsmultipeln av vektorn, dvs vi definierar en egenvektor för matris A till v om den specificerar villkoret, Av = λv

Skalningsmultipeln λ i ovanstående fall kallas kvadratmatrisens egenvärde. Vi måste alltid hitta egenvärdena för kvadratmatrisen först innan vi hittar matrisens egenvektorer.



För vilken kvadratisk matris som helst, A av ordningen n × n, är egenvektorn kolumnmatrisen av ordningen n × 1. Om vi ​​hittar egenvektorn för matrisen A med, Av = λv, kallas v i denna den högra egenvektorn för matrisen A och multipliceras alltid till höger eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ till sin natur. I allmänhet, när vi hittar egenvektorn är det alltid rätt egenvektor.

Vi kan också hitta den vänstra egenvektorn för kvadratmatrisen A genom att använda relationen, vA = vl

Här är v den vänstra egenvektorn och multipliceras alltid till vänster. Om matris A är av ordningen n × n så är v en kolumnmatris av ordningen 1 × n.

Egenvektorekvation

Egenvektorekvationen är ekvationen som används för att hitta egenvektorn för en kvadratisk matris. Egenvektorekvationen är,

Av = λv

Var,

  • A är den givna kvadratmatrisen,
  • i är egenvektorn för matris A, och
  • l är vilken skaleringsmultipel som helst.

Vad är egenvärden och egenvektorer?

Om A är a kvadratisk matris av ordningen n × n så kan vi enkelt hitta egenvektorn för kvadratmatrisen genom att följa metoden som diskuteras nedan,

stjärntopologi

Vi vet att egenvektorn ges med hjälp av ekvationen Av = λv, för identitetsmatrisen av samma ordning som ordningen för A, dvs n × n använder vi följande ekvation,

(A-λI)v = 0

När vi löser ekvationen ovan får vi olika värden på λ som λ1, l2, ..., lndessa värden kallas för egenvärden och vi får individuella egenvektorer relaterade till varje egenvärde.

Om vi ​​förenklar ovanstående ekvation får vi v som är en kolumnmatris av ordningen n × 1 och v skrivs som,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Hur hittar man en egenvektor?

Egenvektorn för följande kvadratiska matris kan enkelt beräknas med hjälp av stegen nedan,

Steg 1: Hitta egenvärdena för matrisen A, med hjälp av ekvationen det |(A – λI| =0, där I är identitetsmatrisen av samma ordning som matris A

Steg 2: Värdet som erhålls i steg 2 benämns λ1, l2, l3….

Steg 3: Hitta egenvektorn (X) associerad med egenvärdet λ1med hjälp av ekvationen, (A – λ1I) X = 0

Steg 4: Upprepa steg 3 för att hitta egenvektorn associerad med andra återstående egenvärden λ2, l3….

Genom att följa dessa steg får man egenvektorn relaterad till den givna kvadratmatrisen.

Typer av egenvektorer

Egenvektorerna som beräknas för kvadratmatrisen är av två typer som är,

  • Höger egenvektor
  • Vänster egenvektor

Höger egenvektor

Egenvektorn som multipliceras med den givna kvadratmatrisen från höger sida kallas höger egenvektor. Det beräknas med hjälp av följande ekvation,

AV R = λV R

Var,

  • A ges kvadratisk matris av ordningen n×n,
  • l är ett av egenvärdena, och
  • I R är kolumnvektormatrisen

Värdet på VRär,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Vänster egenvektor

Egenvektorn som multipliceras med den givna kvadratmatrisen från vänster sida kallas för vänster egenvektor. Det beräknas med hjälp av följande ekvation,

I L A = V L l

Var,

  • A ges kvadratisk matris av ordningen n×n,
  • l är ett av egenvärdena, och
  • I L är radvektormatrisen.

