Anta att det finns två formler, X och Y. Dessa formler kommer att kallas ekvivalens om X ↔ Y är en tautologi. Om två formler X ↔ Y är en tautologi, så kan vi också skriva det som X ⇔ Y, och vi kan läsa denna relation som X är ekvivalens med Y.

Notera: Det finns några punkter som vi bör ha i åtanke medan linjär ekvivalens av formel, som beskrivs enligt följande:

• ⇔ används endast för att indikera symbol, men den är inte bindande.
• Sanningsvärdet för X och Y kommer alltid att vara lika om X ↔ Y är en tautologi.
• Ekvivalensrelationen innehåller två egenskaper, d.v.s. symmetriska och transitiva.

Metod 1: Sanningstabellsmetod:

I den här metoden kommer vi att konstruera sanningstabellerna för valfri tvåpåståendeformel och sedan kontrollera om dessa påståenden är likvärdiga.

Exempel 1: I det här exemplet måste vi bevisa X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Lösning: Sanningstabellen för X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) beskrivs enligt följande:

Som vi kan se att X ∨ Y och ¬(¬X ∧ ¬Y) är en tautologi. Därav X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Exempel 2: I det här exemplet måste vi bevisa (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Lösning: Sanningstabellen för (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) beskrivs enligt följande:

Som vi kan se att X → Y och (¬X ∨ Y) är en tautologi. Därför (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Ekvivalensformel:

Det finns olika lagar som används för att bevisa ekvivalensformeln, som beskrivs enligt följande:

Idempotent lag: Om det finns en satsformel kommer den att ha följande egenskaper:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Associativ lag: Om det finns tre satsformler kommer det att ha följande egenskaper:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Kommutativ lag: Om det finns två satsformler kommer det att ha följande egenskaper:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Distributiv lag: Om det finns tre satsformler kommer det att ha följande egenskaper:

sara ali khan ålder

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Identitetslag: Om det finns en satsformel kommer den att ha följande egenskaper:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Kompletterande lag: Om det finns en satsformel kommer den att ha följande egenskaper:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Absorptionslag: Om det finns två satsformler kommer det att ha följande egenskaper:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Från Morgans lag: Om det finns två satsformler kommer det att ha följande egenskaper:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Metod 2: Ersättningsprocess

I denna metod kommer vi att anta en formel A : X → (Y → Z). Formeln Y → Z kan vara känd som en del av formeln. Om vi ​​ersätter denna del av formeln, dvs Y → Z, med hjälp av ekvivalensformeln ¬Y ∨ Z i A, så får vi en annan formel, d.v.s. B : X → (¬Y ∨ Z). Det är en enkel process att verifiera om de givna formlerna A och B är likvärdiga med varandra eller inte. Med hjälp av ersättningsprocess kan vi få B från A.

Exempel 1: I det här exemplet måste vi bevisa att {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Lösning: Här kommer vi att ta den vänstra sidan och försöka få den högra sidan.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nu kommer vi att använda den associativa lagen så här:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Nu kommer vi att använda De Morgans lag så här:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Därmed bevisat

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Exempel 2: I det här exemplet måste vi bevisa att {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Lösning: Här kommer vi att ta den vänstra sidan och försöka få den högra sidan.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Därmed bevisat

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

java medan skick

Exempel 3: I det här exemplet måste vi bevisa att X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Lösning: Här kommer vi att ta den vänstra sidan och försöka få den högra sidan.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Därmed bevisat

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Exempel 4: I det här exemplet måste vi bevisa att (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Lösning: Här kommer vi att ta den vänstra sidan och försöka få den högra sidan.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Nu kommer vi att använda de associativa och distribuerande lagarna så här:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nu kommer vi att använda De Morgans lag så här:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nu kommer vi att använda distributionslagen så här:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Därmed bevisat

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Exempel 5: I det här exemplet måste vi visa att ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) är en tautologi.

Lösning: Här tar vi små delar och löser dem.

Först använder vi De Morgans lag och får följande:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Därför,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Också

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Därav

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Således

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Därför kan vi säga att den givna formeln är en tautologi.

