Innan vi diskuterar Routh-Hurwitz-kriteriet kommer vi först att studera det stabila, instabila och marginellt stabila systemet.
Uttalande av Routh-Hurwitz-kriteriet
Routh Hurwitz-kriteriet anger att vilket system som helst kan vara stabilt om och endast om alla rötter i den första kolumnen har samma tecken och om det inte har samma tecken eller om det finns en teckenändring så ändras antalet tecken i den första kolumnen är lika med antalet rötter i den karakteristiska ekvationen i den högra halvan av s-planet, dvs lika med antalet rötter med positiva reella delar.
Nödvändiga men inte tillräckliga förutsättningar för stabilitet
Vi måste följa vissa villkor för att göra något system stabilt, eller så kan vi säga att det finns några nödvändiga villkor för att göra systemet stabilt.
Betrakta ett system med karakteristisk ekvation:
- Alla koefficienter i ekvationen bör ha samma tecken.
- Det får inte saknas någon term.
Om alla koefficienter har samma tecken och det inte saknas termer har vi ingen garanti för att systemet kommer att vara stabilt. För detta använder vi Routh Hurwitz-kriteriet för att kontrollera systemets stabilitet. Om de ovan angivna villkoren inte är uppfyllda, sägs systemet vara instabilt. Detta kriterium ges av A. Hurwitz och E.J. Routh.
Fördelar med Routh- Hurwitz Criterion
- Vi kan hitta systemets stabilitet utan att lösa ekvationen.
- Vi kan enkelt fastställa systemets relativa stabilitet.
- Med denna metod kan vi bestämma intervallet för K för stabilitet.
- Med denna metod kan vi också bestämma skärningspunkten för rotlokus med en imaginär axel.
Begränsningar för Routh- Hurwitz-kriteriet
- Detta kriterium är endast tillämpligt för ett linjärt system.
- Det ger inte den exakta placeringen av poler på höger och vänster halva av S-planet.
- När det gäller den karakteristiska ekvationen är den endast giltig för reella koefficienter.
Routh- Hurwitz-kriteriet
Betrakta följande karakteristiska polynom
När koefficienterna a0, a1, ...................an alla har samma tecken, och ingen är noll.
Steg 1 : Ordna alla koefficienter i ovanstående ekvation i två rader:
Steg 2 : Från dessa två rader kommer vi att bilda den tredje raden:
Steg 3 : Nu ska vi bilda fjärde raden genom att använda andra och tredje raden:
Steg 4 : Vi kommer att fortsätta den här proceduren för att skapa nya rader:
Exempel
Kontrollera stabiliteten hos systemet vars karakteristiska ekvation ges av
s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0
Lösning
Erhåll pilen med koefficienter enligt följande
Eftersom alla koefficienter i den första kolumnen har samma tecken, d.v.s. positiva, har den givna ekvationen inga rötter med positiva reella delar; därför sägs systemet vara stabilt.