Mitten av en triangel är skärningspunkten för alla tre vinkelhalveringslinjer i en triangel. Mitten är en viktig punkt i en triangel där linjer som skär vinklar på mitten möts. Denna punkt är också mitten av en cirkel som kallas Incircle som passar perfekt inuti triangeln och berör alla tre sidor lika. Den här artikeln täcker olika begrepp om triangelns centrum, som varför denna punkt är viktig, hur man hittar den med hjälp av en kompass eller siffror och egenskaperna för cirkelns centrum.
Innehållsförteckning
- Vad är centrum i en triangel?
- Egenskaper för ett centrum av en triangel
- Mitten av en triangelformel
- Hur man hittar centrum av en triangel
- Centroid, Circumcenter, Incenter, Orthocenter
Vad är centrum i en triangel?
Mittpunkten i en triangel, som namnet antyder, är triangelns mittpunkt. Denna punkt som vi kallar ett centrum bildas i korsningen där alla linjer som delar de inre vinklarna möts. Punktens avstånd från alla tre sidor av triangeln är samma. Triangelns incirkel passar också en perfekt cirkel inuti triangeln och denna cirkel kallas triangelns incirkel.
Incenter Definition
Mitten av en triangel är punkten inuti triangeln där alla tre linjerna som skär dess inre vinklar på mitten möts. Denna punkt är på samma avstånd från triangelns tre sidor, vilket gör den som triangelns mitt. Det är också mitten av den största cirkeln som kan passa tätt inuti triangeln, som vi kallar incirkeln. För att symbolisera mitten använder vi vanligtvis bokstaven I,
Mitten av en triangel
Egenskaper för ett centrum av en triangel
Några viktiga egenskaper hos triangelns centrum ges nedan:
Egendom 1: Om jag är mitten av en triangel ABC, då är tre par linjesegment lika långa: AE och AG, CG och CF, och BF och BE. Detta betyder att AE = AG, CG = CF och BF = BE.
Egendom 2: Mitten jag har också ett speciellt förhållande till triangelns vinklar. Det gör att vinklarna ∠BAI och ∠CAI blir lika, ∠BCI och ∠ACI att vara lika, och ∠ABI och ∠CBI att vara lika. Detta följer vinkelhalveringssatsen.
Egenskap 3: Mitten jag är mitten av en cirkel som rör alla tre sidor av triangeln, och avstånden från jag till sidorna av triangeln (EI, FI, GI) är alla lika. Dessa avstånd kallas inradii, eller radien på incirkeln.
Egendom 4: Du kan beräkna arean av triangeln med hjälp av semiperimetern (s) och inradius (r). Formeln är A = sr, där A är arean, s är halvperimetern (s = (a + b + c)/2, där a, b och c är triangelns sidolängder) och r är triangeln inradius.
Egendom 5: En triangels centrum förblir alltid innanför triangeln. Till skillnad från ortocentret, som i vissa fall kan vara utanför triangeln, är incentret alltid inom triangelns gränser.
Mitten av en triangelformel
Formeln för att hitta formelns centrum med 3 koordinater (x1, och1), (x2, och2), och (x3, och3) är:
{(yxa 1 + bx 2 + cx 3 )/(a + b + c), (är 1 + av 2 + c 3 )/(a + b + c)}
java generika
Enkelt uttryckt, för att få centrum, du:
- Multiplicera x-koordinaten för punkt A med sidlängden a, x-koordinaten för punkt B med sidlängden b och x-koordinaten för punkten C med sidlängden c. Lägg sedan ihop dessa.
- Dela resultatet med summan av sidlängderna a, b och c.
- Upprepa samma process för y-koordinaterna, men använd sidolängderna a, b och c.
Mitten av en triangelvinkelformel
Formeln för att hitta mitten av en vinkel i en triangel är följande:
Låt, I en triangel är D, F och G de punkter där vinkelhalveringslinjerna för vinklarna A, B respektive C möter sidorna BC, AC och AB.