Exempel 6: I det här exemplet måste vi visa att (X ∧ Y) → (X ∨ Y) är en tautologi.

Lösning: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nu kommer vi att använda De Morgans lag så här:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Nu kommer vi att använda associativ lag och kommutativ lag så här:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Nu kommer vi att använda negationslagen så här:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Därför kan vi säga att den givna formeln är en tautologi.

Exempel 7: I det här exemplet måste vi skriva negationen av några påståenden, som beskrivs enligt följande:

1. Marry kommer att slutföra sin utbildning eller acceptera anslutningsbrevet från XYZ Company.
2. Harry ska ta en tur eller springa imorgon.
3. Får jag bra betyg blir min kusin avundsjuk.

Lösning: Först kommer vi att lösa det första påståendet så här:

1. Antag att X: Gift kommer att slutföra sin utbildning.

Y: Acceptera anslutningsbrevet från XYZ Company.

Vi kan använda följande symboliska form för att uttrycka detta uttalande:

 X ∨ Y 

Negationen av X ∨ Y beskrivs på följande sätt:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Sammanfattningsvis kommer negationen av ett givet uttalande att vara:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Antag att X: Harry kommer att åka en tur

Y: Harry kommer att springa imorgon

Vi kan använda följande symboliska form för att uttrycka detta uttalande:

 X ∨ Y 

Negationen av X ∨ Y beskrivs på följande sätt:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Sammanfattningsvis kommer negationen av ett givet uttalande att vara:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Antag att X: Om jag får bra betyg.

Y: Min kusin kommer att vara avundsjuk.

Vi kan använda följande symboliska form för att uttrycka detta uttalande:

 X → Y 

Negationen av X → Y beskrivs på följande sätt:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Sammanfattningsvis kommer negationen av ett givet uttalande att vara:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Exempel 8: I det här exemplet måste vi skriva negationen av vissa påståenden med hjälp av De Morgans lag. Dessa uttalanden beskrivs enligt följande:

1. Jag behöver en diamantuppsättning och värd en guldring.
2. Du får ett bra jobb eller så får du ingen bra partner.
3. Jag tar mycket arbete och jag orkar inte med det.
4. Min hund åker på tur eller så gör den stök i huset.

Lösning: Negationen av alla påståenden med hjälp av De Morgans lag beskrivs en efter en så här:

1. Jag behöver inte en diamantuppsättning eller inte värd en guldring.
2. Du kan inte få ett bra jobb och du kommer att få en bra partner.
3. Jag tar inte mycket arbete eller så kan jag hantera det.
4. Min hund åker inte på tur och den gör inte stök i huset.

Exempel 9: I det här exemplet har vi några påståenden, och vi måste skriva negationen av dessa påståenden. Uttalandena beskrivs enligt följande:

1. Om det regnar avbryts planen att gå till stranden.
2. Om jag pluggar hårt så får jag bra betyg på provet.
3. Om jag går på en sena fest så får jag straff av min far.
4. Om du inte vill prata med mig måste du spärra mitt nummer.

Lösning: Negationen av alla påståenden beskrivs en efter en så här:

1. Om planen att gå till stranden avbryts, då regnar det.
2. Får jag bra betyg på provet så pluggar jag hårt.
3. Om jag får straff av min far så går jag på en kvällsfest.
4. Om du måste spärra mitt nummer, då vill du inte prata med mig.

Exempel 10: I det här exemplet måste vi kontrollera om (X → Y) → Z och X → (Y → Z) är logiskt ekvivalenta eller inte. Vi måste motivera vårt svar med hjälp av sanningstabeller och med hjälp av logiska regler för att förenkla båda uttrycken.

Lösning: Först kommer vi att använda metod 1 för att kontrollera om (X → Y) → Z och X → (Y → Z) är logiskt ekvivalenta, vilket beskrivs enligt följande:

referera datatyper i java

Metod 1: Här kommer vi att anta följande:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

Och

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Metod 2: Nu kommer vi att använda den andra metoden. I den här metoden kommer vi att använda sanningstabellen.

I denna sanningstabell kan vi se att kolumnerna (X → Y) → Z och X → (Y → Z) inte innehåller identiska värden.