Värdet på VLär,

I L = [v 1 , i 2 , i 3 ,…, i n ]

Egenvektorer av en kvadratisk matris

Vi kan enkelt hitta egenvektorn för kvadratiska matriser av ordningen n × n. Låt oss nu hitta följande kvadratiska matriser:

  • Egenvektorer av en 2 × 2 matris
  • Egenvektorer av en 3 × 3 matris.

Egenvektor för en 2 × 2 matris

Egenvektorn för 2 × 2-matrisen kan beräknas med hjälp av ovanstående steg. Ett exempel på detsamma är,

Exempel: Hitta egenvärdena och egenvektorn för matrisen A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Lösning:

Om egenvärden representeras med λ och egenvektorn representeras som v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Sedan beräknas egenvektorn genom att använda ekvationen,

siffrorna i alfabetet

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ2– 10 = 0

⇒ l2-5l -6 = 0

⇒ l2-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

X = 6 och X = -1

Således är egenvärdena 6 och -1. Då är respektive egenvektorer,

För λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Om vi ​​förenklar ovanstående ekvation får vi,

5a=2b

Den nödvändiga egenvektorn är,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

För λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

förenkla ekvationen ovan får vi,

a = -b

Den nödvändiga egenvektorn är,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Då är egenvektorerna för den givna 2 × 2 matrisenegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Dessa är två möjliga egenvektorer men många av motsvarande multipler av dessa egenvektorer kan också betraktas som andra möjliga egenvektorer.

Egenvektor för en 3 × 3 matris

Egenvektorn för 3 × 3-matrisen kan beräknas med hjälp av ovanstående steg. Ett exempel på detsamma är,

Exempel: Hitta egenvärdena och egenvektorn för matrisen A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Lösning:

Om egenvärden representeras med λ och egenvektorn representeras som v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Sedan beräknas egenvektorn genom att använda ekvationen,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Om vi ​​förenklar ovanstående determinant får vi

⇒ (2-l)(l2) + 2 min2+ 2 min2= 0

java volatile nyckelord

⇒ (-l3) + 6 min2= 0

⇒ l2(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

För λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Om vi ​​förenklar ovanstående ekvation får vi

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Låt b = k1och c = k2

a + k1+ k2= 0

a = -(k1+ k2)

Således är egenvektorn,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

tar k1= 1 och k2= 0

egenvektorn är,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

tar k1= 0 och k2= 1

egenvektorn är,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

För λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Om vi ​​förenklar ovanstående ekvation får vi,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Låt b = k1och c = k2, och tar k1= k2= 1,

vi får,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Således är egenvektorn,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Algoritm för bfs

Eget utrymme

Vi definierar egenrymden för en matris som mängden av alla matrisens egenvektorer. Alla vektorer i egenrummet är linjärt oberoende av varandra.

För att hitta matrisens egenrymd måste vi följa följande steg

Steg 1: Hitta alla egenvärden för den givna kvadratmatrisen.

Steg 2: Hitta motsvarande egenvektor för varje egenvärde.

Steg 3: Ta mängden av alla egenvektorer (säg A). Den resulterande mängden som så bildas kallas Egenrymden för följande vektor.

Från exemplet ovan med given 3 × 3 matris A, är det så bildade egenutrymmet {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Tillämpningar av egenvärden

Några av de vanligaste tillämpningarna av egenvärden är:

Linjär algebra

Diagonalisering: Egenvärden används för att diagonalisera matriser, förenkla beräkningar och lösa linjära system mer effektivt.

Matrisexponentiering: Egenvärden spelar en avgörande roll för att beräkna exponentieringen av en matris.

Kvantmekanik

Schrödinger-ekvation: Egenvärden för Hamilton-operatorn motsvarar energinivåerna i kvantsystem, vilket ger information om möjliga tillstånd.

Vibrationer och strukturanalys:

Mekaniska vibrationer: Egenvärden representerar de naturliga frekvenserna för vibrationssystem. I strukturanalys hjälper de till att förstå stabiliteten och beteendet hos strukturer.

Statistik

Kovariansmatris: I multivariatstatistik används egenvärden i analysen av kovariansmatriser, vilket ger information om spridningen och orienteringen av data.

