Objektiv funktion är målet för det linjära programmeringsproblemet som namnet antyder. Inom linjär programmering eller linjär optimering använder vi olika tekniker och metoder för att hitta den optimala lösningen på det linjära problemet med vissa begränsningar. Tekniken kan också innefatta ojämlikhetsbegränsningar. Målfunktionen i linjär programmering är att optimera för att hitta den optimala lösningen för ett givet problem.

I den här artikeln kommer vi att lära oss allt om målfunktionen inklusive dess definition, typer, hur man formulerar en objektivfunktion för ett givet problem, etc. Vi kommer också att lära oss olika representationer av målfunktioner såsom linjära målfunktioner eller icke-linjära mål funktioner. Så låt oss börja lära oss om detta grundläggande koncept i linjär programmering, dvs. Objektivfunktion.

lista på java

Vad är objektiv funktion?

Som namnet antyder sätter den objektiva funktionen i princip målet för problemet. Den fokuserar på beslutsfattande baserat på begränsningar. Det är en verkligt värderad funktion som antingen ska maximeras eller minimeras beroende på begränsningarna. Det är som en vinst eller en förlust funktion. Det betecknas vanligtvis med Z.

Terminologierna förknippade med Objective Function är följande:

• Begränsningar: De är i grunden de villkorliga ekvationerna som styr den linjära funktionen
• Beslutsvariabler: Variablerna vars värden ska tas fram. Ekvationerna löses för att få det optimala värdet av dessa variabler.
• Möjlig region: Det är regionen i grafen där begränsningarna är uppfyllda och beslutsvariablerna finns i regionens hörn.
• Optimal lösning: Den bästa möjliga lösningen som uppfyller alla begränsningar och uppnår det högsta eller lägsta målet.
• Omöjlig lösning: En lösning som bryter mot en eller flera begränsningar och som inte kan implementeras eller utföras.

Målfunktion i linjär programmering

I linjär programmering är en objektiv funktion en linjär funktion som består av två beslutsvariabler. Det är en linjär funktion som ska maximeras eller minimeras beroende på begränsningarna. Om a och b är konstanter och x och y är beslutsvariabler där x> 0 och y> 0, då är Objektivfunktionen

Z = axe + by

Så för att få det optimala värdet av optimeringsfunktionen måste vi först lösa begränsningarna med någon av teknikerna och ta reda på beslutsvariablerna. Sedan lägger vi in ​​värdena för beslutsvariabler i målfunktionen för att generera det optimala värdet.

Formulera en målfunktion

Linjär programmering handlar om att hitta de optimala värdena för beslutsvariablerna och sätta dessa värden i den objektiva funktionen för att generera maximalt eller minimalt värde. Det finns många tekniker som Simplex Method och Graphical Method för att lösa linjär programmering. Men den grafiska metoden är vanligtvis att föredra på grund av dess enkelhet. Stegen för att få de optimala värdena för målfunktionen är följande:

• Generera begränsningsekvationerna och den objektiva funktionen från problemet.
• Rita begränsningsekvationerna på grafen.
• Identifiera nu den möjliga region där begränsningarna är uppfyllda.
• Generera värdena för beslutsvariabler som finns i hörnen av den genomförbara regionen.
• Lägg alla genererade värden i målfunktionen och generera det optimala värdet.

Vanliga typer av målfunktioner

Det finns två typer av objektiva funktioner.

• Maximering målfunktion
• Minimering Mål Funktion

Låt oss diskutera dessa två typer i detalj enligt följande:

Maximering målfunktion

I denna typ strävar vi vanligtvis efter att maximera den objektiva funktionen. De hörn som hittas efter att ha ritat begränsningarna har en tendens att generera det maximala värdet för objektivfunktionen. Låt oss illustrera med hjälp av ett exempel

Exempel: En man investerar högst 8 timmars tid på att tillverka plånböcker och skolväskor. Han investerar 2 timmar på att tillverka plånböcker och 4 timmar på skolväskor. Han siktar på att göra högst 5 plånböcker och skolväskor och vill sälja dem och generera en vinst på 20 Rs på en plånbok och 100 Rs på en skolväska. Hitta den objektiva funktionen.