Vinkeln ∠AIB (där I är triangelns centrum) kan beräknas med formeln:
∠AIB = 180° – (hälften av summan av vinklarna A och B)
ELLER
∠AIB = 180° – (∠A + ∠B)/2
Hur man hittar centrum av en triangel
Det finns två metoder för att hitta mitten av en triangel. I konstruktionen lokaliserar vi mitten genom att rita triangelns vinkelhalveringslinje. I koordinatgeometrin använder vi en formel för att bestämma mitten.
Använda koordinatgeometri : Hitta triangelns centrum med koordinaterna som anges som: A(2, 2), B(6, 2) och C(4, 5)
Enligt givna uppgifter
- (x1, och1) = (2, 2)
- (x2, och2) = (6, 2)
- (x3, och3) = (4, 5)
Vi vet att mitten av en triangel är:
I(x, y) = {(yxa 1 + bx 2 + cx 3 )/(a + b + c), (är 1 + av 2 + c 3 )/(a + b + c)}
För sida a: Avståndet mellan punkterna B och C = √((6 – 4)2+ (2 – 5)2) = √8
För sida b: Avståndet mellan punkterna A och C = √((2 – 4)2+ (2 – 5)2) = √13
För sida c: Avståndet mellan punkterna A och B = √((6 – 2)2+ (2 – 2)2) = 4
Om vi sätter värdena för a, b, c i formeln för mitten får vi:
I(x, y) = {(8×2 + 13×5 + 4×4)/(8 + 13 +4), (8×2 + 13×2 + 4×5)/(8 + 13 +4) )}
⇒ I(x, y) = (16 + 78 + 16)/(25), (16 + 26 + 20)/(25)
⇒ I(x, y) = (110/25, 62/25) = (22/5,62/25)
∴ Triangelns centrum ABC med koordinaterna är (22/5,62/25)
tecken till sträng java
Hur man konstruerar mitten av en triangel?
För att konstruera mitten av en triangel måste du använda en kompass. Använd en kompass genom att följa stegen nedan:
Steg 1: Sätt ena änden av kompassen på en vertex av triangeln och den andra änden vidrör ena sidan.
Steg 2: Använd kompassen för att rita två bågar på två sidor av triangeln.
Steg 3: Med samma avstånd på kompassen gör du två bågar inuti triangeln. Dessa bågar ska korsa varandra varifrån de rör vid sidorna.
Steg 4: Rita en linje från triangelns vertex till där de två inre bågarna korsar.
Steg 5: Upprepa samma steg från triangelns andra hörn.
Steg 6: Där de två linjerna möts eller korsar är triangelns centrum.
Mitten av den rätvinkliga triangeln
Incentret om en Rättvinklad triangel är punkten där alla vinkelhalveringslinjer i en rätvinklig triangel möts. Om sidorna i en rätvinklig triangel mäter a, b och c så ges radien för incirkeln 'r' som r = (ab)/(a + b + c). Mitten av den högra triangeln illustreras nedan:
Mitten av en rätvinklig triangel
java par
Centroid, Circumcenter, Incenter, Orthocenter
Centroid, Circumcenter, Incenter och Orthocenter är de fyra viktiga punkterna relaterade till en traingle. En jämförelse mellan Centroid, Circumcenter, Incenter och Orthocenter visas nedan:
Centroid | Runt centrum | I mitten | Ortocenter |
|---|---|---|---|
Skärningspunkt för median | Skärningspunkt för vinkelrät bisektor | Skärningspunkten för vinkelhalveringslinjen | Skärningspunkt mellan höjder |
Delar medianen i 2:1 | Mitten av triangelns omslutande cirkel | Mitten av triangelns cirkel | Ortocenter av rät triangel är i rät vinkel |
Kolla också
sortera arraylistan i java
- Triangelns område
- Triangelns omkrets
- Vinkelsummeegenskap för en triangel
Exempel på centrum av en triangel
Exempel 1: Beräkna mitten av triangeln ABC. AB= 8 cm, BC= 15 cm, CA= 17 cm.
