Vi kan också kalla handskakningsteorin som summan av gradsatsen eller Handskakningslemma. Handskakningsteorin säger att summan av graden av alla hörn för en graf kommer att vara dubbelt så många kanter som den grafen innehåller. Den symboliska representationen av handskakningsteorin beskrivs på följande sätt:
Här,
'd' används för att ange graden av vertex.
'v' används för att indikera vertex.
Freddie Mercury född
'e' används för att indikera kanterna.
Handskakningssats:
Det finns några slutsatser i handskakningssatsen, som måste dras, som beskrivs enligt följande:
I vilken graf som helst:
- Det måste finnas jämna tal för summan av graden av alla hörn.
- Om det finns udda grader för alla hörn, måste summan av graden av dessa hörn alltid förbli jämn.
- Om det finns några hörn som har en udda grad, kommer antalet av dessa hörn att vara jämnt.
Exempel på handskakningsteori
Det finns olika exempel på handskakningsteori, och några av exemplen beskrivs enligt följande:
Exempel 1: Här har vi en graf som har graden av varje vertex som 4 och 24 kanter. Nu ska vi ta reda på antalet hörn i denna graf.
Lösning: Med hjälp av ovanstående graf har vi fått följande detaljer:
Grad av varje vertex = 24
Antal kanter = 24
Nu antar vi antalet hörn = n
Med hjälp av handskakningssatsen har vi följande saker:
Summan av en grad av alla hörn = 2 * Antal kanter
Nu kommer vi att lägga de givna värdena i ovanstående handskakningsformel:
n*4 = 2*24
n = 2*6
n = 12
Således, i graf G, är antalet hörn = 12.
Exempel 2: Här har vi en graf som har 21 kanter, 3 hörn av grad 4 och alla andra hörn av grad 2. Nu ska vi ta reda på det totala antalet hörn i denna graf.
Lösning: Med hjälp av ovanstående graf har vi fått följande detaljer:
Antal grader 4 hörn = 3
Antal kanter = 21
Alla andra hörn har grad 2
Nu antar vi antalet hörn = n
Med hjälp av handskakningssatsen har vi följande saker:
Summan av graden av alla hörn = 2 * Antal kanter
Nu kommer vi att lägga de givna värdena i ovanstående handskakningsformel:
3*4 + (n-3) * 2 = 2*21
12+2n-6 = 42
2n = 42 - 6
2n=36
n = 18
Således, i graf G, är det totala antalet hörn = 18.
Exempel 3: Här har vi en graf som har 35 kanter, 4 hörn av grad 5, 5 hörn av grad 4 och 4 hörn av grad 3. Nu ska vi ta reda på antalet hörn med grad 2 i denna graf.
Lösning: Med hjälp av ovanstående graf har vi fått följande detaljer:
Antal kanter = 35
Antal grader 5 hörn = 4
Antal grader 4 hörn = 5
Antal grad 3 hörn = 4
Nu kommer vi att anta antalet grader 2 hörn = n
Med hjälp av handskakningssatsen har vi följande saker:
Summan av graden av alla hörn = 2 * Antal kanter
Nu kommer vi att lägga de givna värdena i ovanstående handskakningsformel:
4*5 + 5*4 + 4*3 + n*2 = 2*35
20 + 20 + 12 + 2n = 70
52+2n = 70
2n = 70-52
2n = 18
n = 9
Således, i graf G, antal grader 2 hörn = 9.
Exempel 4: Här har vi en graf som har 24 kanter, och graden av varje vertex är k. Nu kommer vi att ta reda på det möjliga antalet hörn från de givna alternativen.
- femton
- tjugo
- 8
- 10
Lösning: Med hjälp av ovanstående graf har vi fått följande detaljer:
Antal kanter = 24
Grad av varje vertex = k
Nu antar vi antalet hörn = n
Med hjälp av handskakningssatsen har vi följande saker:
Summan av graden av alla hörn = 2 * Antal kanter
Nu kommer vi att lägga de givna värdena i ovanstående handskakningsformel:
N*k = 2*24
K = 48/ca
Det är obligatoriskt att ett heltal innehålls av graden av någon vertex.
Så vi kan bara använda de typer av värden på n i ovanstående ekvation som ger oss ett helt värde på k.
Nu kommer vi att kontrollera de ovan angivna alternativen genom att sätta dem i stället för n en efter en så här:
- För n = 15 får vi k = 3,2, vilket inte är ett heltal.
- För n = 20 får vi k = 2,4, vilket inte är ett heltal.
- För n = 8 får vi k = 6, vilket är ett heltal, och det är tillåtet.
- För n = 10 får vi k = 4,8, vilket inte är ett heltal.
Det korrekta alternativet är alltså alternativ C.