En implikationssats kan representeras i formen 'om...då'. Symbolen ⇒ används för att visa innebörden. Anta att det finns två påståenden, P och Q. I det här fallet kan påståendet 'om P då Q' också skrivas som P ⇒ Q eller P → Q, och det kommer att läsas som 'P innebär Q'. I denna implikation är påståendet P en hypotes, som också är känt som premiss och antecedent, och påståendet Q är slutsats, vilket också kallas konsekvent.
Implikationen spelar också en viktig roll i det logiska argumentet. Om implikationen av påståendena är känd för att vara sann, måste slutsatsen också vara sann närhelst premissen är uppfylld. På grund av denna anledning är implikationen också känd som det villkorliga uttalandet.
Några exempel på implikationer beskrivs enligt följande:
hur man byter namn på en katalog linux
- 'Om vädret i GOA är soligt, då går vi till stranden'.
- 'Om klubben har rabattsystem, då kommer vi att gå till den klubben'.
- 'Om det är soligt när du går till stranden, då blir vi solbrända'.
Den logiska implikationen kan uttryckas på olika sätt, som beskrivs på följande sätt:
- Om p då q
- Om p, q
- q när sid
- Q endast om P
- q om inte ~s
- q närhelst sid
- p är ett tillräckligt villkor för q
- q följ sid
- p innebär q
- Ett nödvändigt villkor för p är q
- q om sid
- q är nödvändigt för p
- p är ett nödvändigt villkor för q
Nu kommer vi att beskriva exemplen på alla ovan beskrivna implikationer med hjälp av premiss P och slutsats Q. För detta kommer vi att anta att P = Det är soligt och Q = Jag ska gå till stranden.
P ⇒ F
- OM det är soligt DÅ ska jag gå till stranden
- OM det är soligt ska jag gå till stranden
- Jag ska gå till stranden NÄR det är soligt
- Jag kommer ENDAST att gå till stranden OM det är soligt
- Jag ska gå till stranden OM det inte är soligt
- Jag kommer att gå till stranden NÄR det är soligt
- Det är soligt ÄR ETT TILLRÄCKLIGT FÖRUTSÄTTNING FÖR att jag ska gå till stranden
- Jag ska gå till stranden FÖLJ det är soligt
- Det är soligt ANVISAR att jag ska gå till stranden
- ETT NÖDVÄNDIGT FÖRUTSÄTTNING FÖR ATT det är soligt är att jag ska gå till stranden
- Jag ska gå till stranden OM det är soligt
- Jag kommer att gå till stranden ÄR NÖDVÄNDIGT FÖR det är soligt
- Det är soligt ÄR ETT NÖDVÄNDIGT FÖRUTSÄTTNING FÖR att jag ska gå till stranden
När det finns ett villkorligt påstående 'om p då q', så kommer detta påstående P ⇒ Q att vara falskt när Premisser p är sanna och slutsats q är falsk. I alla andra fall betyder det att när p är falskt eller Q är sant, kommer påståendet P ⇒ Q att vara sant. Vi kan representera detta påstående med hjälp av en sanningstabell där det falska kommer att representeras av F och sant kommer att representeras av T. Sanningstabellen för påståendet 'om P så Q' beskrivs enligt följande:
| P | F | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Det är inte nödvändigt att premisserna och slutsatsen är relaterade till varandra. På basis av formuleringen av P och Q är tolkningen av sanningstabellen beroende.
Till exempel:
- Om Jack är gjord av plast är havet grönt.
- Uttalandet: Jack är gjord av plast
- Uttalandet: Havet är grönt
Ovanstående två uttalanden är inte meningsfulla eftersom Jack är en människa, och han kan aldrig vara gjord av plast, och ett annat påstående Ocean är grönt kommer aldrig att hända eftersom havet alltid är blått och havets färg kan inte ändras. Som vi kan se att båda påståendena inte är relaterade till varandra. Å andra sidan är sanningstabellen för påståendet P ⇒ Q giltig. Det är alltså inte en fråga om sanningstabellen är korrekt eller inte, utan det är en fråga om fantasi och tolkning.
Så i P ⇒ Q behöver vi inte någon typ av koppling mellan premissen och konsekvent. På basis av det verkliga värdet av P och Q, beror innebörden av dessa endast.
Dessa påståenden kommer också att vara falska även om vi betraktar båda påståendena för vår värld, så
False ⇒ False
Så när vi tittar på sanningstabellen ovan ser vi att när P är falskt och Q är falskt så är P ⇒ Q sant.
Så, om Jacket är gjord av plast, kommer havet att vara grönt.
Premiss p och slutsats q kommer dock att vara relaterade, och båda påståendena är vettiga.
Tvetydighet
Det kan finnas en tvetydighet i den underförstådda operatorn. Så när vi använder imply-operatorn (⇒), vid denna tidpunkt, bör vi använda parentesen.
Till exempel: I det här exemplet har vi ett tvetydigt påstående P ⇒ Q ⇒ R. Nu har vi två tvetydiga påståenden ((P ⇒ Q) ⇒ R) eller (P ⇒ (Q ⇒ R)), och vi måste visa om dessa påståenden är lika eller inte.
Lösning: Vi kommer att bevisa detta med hjälp av en sanningstabell, som beskrivs så här:
| P | F | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
I ovanstående sanningstabell kan vi se att sanningstabellen för P ⇒ (Q ⇒ R) och (P ⇒ Q) ⇒ R inte är lika. Därför kommer de båda att generera olika utdata eller resultat.