Lösning:
Använd formeln för Triangelns centrum = (aA + bB + cC)/(a + b + c)
var,
- a = 8
- b = 15
- c = 17
Och vinklar är,
- A = 30°
- B = 60°
- C = 90°
Att sätta dessa värden i formeln för att få,
⇒ {(8)(30) + (15)(60) + (17)(90)}/{8 + 15 + 17}
⇒ (240 + 900 + 1530)/40
⇒ 2670/40
⇒ 66,75
Exempel 2: Jane beräknade arean av ett triangulärt fält som 120 kvadratmeter. Fältets omkrets är 36 meter. Om en cirkel ritas inuti triangeln på ett sätt så att den rör vid varje sida av triangeln, hjälp Jane att beräkna triangelns inradius.
Lösning:
Enligt den givna informationen,
Triangelns area = 120 kvadratmeter
Triangelns omkrets = 36 meter
Vi vet att arean av en triangel = r × s
s = semiperimeter
s = p/2 = 36/2 = 18
A = r × s
r = A/s
r = 120/18
r = 6,67 meter
Öva problem på centrum av en triangel
Uppgift 1: Med tanke på triangeln PQR med hörn P(1, 2), Q(4, 6) och R(7, 2), hitta koordinaterna för mitten.
Uppgift 2: Konstruera en triangel ABC med ∠A = 45°, ∠B = 60° och ∠C = 75°. Använd konstruktionsmetoden för att hitta mitten.
Uppgift 3: I triangeln LMN, om ∠L = 75°, ∠M = 60° och ∠N = 45°, hitta koordinaterna för mitten.
Uppgift 4: Konstruera en triangel XYZ med ∠X = 80°, ∠Y = 50° och ∠Z = 50°. Använd konstruktionsmetoden för att hitta mitten.
Incenter of a Triangle: Vanliga frågor
Vad är centrum i en triangel?
Mitten av en triangel är den punkt där de inre vinklarnas bisektrar skär varandra. Det är lika långt från alla tre sidorna av triangeln.
konvertera sträng till heltal
Vad är betydelsen av mitten i en triangel?
Mitten är signifikant eftersom det är mitten av triangelns incirkel, den största cirkeln som passar in i triangeln. Det har egenskapen att vara lika långt från alla håll.
Kan Incenter vara utanför triangeln?
Nej, mitten är alltid innanför triangeln. Det är punkten för samtidighet för vinkelhalveringslinjen, och per definition måste den ligga inom triangelns gränser.
Hur är Incenter konstruerad med en kompass och rak kant?
För att konstruera mitten, använd en kompass för att rita vinkelhalveringslinjer från varje vertex till motsatt sida. Mitten är punkten där dessa halvledar skär varandra.
Vad är Incenter Formula?
Formeln för en triangels centrum kan skrivas som:
frac{(aA+bB+cC)}{a+b+c}
Vad är egenskaperna hos en triangels centrum?
Incentret har några viktiga egenskaper. Det är lika långt från triangelns sidor, vilket betyder att avstånden till sidorna är lika. Det är också skärningspunkten för vinkelhalveringslinjen, som delar upp vinklarna i två lika delar.
Hur bestäms incentret?
För att bestämma mitten måste du hitta var vinkelhalveringslinjerna skär varandra. Detta kan göras med hjälp av incenterformeln eller genom att rita vinkelhalveringspunkten och hitta deras skärningspunkt.
Vad är skillnaden mellan Incentre och Circumcentre?
Den största skillnaden mellan incenter och circumcenter är deras fokus. Incentret handlar om vinkelhalveringslinjer och är centrum för den inskrivna cirkeln, medan circumcenter handlar om vinkelräta bisektrar och är centrum för den omskrivna cirkeln.
Är Incentre och Centroid samma sak?
Nej, mitten och tyngdpunkten är olika. Incentret är där vinkelhalveringslinjerna möts, medan tyngdpunkten är där medianerna skär varandra. Medianer kopplar hörn till mittpunkten på den motsatta sidan.
Är Incentre och Orthocentre samma sak?
Nej, incenter och ortocenter är inte samma sak. Incentret är den punkt där vinkeln halverar varandra, medan ortocentret involverar höjder – linjer från varje vertex vinkelräta mot motsatt sida. De är olika punkter i en triangel.