Förutsättningar: BIT Givet 'n' linjesegment vart och ett av dem är antingen horisontellt eller vertikalt, hitta det maximala antalet trianglar (inklusive trianglar med noll area) som kan bildas genom att sammanfoga linjesegmentens skärningspunkter. Inga två horisontella linjesegment överlappar varandra och inte heller två vertikala linjesegment. En linje representeras med två punkter (fyra heltal första två är x- respektive y-koordinaterna för den första punkten och de andra två är x- och y-koordinaterna för den andra punkten) Exempel:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Idén bygger på Sweep Line Algoritm . Bygg en lösning i steg:
- Lagra båda punkterna i alla linjesegment med motsvarande händelse (beskrivs nedan) i en vektor och sortera alla punkter i icke-minskande ordning av deras x-koordinater.
- Låt oss nu föreställa oss en vertikal linje som vi sveper över alla dessa punkter och beskriver 3 händelser baserat på vilken punkt vi för närvarande är:
- a vertikal linje
- Vi kallar regionen 'aktiv' eller de horisontella linjerna 'aktiv' som har haft det första evenemanget men inte det andra. Vi kommer att ha en BIT (binärt indexerat träd) för att lagra 'y'-koordinaterna för alla aktiva linjer.
- När en rad blir inaktiv tar vi bort dess 'y' från BIT.
- När en händelse av tredje typ inträffar, det vill säga när vi är på en vertikal linje, frågar vi trädet inom intervallet för dess 'y'-koordinater och lägger till resultatet till antalet skärningspunkter hittills.
- Slutligen får vi säga antalet korsningspunkter m då blir antalet trianglar (inklusive nollarea). mC3 .
i - punkten längst till vänster i ett horisontellt linjesegmentut - punkt längst till höger i ett horisontellt linjesegmentNotera: Vi måste noggrant sortera punkterna titta på cmp() funktion i genomförandet för förtydligande.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Produktion:
java läs csv-fil
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Auxiliary Space: O(maxy) där maxy = 1000005