Mer om Implikation
Några fler exempel på implikationer beskrivs enligt följande:
- Om det är soligt så går jag till skolan.
- Får jag ett bra jobb kommer jag att tjäna pengar.
- Får jag bra betyg så blir mina föräldrar glada.
I alla ovanstående exempel blir vi förvirrade eftersom vi inte vet när en implikation kommer att betraktas som sann och när den kommer att betraktas som falsk. För att lösa detta problem och förstå begreppet implikation kommer vi att använda ett hypotetiskt exempel. I det här exemplet kommer vi att anta att Marry kommer att spela badminton med sin pojkvän Jack, och hans pojkvän Jack vill motivera Marry lite, så han lockar henne med ett uttalande:
'If you win then I will buy a ring for you'
Genom detta uttalande menar Jack att Om gifta sig vinner, så kommer han självklart att köpa en ring. Genom detta uttalande förbinder Jack sig bara när Marry vinner. Han begick inget i alla fall när Mary släppte. Så i slutet av matchen kan det bara finnas fyra möjligheter, som beskrivs så här:
- Gifta sig vinner - köp en ring.
- Gifta sig vinner - köp ingen ring.
- Gifta sig förlorar - köp en ring.
- Gifta sig förlorar - köp ingen ring.
Jack gjorde dock inget uttalande relaterat till regel (B). Han nämnde inte heller regelnummer (C) och (D) i sitt uttalande, så om Marry loose, då är det helt upp till Jack att köpa en ring till henne eller inte. I själva verket kan uttalanden (A), (C) och (D) hända som resultatet av det uttalande som Jack säger till Marry, men (B) kommer inte att bli resultatet. Om utfall (B) inträffar, kommer Jack först att fångas i en lögn. I alla de andra tre fallen, dvs (A), (C) och (D), kommer han att ha talat sanning.
Nu kommer vi att använda det enklare uttalandet så att vi symboliskt kan definiera Jacks uttalande så här:
P: you win Q: I will buy a ring for you
I denna implikation använder vi den logiska symbolen ⇒, som kan läsas som 'antyder'. Vi kommer att bilda Jack's Compound-satsen med hjälp av att sätta denna pil från P till Q så här:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Sammanfattningsvis har vi observerat att implikationen kommer att vara falsk endast när P är sant och q är falskt. Enligt detta uttalande vinner Marry spelet, men tyvärr köper inte Jack en ring. I alla andra fall/utfall kommer påståendet att vara sant. Följaktligen beskrivs sanningstabellen för implikation enligt följande:
| P | F | P ⇒ F |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Listan över motsvarande logiska ekvationer för implikationen beskrivs enligt följande:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Exempel på implikationer:
Det finns olika exempel på implikationer, och några av dem beskrivs enligt följande:
Exempel 1: Anta att det finns fyra påståenden, P, Q, R och S där
P: Jack är i skolan
F: Jack undervisar
R: Jack sover
S: Jack är sjuk
Nu kommer vi att beskriva några symboliska uttalanden som är involverade i dessa enkla uttalanden.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Här måste vi visa representationen av tolkningen av dessa symboliska uttalanden i ord.
Lösning:
| P → R | Om Jack går i skolan, då undervisar Jack. |
| S → ~P | Om Jack är sjuk går han inte i skolan. |
| ~Q → (S ∧ R) | Om Jack inte undervisar, är han sjuk och sover. |
| (P ∨ R) → ~Q | Om Jack är i skolan eller sover, då undervisar han inte. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Om Jack inte sover och inte är sjuk, så undervisar han eller inte i skolan. |
Exempel 2: I det här exemplet har vi en implikation P → Q. Här har vi också ytterligare tre sammansatta påståenden som är naturligt förknippade med denna implikation som är kontrapositiv, omvänd och omvänd till implikationen. Sambandet mellan alla dessa fyra påståenden beskrivs med hjälp av en tabell, som beskrivs på följande sätt:
| Inblandning | P → F |
| Samtala | Q → P |
| Omvänd | ~P → ~Q |
| Kontrapositivt | ~Q → ~P |
Nu ska vi överväga ett exempel på implikation, som har uttalandet: 'Om du studerar bra får du bra betyg'. Detta uttalande har formen P → Q, där
P: du pluggar bra
F: du får bra betyg
Nu kommer vi att använda P- och Q-satserna och visa de fyra associerade satserna så här:
Inblandning: Om du pluggar bra får du bra betyg.
Samtala: Får man bra betyg så pluggar man bra.
Omvänd: Om du inte pluggar bra får du inte bra betyg.
Kontrapositiva: Får man inte bra betyg så pluggar man inte bra.
Sanningsvärdena för alla ovanstående associerade uttalanden beskrivs med hjälp av en sanningstabell, som beskrivs enligt följande
| P | F | ~P | ~Q | P → F | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
I tabellen ovan kan vi se att implikationen (P → Q) och dess kontrapositiva (~Q → ~P) har samma värde i sina kolumner. Det betyder att de båda är likvärdiga. Så vi kan säga att:
P → Q = ~Q → ~P
På samma sätt kan vi se att den omvända och den omvända båda har liknande värden i sina kolumner. Men detta kommer inte att göra någon skillnad eftersom det omvända är det motsatta till det motsatta. På liknande sätt kan den ursprungliga implikationen komma från det kontrapositiva till det kontrapositiva. (Det betyder att om vi negerar P och Q och sedan byter pilens riktning, och efter det kommer vi att upprepa processen igen, det betyder att negera ~P och ~Q, och återigen byter pilens riktning, i det här fallet kommer vi att få tillbaka där vi började).