Datorgrafik

Principal Component Analysis (PCA): Egenvärden används i PCA för att hitta huvudkomponenterna i en datauppsättning, vilket minskar dimensionaliteten samtidigt som viktig information behålls.

Kontrollsystem

Systemstabilitet: Egenvärden för systemmatrisen är avgörande för att bestämma stabiliteten hos ett styrsystem. Stabilitetsanalys hjälper till att säkerställa att systemsvaret är begränsat.

Diagonalisera matrisen med hjälp av egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer används för att hitta diagonala matriser. A diagonal matris är en matris som kan skrivas som,

A = XDX -1

Var,

  • D är matrisen som bildas genom att ersätta 1:orna i identitetsmatrisen med egenvärden, och
  • X är den matris som bildas av egenvektorer.

Vi kan förstå konceptet med en diagonal matris genom att ta följande exempel.

Exempel: Diagonalisera matrisen A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Lösning:

Vi har redan löst för egenvärdena och egenvektorerna för A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Egenvärdena för A är λ = 0, λ = 0 och λ = -8

Egenvektorerna för A äregin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Således,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Vi kan lätt hitta inversen av X som,

X-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Läs mer,

  • Elementär operation på matriser
  • Identitetsmatris
  • Invers av en matris

Lösta exempel på egenvektorer

Exempel 1: Hitta egenvektorerna för matrisen A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Lösning:

Matrisens egenvärden hittas med hjälp av,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)3= 0

Således är egenvärdena,

λ = 1, 1, 1

Eftersom alla egenvärden är lika har vi tre identiska egenvektorer. Vi hittar egenvektorerna för λ = 1 med (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

lösa ekvationen ovan får vi,

  • a = K
  • y = 0
  • z = 0

Då är egenvektorn,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Exempel 2: Hitta egenvektorerna för matrisen A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Lösning:

Matrisens egenvärden hittas med hjälp av,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)2= 0

Således är egenvärdena,

X = 5,5

Eftersom alla egenvärden är lika har vi tre identiska egenvektorer. Vi hittar egenvektorerna för λ = 1 med hjälp av

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Helt enkelt ovanstående får vi,

ingen ingångssignal
  • a = 1, b = 0
  • a = 0, b = 1

Då är egenvektorn,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Vanliga frågor om egenvektorer

Vad är egenvektorer?

Vi definierar egenvektorn för vilken matris som helst som vektorn som vid multiplicering med matrisen resulterar i skalningsmultipeln av matrisen.

Hur hittar man egenvektorer?

Egenvektor för valfri matris A betecknas med i . Matrisens egenvektor beräknas genom att först hitta matrisens egenvärde.

  • Egenvärde för matrisen hittas med formeln |A-λI| = 0 där λ ger egenvärdena.
  • Efter att ha hittat egenvärde hittade vi egenvektor med formeln Av = λv, där v ger egenvektorn.

Vad är skillnaden mellan egenvärde och egenvektor?

För varje kvadratisk matris A representeras egenvärdena av λ och de beräknas med formeln |A – λI| = 0. Efter att ha hittat egenvärdet finner vi egenvektorn genom, Av = λv.

Vad är den diagonaliserbara matrisen?

Vilken matris som helst som kan uttryckas som produkten av de tre matriserna som XDX-1är en diagonaliserbar matris här kallas D för diagonalmatrisen.

Är egenvärden och egenvektorer samma?

Nej, egenvärden och egenvektorer är inte samma. Egenvärden är skalaren som används för att hitta egenvektorer medan egenvektorer är de vektorer som används för att hitta matrisvektortransformationer.

Kan egenvektor vara en nollvektor?

Vi kan ha egenvärdena noll men egenvektorn kan aldrig vara en nollvektor.

Vad är egenvektors formel?

Egenvektorn för valfri matris beräknas med formeln,

Av = λv

var,
l är egenvärdet
i är egenvektorn