Funktioner i matematik kan ses som varuautomater. Med tanke på pengarna i form av input ger de några burkar eller kakor i gengäld. På liknande sätt tar funktioner vissa ingångsnummer och ger oss viss utdata. Man kan säga att i verkligheten kan Allt formuleras och lösas med hjälp av funktioner. Från byggnadsdesign och arkitektur till megaskyskrapor, den matematiska modellen av nästan allt i verkligheten kräver funktioner, därför kan det inte undvikas att funktioner har gigantisk betydelse i våra liv. Domän och Range är en aspekt genom vilken en funktion kan beskrivas.

Till exempel: Anta att det är skrivet ovanpå maskinen att endast Rs.20 och Rs.50 sedlar kan användas för att köpa något. Vad händer om någon använder Rs.10-sedlar? Maskinen kommer inte att ge någon utmatning. Så domänen representerar vilken typ av input vi kan ha i en funktion. I det här fallet är Rs.20 och Rs.50 sedlar domänen för varuautomaten. På samma sätt spelar det ingen roll hur mycket pengar man lägger i maskinen, han/hon kommer aldrig att få smörgåsar från den. Så, konceptet med sortimentet kommer in i bilden här, räckvidd är de möjliga utgångar som maskinen kan ge.

Omfång och domän för en funktion

Domän för en funktion:

En domän är alla värden som kan gå in i en funktion som den ger en giltig utdata för. Det är uppsättningen av alla möjliga ingångar till en funktion.

Till exempel: I figuren nedan är f(x) = x². Uppsättningen av alla ingångar kallas Domain och uppsättningen av alla utgångar betraktas som intervallet.

Hur hittar man domänen för en funktion?

Funktionens domän bör innehålla alla reella tal utom de punkter där nämnaren blir noll och termer under kvadratrötter blir negativa. För att hitta domänen, försök att hitta de punkter eller indatavärden över vilka funktionen inte är definierad.

Fråga 1: Hitta domänen för frac{1}{1-x}

Svar:

Denna funktion kan ge odefinierad utdata när x = 1. Så, då är domän R – {1} .

Fråga 2: Hitta domänen för följande funktion:

frac{x^2}{(x-3)(x-5)}

Svar :

Det är viktigt att inte göra funktionen till varken oändlig eller odefinierad, därför måste vi se vilka domänvärden som kan göra funktionen odefinierad eller oändlig.

När man tittar på nämnaren är det tydligt att värdena 3 och 5 gör nämnaren till 0, vilket gör funktionen oändlig vilket inte är önskvärt.

Därför kan värdena x=3 och x=5 inte placeras här.

Domänen kommer att vara R – {3,5}.

Fråga 3: Hitta domänvärdena för vilka funktionerna Y = (2x ² -1) och Z= (1-3x) är lika.

Svar :

Att likställa de två funktionerna:

2 x²– 1 = 1 – 3 x

2x²+ 3x – 2 = 0

2x²+ 4x – x – 2 = 0

2x (x + 2) – 1 (x+2)= 0

(2x – 1) (x + 2) = 0

x = 1/2, -2.

Därför är domänvärdena {1/2, -2}.

Omfång för en funktion

Omfånget för en funktion är en uppsättning av alla dess möjliga utgångar.

Exempel: Låt oss betrakta en funktion ƒ: A⇢A, där A = {1,2,3,4}.

Elementen i uppsättningsdomänen kallas förbilder, och element i uppsättningens Co-Domain som mappas till förbilder kallas bilder. Omfånget för en funktion är en uppsättning av alla bilder av element i domänen. I det här exemplet är intervallet för funktionen {2,3}.

Hur hittar man räckvidden för en funktion?

Intervallet är spridningen av värdena för utdata från en funktion. Om vi ​​kan beräkna maximi- och minimivärdena för funktionen kan vi få en uppfattning om funktionens omfång.

