Integration är processen att summera små värden för en funktion i gränsområdet. Det är precis motsatsen till differentiering. Integration är också känd som anti-derivat. Vi har förklarat integrationen av trigonometriska funktioner i den här artikeln nedan.

Nedan är ett exempel på integrationen av en given funktion.

t.ex., Betrakta en funktion, f(y) = y².

Denna funktion kan integreras som:

∫y²du =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Men en obestämd integral är en funktion som tar antiderivatan av en annan funktion. Den representeras som en integralsymbol (∫), en funktion och en derivata av funktionen i slutet. Den obestämda integralen är ett lättare sätt att symbolisera en anti-derivata.

Låt oss lära oss vad som är integration matematiskt, integrationen av en funktion f(x) ges av F(x) och den representeras av:

∫f(x)dx = F(x) + C

Här har R.H.S. av ekvationen betyder integral av f(x) med avseende på x, F(x) kallas antiderivata eller primitiv, f(x) kallas integranden, dx kallas integrerande agent, C kallas integrationskonstant eller godtycklig konstant och x är integrationsvariabeln.

Några viktiga integraler av trigonometriska funktioner

Följande är listan över några viktiga formler för obestämda integraler på grundläggande trigonometriska funktioner att komma ihåg enligt följande:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sek²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -säng x + C
• ∫ sek x tan x dx = sek x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | sek x | +C
• ∫ barnsäng x dx = ln | sin x | + C
• ∫ sek x dx = ln | sek x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – spjälsäng x | + C

Där dx är derivatan av x, C är integrationskonstanten och ln representerar logaritm av funktionen inuti modul (| |).

I allmänhet löses problemen med obestämda integraler baserade på trigonometriska funktioner med substitutionsmetoden. Så låt oss diskutera mer om integrationen genom substitution enligt följande:

Integration genom substitution

I denna metod integration genom substitution , en given integral omvandlas till en enkel form av integral genom att ersätta den oberoende variabeln med andra. Låt oss överväga ett exempel för bättre förståelse.

Exempel: Förenkla ∫ 3x ² synd (x ³ ) dx.

Svar:

Låt I = ∫ 3x²synd (x³) dx.

För att utvärdera den givna integralen låter vi ersätta vilken variabel som helst med en ny variabel som:

Låt x³vara t för den givna integralen.

Då är dt = 3x²dx

Därför,

I = ∫ 3x²synd (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Ersätt nu x med t³och dt för 3x²dx i integralen ovan.

I = ∫ sin (t) (dt)

de tidiga mukers

Som ∫ sin x dx = -cos x + C, alltså

I = -cos t + C

Återigen, ersätt tillbaka x³för t i uttrycket som:

I = ∫ 3x ² synd (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Vilket är den nödvändiga integralen.

Därför är den allmänna formen för integration genom substitution:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

Där t = g(x)

Vanligtvis är metoden för integration genom substitution extremt användbar när vi gör en substitution för en funktion vars derivata också finns i integranden. Genom att göra det förenklas funktionen och sedan kan de grundläggande formlerna för integration användas för att integrera funktionen.

I kalkyl är metoden för integration efter substitution också känd som omvänd kedjeregel eller U-substitutionsmetoden. Vi kan använda denna metod för att hitta ett integralvärde när det ställs in i den speciella formen. Det betyder att den givna integralen har formen:

Läs mer,

• Kalkyl i matematik
• Integraler
• Integralräkning
• Differentiering av trigfunktioner
• Trigonometriska ekvationer

Exempel på problem om integration av trigonometriska funktioner

Uppgift 1: Bestäm integralen för följande funktion: f(x) = cos ³ x.

Lösning:

Låt oss betrakta integralen av den givna funktionen som,

mylivecricket in

I = ∫ cos³x dx

Det kan skrivas om som:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Använda trigonometrisk identitet; cos²x = 1 – synd²x, vi får

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Eftersom ∫ cos x dx = sin x + C,

Alltså, I = sin x – ∫ sin²x cos x dx . . . (1)

Låt, sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Ersätt t med sin x och dt för cos x dx i den andra termen i integralen ovan.

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

Återigen, ersätt tillbaka sin x med t i uttrycket.

Därför, ∫ cos ³ x dx = sin x – sin ³ x/3 + C.

