Sin Cos formler i trigonometri: Trigonometri, som namnet antyder, är studiet av trianglar. Det är en viktig gren av matematiken som studerar förhållandet mellan sidolängder och vinklar i den räta triangeln och som också hjälper till att bestämma de saknade sidlängderna eller vinklarna i en triangel. Det finns sex trigonometriska förhållanden eller funktioner: sinus, cosinus, tangens, cosekant, sekant och cotangens, där cosekant, sekant och cotangens är de ömsesidiga funktionerna för de andra tre funktionerna, det vill säga sinus, cosinus respektive tangens.

Ett trigonometriskt förhållande definieras som förhållandet mellan sidolängderna i en rätvinklig triangel. Trigonometri används inom olika områden i vårt dagliga liv. Det hjälper till att bestämma höjden på kullar eller byggnader. Det används också inom områden som kriminologi, konstruktion, fysik, arkeologi, marinmotorteknik, etc.

I den här artikeln kommer vi att utforska allt trigonometriformler mestadels sin- och cos-formler med sina exempel, och en lista över alla formler inom trigonometri.

Innehållsförteckning

• Formler i trigonometri
• Sinus Formel
• Cosinusformel
• Några grundläggande Sin Cos-formler
• Sin Cos Formler Tabell
• Sin Cos formler lista
• Sin Cos Formler Exempel
• Öva problem på Sin Cos-formler i trigonometri med exempel

Formler i trigonometri

Låt oss betrakta en rätvinklig triangel XYZ, där ∠Y = 90°. Låt vinkeln vid vertex Z vara θ. Den sida som gränsar till θ kallas intilliggande sida, och den sida som är motsatt θ kallas den motsatta sidan. En hypotenusa är en sida motsatt rät vinkel eller den längsta sidan av en rät vinkel.

• sin θ = Motsatt sida/hypotenusa
• cos θ = Intilliggande sida/Hypotenus
• tan θ = Motsatt sida/Angränsande sida
• cosec θ = 1/sin θ = Hypotenus/Motsatt sida
• sek θ = 1/ cos θ = Hypotenus/Angränsande sida
• barnsäng θ = 1/ tan θ = Intilliggande sida/Motsatt sida

Sinus Formel

Sinus för en vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan längden på den motsatta sidan och längden på hypotenusan och den givna vinkeln. En sinusfunktion representeras som sin.

sin θ = Motsatt sida/hypotenusa

Cosinusformel

Cosinus för en vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan längden på den intilliggande sidan och längden på hypotenusan och den givna vinkeln. En cosinusfunktion representeras som cos.

regissören Karan Johar

cos θ = Intilliggande sida/Hypotenus

Några grundläggande Sin Cos-formler

Sinus- och cosinusfunktioner i kvadranter

• Sinusfunktionen är positiv i den första och andra kvadranten och negativ i den tredje och fjärde kvadranten.
• Cosinusfunktionen är positiv i den första och fjärde kvadranten och negativ i den andra och tredje kvadranten.

Grader	Kvadrant	Tecken på sinusfunktion	Tecken på Cosinus-funktion
0° till 90°	1:a kvadranten	+ (positiv)	+ (positiv)
90° till 180°	2:a kvadranten	+ (positiv)	– (negativ)
180° till 270°	3:e kvadranten	– (negativ)	– (negativ)
270° till 360°	4:e kvadranten	– (negativ)	+ (positiv)

Den negativa vinkelidentiteten för sinus- och cosinusfunktionerna

• Sinus för en negativ vinkel är alltid lika med vinkelns negativa sinus.

sin (– θ) = – sin θ

• Cosinus för en negativ vinkel är alltid lika med cosinus för vinkeln.

cos (– θ) = cos θ

Förhållandet mellan sinus- och cosinusfunktion

sin θ = cos (90° – θ)

Reciproka funktioner för sinus- och cosinusfunktionerna

• En Cosecant-funktion är sinusfunktionens reciproka funktion.

cosec θ = 1/sin θ

• En Secant-funktion är cosinusfunktionens reciproka funktion.

sek θ = 1/cos θ

Pythagoras identitet

utan ² θ + cos ² θ = 1

Periodiska identiteter för sinus- och cosinusfunktionerna

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Dubbelvinkelformler för sinus- och cosinusfunktionerna

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – synd ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 sin ² i

Halvvinkelidentiteter för sinus- och cosinusfunktionerna

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Trippelvinkelidentiteter för sinus- och cosinusfunktionerna

sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin ³ i

cos 3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Summa- och skillnadsformler

• Sinusfunktion

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Cosinus funktion

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Sinuslagen eller sinusregeln

Sinusregeln är en trigonometrisk lag som ger ett samband mellan sidolängderna och vinklarna i en triangel.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Där a, b och c är längderna på de tre sidorna av triangeln ABC, och A, B och C är vinklarna.

Cosinuslagen

Lagen för cosinus för cosinusregeln används för att bestämma de saknade eller okända vinklarna eller sidolängderna för en triangel.

a ² = b ² + c ² – 2bc cos A

b ² = c ² + a ² – 2ca cos B

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Där a, b och c är längderna på de tre sidorna av triangeln ABC, och A, B och C är vinklarna.

