Regel 2

Om LHS och RHS för uttrycken byts ut, så vänder olikheten. Det kallas omvänd egenskap.

• Om a> b, då b
• Om en a
• Om a ≥ b, då b ≤ a
• Om a ≤ b, då b ≥ a

Regel 3

Om samma konstant k adderas eller subtraheras från båda sidor av olikheten, så är båda sidor av olikheten lika.

• Om a> b, då a + k> b + k
• Om a> b, då a – k> b – k

Likaså för andra ojämlikheter.

• Om en
• Om en
• Om a ≤ b, då a + k ≤ b + k
• Om a ≤ b, då a – k ≤ b – k
• Om a ≥ b, då a + k ≥ b + k
• Om a ≥ b, då a – k ≥ b – k

Olikhetens riktning ändras inte efter att man adderat eller subtraherat en konstant.

Regel 4

Om k är en positiv konstant som multipliceras eller divideras med båda sidor av ojämlikheten, så är det ingen förändring i olikhetens riktning.

• Om a> b, då ak> bk
• Om en
• Om a ≤ b, då ak ≤ bk
• Om a ≥ b, då ak ≥ bk

Om k är en negativ konstant som multipliceras eller divideras med båda sidor av ojämlikheten, så blir olikhetens riktning omvänd.

• Om a> b, då ak
• Om a> b, då ak
• Om a ≥ b, då ak ≤ bk
• Om a ≤ b, då ak ≥ bk

Regel 5

Kvadraten av ett tal är alltid större än eller lika med noll.

• a²≥ 0

Regel 6

Att ta kvadratrötter på båda sidor av ojämlikheten ändrar inte riktningen för ojämlikheten.

• Om a> b, då √a> √b
• Om en
• Om a ≥ b, då √a ≥ √b
• Om a ≤ b, då √a ≤ √b

Graf för ojämlikheter

Olikheter är antingen med en variabel eller två eller så har vi ett system av ojämlikheter, alla kan plottas till det kartesiska planet om det bara innehåller två variabler. Olikheter i en variabel plottas på reella linjer och två variabler plottas på det kartesiska planet.

Intervallnotation för ojämlikheter

Viktiga punkter för att skriva intervaller för ojämlikheter:

• Om det är större än och lika med ( ≥ ) eller mindre än lika med ( ≤ ), är slutvärdena inkluderade så slutna eller hakparenteser [ ] används.
• Vid större än ( > ) eller mindre än ( < ), slutvärdena exkluderas så öppna parenteser () används.
• För både positiv och negativ oändlighet används öppna parenteser ().

Följande tabell representerar intervall för olika ojämlikheter:

Graf för linjära olikheter med en variabel

Från följande tabell kan vi förstå hur man ritar olika linjära olikheter med en variabel på en verklig linje.

Olikhet	Intervall	Graf
x> 1	(1, ∞)	Linjära ojämlikheter med en variabel
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Graf för linjära olikheter med två variabler

Låt oss ta ett exempel på linjära ojämlikheter med två variabler.

Betrakta den linjära olikheten 20x + 10y ≤ 60, eftersom de möjliga lösningarna för given olikhet är (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0) ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), och även alla punkter bortom dessa punkter är också lösningen på ojämlikheten.

Låt oss rita grafen från de givna lösningarna.

vad är export i linux

Det skuggade området i grafen representerar de möjliga lösningarna för den givna ojämlikheten.

Läs också

• Grafisk lösning av linjära olikheter i två variabler

Typer av ojämlikheter

Det finns olika typer av ojämlikheter som kan klassificeras enligt följande:

• Polynomolikheter: Polynomolikheter är ojämlikheter som kan representeras i form av polynom. Exempel- 2x + 3 ≤ 10.
• Absoluta värdeojämlikheter: Absolutvärdesojämlikheter är ojämlikheterna inom absolutvärdetecknet. Exempel- |y + 3| ≤ 4.
• Rationella ojämlikheter: Rationella ojämlikheter är ojämlikheter med bråk tillsammans med variablerna. Exempel- (x + 4) / (x – 5) <5.

Hur man löser ojämlikheter

För att lösa ojämlikheterna kan vi använda följande steg:

• Steg 1: Skriv ojämlikheten i form av ekvationen.
• Steg 2: Lös ekvationen och skaffa rötterna till ojämlikheterna.
• Steg 3: Representera de erhållna värdena på tallinjen.
• Steg 4: Representera de uteslutna värdena även på tallinjen med de öppna cirklarna.
• Steg 5: Hitta intervallen från talraden.
• Steg 6: Ta ett slumpmässigt värde från varje intervall och lägg dessa värden i ojämlikheten och kontrollera om det uppfyller ojämlikheten.
• Steg 7: Lösningen för ojämlikheten är de intervall som tillfredsställer ojämlikheten.