Lösning:

Låt x vara antalet rotis och y vara antalet bröd.

En man kan investera max 8 timmar genom att investera 2 timmar på att göra en plånbok och 4 timmar på att göra en skolväska. Därför är den första begränsningsekvationen

2x + 4y ⩽ 8

⇒ x + 2y ⩽ 4

nätverk och typer av nätverk

Det maximala antalet han kan göra är 5

x+y ⩽ 5

Låt objektivfunktionen betecknas med Z

Därför Z = 20x + 100y

Minimering Mål Funktion

I denna typ strävar vi vanligtvis efter att minimera den objektiva funktionen. De hörn som hittas efter att ha ritat begränsningarna har en tendens att generera minimivärdet för objektivfunktionen. Låt oss illustrera med hjälp av ett exempel

Exempel: Givet summan av de två variablerna är minst 20. Det ges att en variabel är större än lika med 9. Härled objektivfunktionen om kostnaden för en variabel är 2 enheter och kostnaden för en annan variabel är 9 enheter.

Lösning:

Låt x och y vara de två variablerna. Det ges summan av de två variablerna bör vara minst 20.

x+y ⩾ 20

och x ⩾ 9

Ovanför två ojämlikheter finns begränsningar för följande objektiva funktion.

Låt objektivfunktionen betecknas med Z. Därför är Z

Z = 2x + 9y

Matematisk representation av målfunktion

Som vi diskuterade om objektiv funktion i samband med linjär programmering, men objektiv funktion kan också vara icke-linjär.

• Linjära målfunktioner: I denna typ av målfunktioner är både begränsningarna och målfunktionerna linjära till sin natur. Exponenterna för variablerna är 1.
• Icke-linjära målfunktioner: I denna typ av objektivfunktion är både begränsningarna och objektiva funktionerna linjära till sin natur. Exponenterna för variablerna är antingen 1 eller större än 1.

Tillämpningar av målfunktioner

Objektiva funktioner är viktiga i verkliga scenarier. Dessa funktioner används till exempel av affärsmän. Affärsmän använder det för att maximera sin vinst. Objektivfunktioner är också användbara för transportproblem. Genom att sätta upp en funktion kan man analysera hur mycket bränsleförbrukning som sker och hur användaren därmed kan sänka priserna för densamma. Objektiva funktioner är också användbara i avståndsproblem också.

Lösta problem med målfunktion

Problem 1: En person vill ha lite bälten och plånböcker. Han har totalt besparingar på 6000 Rs och vill spendera alla sina besparingar på att köpa bälten och plånböcker så att han kan sälja det senare. Värdet på plånboken är 20 Rs och värdet på bältet är 10 Rs. Han vill förvara dem i ett skåp och skåpets maximala kapacitet är 50 enheter. Han förväntar sig en vinst på 2 Rs på bältet och 3 Rs på plånboken. Hitta begränsningarna och den resulterande objektiva funktionen.

Lösning:

Låt x vara antalet plånböcker som ska köpas och y vara antalet bälten som ska köpas. Det bör noteras närhelst maximum nämns i problemet bör vi använda '⩽' för att hitta begränsningarna

Den maximala investeringen är Rs 6000. Den första begränsningsekvationen är

20x+10y⩽6000

delsträngsmetod java

Den maximala lagringskapaciteten för skåpet är 50

x+y⩽50

Här är vinstfunktionen i grunden den objektiva funktionen. Låt detta betecknas med P. Därför är vinstfunktionen

P = 3x + 2y

Uppgift 2: Identifiera begränsningsekvationerna och målfunktionen från den givna mängden

• 2x + 3y ⩾ 50
• x + y ⩽ 50
• 5x + 4y ⩽ 40
• Z = 7x + 8y

Där x och y är större än 0.