Fråga 1: Hitta intervallet. f(x) = sqrt{x – 1}

Svar:

Nu, eftersom funktionen är en kvadratrot, kan den aldrig ge negativa värden som utdata. Så, minimivärdet kan bara vara 0 vid x = 1. Maximalt värde kan gå upp till oändligheten när vi fortsätter att öka x.

Funktionens omfång är alltså [0,∞).

Fråga 2: Domänen för funktionen ƒ definierad av f(x) = frac{1}{sqrtx} är?

Svar:

Givet, f(x) = frac{1}{sqrtx – } .

Man måste säkerställa två saker när man väljer domänuppsättningen,

• Nämnaren går aldrig till noll.
• Termen som ligger inom kvadratroten blir inte negativ.

Låt oss utöka vad som skrivs i termen inom kvadratroten.

sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases}

I det här fallet kan vi inte sätta något av värdena, x ≥ 0 eller x <0.

Därför är f inte definierat för någon x ∈ R. Så domänen är en tom mängd.

Domän och omfång av kvadratiska funktioner

Kvadratiska funktioner är funktionerna av formen f(x) = ax²+ bx + c, där a, b och c är konstanter och a ≠ 0. Grafen för en kvadratisk funktion är i form av en parabel. Det är i grunden en krökt form som öppnar sig uppåt eller nedåt.

Låt oss titta på hur man ritar kvadratiska funktioner,

Så, i vår kvadratiska funktion

• om a> 0 öppnas parabeln uppåt.
• om a <0, öppnas parabeln nedåt.

Nu är vertex den högsta eller lägsta punkten på vår kurva beroende på grafen för den kvadratiska funktionen. För att hitta toppen av grafen för ett allmänt kvadratiskt uttryck.

I standardkvadratformen ges vertex av(frac{-b}{2a}, f(frac{-b}{2a})) Man måste hitta x-värdet på vertex först och sedan bara koppla in det i funktionen för att få y-värdet.

Notera: Varje kurva är symmetrisk runt sin vertikala axel.

Låt oss titta på några exempel,

Fråga: Rita grafen för f(x) = 2x ² + 4x + 2.

Svar:

Jämför denna ekvation med den allmänna andragradsfunktionsekvationen. a = 2, b = -4 och c = 2.

Eftersom a> 0 kommer denna parabel att öppnas uppåt.

• Vertex x-värde =frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1
• Vertex y-värde = 2(-1)²+ 4(-1) + 2 = 0

Så, spetsen är vid (-1,0). Eftersom parabeln öppnar sig uppåt måste detta vara minimivärdet för funktionen.

Punkten där grafen skär y-axeln är (0,2).

Omfång och domän för kvadratiska funktioner kan lätt hittas genom att plotta grafen. Det är inte alltid nödvändigt att plotta hela grafen, för intervallet bör endast riktningen för parabeln (uppåt eller nedåt) och värdet på parabeln vid vertex vara kända. Värdet vid spetsen är alltid antingen minimum/maximum beroende på parabelns riktning. Domänen för sådana funktioner är alltid hela reella tal eftersom det finns definierade överallt dvs; det finns inget värde på input som kan få dem att ge odefinierat som utdata.

hur man konverterar sträng till int i java

Låt oss titta på ett annat exempel angående parabelns domän och räckvidd.

Fråga: Rita grafen och hitta domän och område för den givna funktionen, f(x) = -x ² + 4.

Svar:

Eftersom a = -1. Parabol kommer att öppnas nedåt, dvs; det kommer inte att finnas något minimivärde, det kommer att sträcka sig till oändligheten. Men det kommer att finnas ett maxvärde som kommer att inträffa vid vertex.

För att hitta toppunktens position kan föregående formel användas. Spetsen är i position (0,4).

Värdet vid vertex (0,4) = (0)²+ 4 = 4.

Så maxvärdet är 4 och minimivärdet är negativt eller oändligt.

Funktionens omfång – (-∞, 4] och domänen är R .