Hur man löser polynomiska ojämlikheter

Polynomolikheter inkluderar linjära olikheter, kvadratiska olikheter, kubiska olikheter, etc. Här kommer vi att lära oss att lösa linjära och kvadratiska olikheter.

Lösa linjära ojämlikheter

Linjära olikheter kan lösas som linjära ekvationer men enligt ojämlikhetsregeln. Linjära olikheter kan lösas med enkla algebraiska operationer.

Ojämlikheter i ett eller två steg

Ojämlikhet i ett steg är ojämlikheter som kan lösas i ett steg.

Exempel: Lös: 5x <10

Lösning:

⇒ 5x <10 [Dela båda sidor med 5]

⇒ x <2 eller (-∞, 2)

Tvåstegs ojämlikhet är ojämlikheter som kan lösas i två steg.

Exempel: Lös: 4x + 2 ≥ 10

Lösning:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Att subtrahera 2 från båda sidor]

⇒ 4x ≥ 8 [Dela båda sidor med 4]

⇒ x ≥ 2 eller [2, ∞)

Sammansatta ojämlikheter

Sammansatta ojämlikheter är ojämlikheter som har flera ojämlikheter åtskilda av och eller eller. För att lösa sammansatta olikheter, lös ojämlikheterna separat, och för den slutliga lösningen utför skärningen av erhållna lösningar om olikheterna separeras av och och utför föreningen av erhållna lösningar om olikheterna separeras med eller.

Exempel: Lös: 4x + 6 <10 och 5x + 2 < 12

Lösning:

Lös först 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Att subtrahera 6 från båda sidor]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 eller (-∞, 1) —–(i)

Andra lös 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Att subtrahera 2 från båda sidor]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 eller (-∞, 2) ——-(ii)

Från (i) och (ii) har vi två lösningar x <1 och x < 2.

Vi tar skärningspunkten för den slutliga lösningen då ojämlikheterna separeras med och.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Den slutliga lösningen för given olikhet i föreningen är (-∞, 1).

Läs mer

• Sammansatta ojämlikheter
• Ordproblem med linjära ojämlikheter
• Triangel Ojämlikhet

Solvw kvadratiska ojämlikheter

Låt oss ta ett exempel för att lösa absoluta värdeojämlikheter.

Exempel: Lös ojämlikheten: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Lösning:

Följande är stegen för att lösa ojämlikhet: x²– 7x + 6 ≥ 0

Steg 1: Skriv ojämlikheten i form av ekvation:

x²– 7x + 6 = 0

Steg 2: Lös ekvationen:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 och x = 1

Från steget ovan får vi värdena x = 6 och x = 1

Steg 3: Från ovanstående värden är intervallen (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Eftersom olikheten är ≥ som inkluderar lika med, så använder vi sluten parentes för de erhållna värdena.

Steg 4: Tallinjerepresentation av ovanstående intervall.

Steg 5: Ta slumpmässiga siffror mellan varje intervall och kontrollera om det uppfyller värdet. Om det uppfyller, inkludera intervall i lösningen.

För intervall (-∞, 1] låt det slumpmässiga värdet vara -1.

Att sätta x = -1 i olikheten x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (Sant)

För intervall [1, 6] låt det slumpmässiga värdet vara 2.

Att sätta x = 0 i olikheten x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (falskt)

För intervall [6, ∞) låt det slumpmässiga värdet vara 7.

Att sätta x = 7 i olikheten x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (Sant)

Steg 6: Så, lösningen för det absoluta värdet olikhet x²– 7x + 6 ≥ 0 är intervallet (-∞, 1] ∪ [6, ∞) eftersom det uppfyller olikheten som kan plottas på tallinjen som:

Hur man löser absoluta värdeojämlikheter

Låt oss ta ett exempel för att lösa absoluta värdeojämlikheter.

Exempel: Lös ojämlikheten: |y + 1| ≤ 2

Lösning:

Följande är stegen för att lösa ojämlikhet: |y + 1| ≤ 2

Steg 1: Skriv olikheten i form av en ekvation:

|y + 1| = 2

Steg 2: Lös ekvationen:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 och y + 1 = – 2

y = 1 och y = -3

Från steget ovan får vi värdena y = 1 och y = -3

Steg 3: Från ovanstående värden är intervallen (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Eftersom olikheten är ≤ som inkluderar lika med, så använder vi sluten parentes för de erhållna värdena.

Steg 4: Tallinjerepresentation av ovanstående intervall.