Sin Cos Formler Tabell

Här är Sin- och Cos-formlertabellen/listan för olika vinklar i grader och i radianer:

Sin Cos formler lista

Sin Cos Formler Exempel

Uppgift 1: Om cos α = 24/25, hitta värdet på sin α.

Lösning:

Given,

cos a = 24/25

Från de pytagoreiska identiteterna har vi;

cos²θ + sin²θ = 1

(24/25)²+ utan²α = 1

utan²α = 1 – (24/25)²

utan²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

utan²a = (625 – 576)/625 = 49/626

sin α = √49/625 = ±7/25

Följaktligen är sin α = ±7/25.

Uppgift 2: Bevisa sin 2A och cos 2A formler, om ∠A= 30°.

Lösning:

Givet, ∠A= 30°

Vi vet det,

1) sin 2A = 2 sin A cos A

char till sträng java

sin 2(30°) = 2 sin 30° cos 30°

sin 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Since, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 och sin 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S = R.H.S

2) cos 2A = 2cos²A – 1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Sedan, cos 60° = 1/2 och cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S = R.H.S

Därmed bevisat.

Uppgift 3: Hitta värdet av cos x, om tan x = 3/4.

Lösning:

Givet, tan x = 3/4

Vi vet det,

tan x = motsatt sida/intilliggande sida = 3/4

För att hitta hypotenusan använder vi Pythagoras sats:

hypotenusa²= motsatt²+ intilliggande²

H²= 3²+ 4²

H²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Nu, cos x = intilliggande sida/hypotenusa

cos x = 4/5

Således är värdet av cos x 4/5.

Uppgift 4: Hitta ∠C (i grader) och ∠A (i grader), om ∠B = 45°, BC = 15 tum och AC = 12 tum.

Lösning:

Givet: ∠B = 45°, BC = a = 15 tum och AC = b = 12 tum.

Från sinuslagen har vi

a/sin A = b/sin B = c/sin C

⇒ a/sin A = b/sin B

⇒ 15/sin A = 12/sin 45°

⇒ 15/sin A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sin A = 12√2 = 16,97

⇒ utan A = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = synd^-1(0,8839) = 62,11°

Vi vet att summan av inre vinklar i en triangel är 180°.

Så, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Följaktligen är ∠A = 62,11° och ∠C = 72,89°.

Uppgift 5: Bevisa halvvinkelidentiteter för cosinusfunktionen.

Lösning:

Halvvinkelidentiteten för cosinusfunktionen är:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Från dubbelvinkelidentiteter har vi,

cos 2A = 2 cos²A – 1

Ersätt nu A med θ/2 på båda sidor

⇒ cos 2(θ/2) = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ 2cos²(θ/2) = cos θ + 1

⇒ för²(θ/2) = (cos θ + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Därmed bevisat.

Öva problem på Sin Cos-formler i trigonometri med exempel

1. Givet sin⁡ θ = 3/5. Hitta cos θ.

2. Bevisa identiteten sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A för A=45∘.

3. Om cos⁡ α = 5/13. Hitta sin(2a).

4. Lös för θ om sin θ = cos(90∘−θ).

5. Om tan ⁡β = 2. Hitta sin ⁡β och cos⁡ β med hjälp av den pytagoreiska identiteten.

Vanliga frågor om Sin Cos-formler i trigonometri med exempel

Vilka är de grundläggande sinus- och cosinusformlerna i trigonometri?

De grundläggande sinus- och cosinusformlerna är sin ⁡θ = Motsatt/Hypotenus och cos ⁡θ = Intilliggande/Hypotenus, där θ är en vinkel i en rätvinklig triangel.

Hur hittar man sinus och cosinus för speciella vinklar?

Specialvinklar som 0∘, 30∘, 45∘, 60∘ och 90∘ har specifika sinus- och cosinusvärden som kan komma ihåg med hjälp av trigonometriska tabeller eller enhetscirkelbegrepp.

Vad är sambandet mellan sinus- och cosinusfunktioner?

Sinus- och cosinusfunktionerna är relaterade av identiteten sin ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) och den pytagoreiska identiteten utan⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Hur använder man dubbelvinkelformlerna för sinus och cosinus?

Dubbelvinkelformlerna är sin⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ och cos(20)=cos⁡ ² θ – sin⁡ ² i. Dessa används för att uttrycka trigonometriska funktioner för dubbla vinklar i termer av enkla vinklar.

Hur hittar man värdena på sinus och cosinus för vinklar i olika kvadranter?

Tecknen för sinus- och cosinusfunktioner beror på kvadranten i vilken vinkeln ligger:

• Första kvadranten: sin⁡ θ> 0 och cos θ> 0
• Andra kvadranten: sin ⁡θ> 0 och cos θ <0
• Tredje kvadranten: sin⁡θ <0 och cosθ < 0
• Fjärde kvadranten: sin⁡θ 0