Lösning:

Begränsningarna kan vara ojämlikhet eller ojämlikhetsformat. Men en objektiv funktion har alltid en jämställdhetssymbol

Därför är begränsningsekvationerna

2x + 3y ⩾ 50

x + y ⩽ 50

5x + 4y ⩽ 40

java-metoden

Den objektiva ekvationen är Z = 7x + 8y

Problem 3: En kvinna investerar högst 7 timmars tid på att göra rotis och bröd. Hon investerar 2 timmar på rotis och 4 timmar på bröd. Hon siktar på att göra högst 20 bröd och rotis och vill sälja dem och generera en vinst på 2 Rs på roti och 1 Rs på bröd. Hitta den objektiva funktionen.

Lösning:

Låt x vara antalet rotis och y vara antalet bröd.

En kvinna kan investera högst 7 timmar genom att investera 2 timmar på att göra en roti och 4 timmar på att baka ett bröd. Därför är den första begränsningsekvationen

2x + 4y ⩽ 7

Det maximala antalet bröd och rotis hon kan göra är 20

x + y ⩽ 20

Låt objektivfunktionen betecknas med Z

Därför Z = 2x + y.

Uppgift 4: Företaget vill tillverka produkt A och produkt B. Produkt A kräver 4 enheter kakaopulver och 1 enhet mjölkpulver Produkt B kräver 3 enheter kakaopulver och 2 enheter mjölkpulver. Det finns 87 enheter kakaopulver tillgängliga och 45 enheter mjölkpulver tillgängliga. Vinsten som ska tjänas på varje produkt är respektive . Hitta den objektiva funktionen.

Lösning:

Låt x beteckna antalet produkt A och y beteckna antalet artiklar av typ B.

Den maximala mängden kakaopulver är 87 enheter. Så den första begränsningsekvationen är

4x + 3y ⩽ 87

Den maximala mängden mjölkpulver som finns tillgänglig är 45 enheter. Så den andra begränsningsekvationen är

x + 2y ⩽ 45

Här är vårt mål att maximera vinsten. Så vår vinstfunktion är Objektivfunktionen. Låt det betecknas med Z

Z = 3x + 5y

Uppgift 5: Två typer av matpaket A och B ska genereras som består av vitaminer. Det finns minst 45 enheter av livsmedelspaket A som ska göras tillgängliga och tillverkningen av båda livsmedelspaketen bör vara minst 30. Generera den objektiva funktionen som ska genereras där livsmedelspaket A har 6 enheter vitaminer och livsmedelspaket B har 8 enheter .

Lösning:

Låt x vara antalet matpaket A och y antalet matpaket B

Minst 45 matpaket ska göras tillgängliga. Därför är den första begränsningsekvationen

x ⩾ 45

Den andra begränsningsekvationen är

x + y ⩾ 30

Den objektiva funktionen är följande:

Z = 6x + 8y

heltal jämfört med java

Vanliga frågor om målfunktion

F1: Vad är målfunktionen i linjär programmeringsproblem?

Svar:

En objektiv funktion är en verkligt värderad funktion som antingen ska maximeras eller minimeras beroende på begränsningarna. Den består av två beslutsvariabler.

F2: Vad är syftet med målfunktionen?

Svar:

Målet med objektivfunktionen är att maximera eller minimera det resulterande värdet. Det är en ekvation som uttrycks i termer av beslutsvariabler och spelar en avgörande roll i linjär programmering.

F3: Hur förstår vi om en funktion ska maximeras eller minimeras?

Svar:

För att kontrollera om en funktion ska maximeras eller inte bör vi vara bekanta med termer som 'högst', 'minst'. Om termen 'minst' ges i fråga, ska den objektiva funktionen minimeras. För termen 'högst' bör funktionen maximeras.

F4: Namnge de vanliga typerna av målfunktioner.

Svar:

Det finns två typer av målfunktioner:

• Maximering Objektiv funktion
• Minimering Mål Funktion

F5: Vilka är tillämpningarna för målfunktionen?

Svar:

Det finns olika tillämpningar av målfunktionen. De är användbara i verkliga scenarier. De används i princip för att uppskatta vinst eller förlust i varje enskilt fall. Objektiva funktioner är användbara vid transportproblem, tidsbegränsningsproblem etc.