Problem 2: Om f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) bestäm sedan ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Lösning:

Låt oss betrakta integralen av den givna funktionen som,

I = ∫synd²(x) cos³(x) dx

Använda trigonometrisk identitet; cos²x = 1 – synd²x, vi får

I = ∫synd²x (1 – sin²x) cos x dx

Låt sin x = t då,

⇒ dt = cos x dx

Ersätt dessa i ovanstående integral som,

I = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²– t⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Byt tillbaka värdet på t i ovanstående integral som,

Därför är jag = synd ³ x / 3 – utan ⁵ x/5 + C.

Uppgift 3: Låt f(x) = sin ⁴ (x) hitta sedan ∫ f(x)dx. dvs ∫ synd ⁴ (x) dx.

Lösning:

Låt oss betrakta integralen av den givna funktionen som,

I = ∫synd⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (utan²(x))²dx

Använda trigonometrisk identitet; synd²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, vi får

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

mediaöverföring

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Därför syndar ∫ ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Uppgift 4: Hitta integrationen av old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Lösning:

Låt oss betrakta integralen av den givna funktionen som,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Låt t = solbränna^-1x . . . (1)

Särskilj nu båda sidor med avseende på x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Därför blir den givna integralen:

I = ∫ e^tdt

⇒ I = e^t+ C. . . (2)

vyer och tabeller

Ersätt värdet av (1) i (2) med:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Vilket är den nödvändiga integrationen för den givna funktionen.

Uppgift 5: Hitta integralen för funktionen f (x) definierad som,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Lösning:

Låt oss betrakta integralen av den givna funktionen som,

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Låt (x²– 5) = t . . . (1)

Särskilj nu båda sidor med avseende på x som,

2x dx = dt

Genom att ersätta dessa värden i ovanstående integral,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Ersätt värdeekvationen (1) i ekvation (2) som,

⇒ I = synd (x²– 5) + C

Detta är den nödvändiga integrationen för den givna funktionen.

Uppgift 6: Bestäm värdet på den givna obestämda integralen, I = ∫ barnsäng (3x +5) dx.

Lösning:

Den givna integralen kan skrivas som,

I = ∫ barnsäng (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Låt, t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Således,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C

Ersätt t med sin (3x+5) i uttrycket ovan.

I = (1 / 3) ln | sin (3x+5) | + C

Detta är den nödvändiga integrationen för den givna funktionen.

Integration av trigonometriska funktioner – vanliga frågor

Vad är integrationen av en trigonometrisk funktion?

Integrationen av trigonometriska funktioner som namnet antyder är processen att beräkna integrationen eller antiderivatan av trigonometriska funktioner. Detta är den omvända processen för differentiering av trigonometriska funktioner.

Vad är grundläggande trigonometriska funktioner?

De grundläggande trigonometriska funktionerna är:

övervakad maskininlärning

• sinus (utan),
• cosinus (cos),
• tangent (tan),
• cotangens (armbåge),
• sekant (sek), och
• cosecant (csc).

Hur integrerar man sinus (sin) och cosinus (cos) funktioner?

För att integrera sinus- och cosinusfunktionerna kan vi använda följande formler:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Var C är integrationens konstant.

Vad är integrationen av den Tangent (tan) trigonometriska funktionen?

Tangentfunktionens integral ges enligt följande:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Var,

• ln representerar den naturliga logaritmen, och
• C är integrationens konstant.

Hur hittar man integralen av den trigonometriska funktionen Secant (Sec)?

Integralen av sekantfunktionen ges som:

∫ sek(x) dx = ln|sek(x) + tan(x)| + C

Var,

• ln representerar den naturliga logaritmen, och
• C är integrationens konstant.

Vad är integrationen av den trigonometriska funktionen för cotangens (säng)?

Integralen av cotangensfunktionen kan beräknas med följande formel:

∫ barnsäng(x) dx = ln|sin(x)| + C

Var,

• ln representerar den naturliga logaritmen, och
• C är integrationens konstant.

Hur hittar man integralen för Cosecant-funktionen (cosec)?

Integralen av cosecant-funktionen ges som:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – spjälsäng x | + C

Var,

• ln representerar den naturliga logaritmen, och
• C är integrationens konstant.