Steg 5: Ta slumpmässiga siffror mellan varje intervall och kontrollera om det uppfyller värdet. Om det uppfyller, inkludera intervall i lösningen.

För intervall (-∞, -3] låt det slumpmässiga värdet vara -4.

Att sätta y = -4 i olikheten |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (falskt)

För intervall [-3, 1] låt det slumpmässiga värdet vara 0.

Att sätta y = 0 i olikheten |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Sant)

För intervall [1, ∞) låt det slumpmässiga värdet vara 2.

Att sätta y = 2 i olikheten |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (falskt)

Steg 6: Så, lösningen för det absoluta värdet ojämlikhet |y + 1| ≤ 2 är intervall [-3, -1] eftersom det uppfyller olikheten som kan plottas på tallinjen som:

Hur man löser rationella ojämlikheter

Låt oss ta ett exempel för att lösa rationella ojämlikheter.

Exempel: Lös ojämlikheten: (x + 3) / (x – 1) <2

Lösning:

Följande är stegen för att lösa ojämlikhet:

Steg 1: Skriv ojämlikheten i form av ekvation: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Steg 2: Lös ekvationen:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Från steget ovan får vi värdet x = 5

Steg 3: Från ovanstående värden är intervallen (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Sedan är ojämlikheten

Eftersom olikheten för x = 1 är odefinierad, så vi tar öppen parentes för x = 1.

Steg 4: Tallinjerepresentation av ovanstående intervall.

Steg 5: Ta slumpmässiga siffror mellan varje intervall och kontrollera om det uppfyller värdet. Om det uppfyller, inkludera intervall i lösningen.

För intervall (-∞, 1) låt det slumpmässiga värdet vara 0.

Att sätta x = 0 i olikheten (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (Sant)

För intervall (1, 5) låt det slumpmässiga värdet vara 2.

Att sätta x = 3 i olikheten (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (falskt)

För intervall (5, ∞) låt det slumpmässiga värdet vara 2.

Att sätta y = 6 i olikheten (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (Sant)

Steg 6: Så, lösningen för det absoluta värdet olikhet (x + 3) / (x – 1) <2 är intervall (-∞, 1) ∪ (5, ∞) eftersom det uppfyller olikheten som kan plottas på tallinjen som:

Hur man löser linjär ojämlikhet med två variabler

Låt oss ta ett exempel för att lösa linjär olikhet med två variabler.

Exempel: Lös: 20x + 10y ≤ 60

Lösning:

Betrakta x = 0 och sätt det i den givna olikheten

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10y ≤ 60

⇒ och ≤ 6 ——(i)

Nu, när x = 0, kan y vara 0 till 6.

På samma sätt tillfredsställer ojämlikheten att sätta värden i ojämlikhet och kontrollera den.

För x = 1 kan y vara 0 till 4.

För x = 2 kan y vara 0 till 2.

För x = 3 kan y vara 0.

Den möjliga lösningen för given olikhet är (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

System av ojämlikheter

Systemen av ojämlikheter är en uppsättning av två eller flera ojämlikheter med en eller flera variabler. System av ojämlikheter innehåller flera ojämlikheter med en eller flera variabler.

Systemet av ojämlikheter är av formen:

a_elvax₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃…….. + a_1nx_{n 1}

a_tjugoettx₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃…….. + a_2nx_{n 2}

a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃…….. + a_nnx_{n n}

Grafisk representation av ojämlikhetssystem

System av ojämlikheter är en grupp av flera ojämlikheter. Lös först varje olikhet och rita grafen för varje olikhet. Skärningen av grafen för alla ojämlikheter representerar grafen för system av ojämlikheter.

Tänk på ett exempel,

Exempel: Rita graf för system av ojämlikheter

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Lösning:

Graf för 2x + 3y ≤ 6

Den skuggade delen av grafen representerar 2x + 3y ≤ 6

Graf för x ≤ 3

Skuggat område representerar x ≤ 3

Graf för y ≤ 2

Skuggat område representerar y ≤ 2

Graf för givet system av ojämlikheter

Den skuggade regionen representerar ett givet system av ojämlikheter.

Ojämlikheter – Vanliga frågor

Vad är begreppet ojämlikheter?

Ojämlikheter är de matematiska uttryck där uttryckets LHS och RHS är ojämlika.

Vilka är symbolerna för ojämlikheter?

Symboler för ojämlikheter är:>, <, ≥, ≤ och ≠.

Vad är ojämlikheternas transitiva egendom?

Transitiv egenskap hos ojämlikheter säger att om a, b, c är tre tal då,

• Om a> b och b> c, då a> c
• Om en
• Om a ≥ b och b ≥ c, då a ≥ c
• Om a ≤ b och b ≤ c, då a ≤ c