Standardformen av en parabel är y = axe2+ bx + c där a, b och c är reella tal och a inte är lika med noll. En parabel definieras som mängden av alla punkter i ett plan som är lika långt från en fast linje och en fast punkt i planet.
I den här artikeln kommer vi att förstå vad en parabel är, standardekvationen för en parabel, relaterade exempel och andra i detalj.
Innehållsförteckning
Vad är en parabel?
En parabel är en konisk sektion definierad som mängden av alla punkter på samma avstånd från en punkt som kallas fokus och en linje som kallas riktlinjen. Standardekvationerna för en parabel beror på dess orientering (öppningsriktning) och position.
Ekvation för en parabel
Ekvation av parabel kan skrivas i standardform eller allmän form och båda läggs till nedan:
Allmänna ekvationer för en parabel
Den allmänna ekvationen för en parabel är
y = 4a(x – h) 2 + k
(eller)
x = 4a(y – k) 2 + h
Där (h, k) är spetsen på en parabel.
Standardekvationer för en parabel
Standardekvationen för en parabel är,
y = yxa 2 + bx + c
(eller)
x = är 2 + av + c
där a aldrig kan vara noll.
Delar av en parabel
Några viktiga termer och delar av en parabel är:
- Fokus: Fokus är den fasta punkten i en parabel.
- Direktör: En parabels riktning är linjen vinkelrät mot en parabels axel.
- Fokalackord: Ackordet som passerar genom en parabels fokus, skär parabeln vid två distinkta punkter, kallas fokalackordet.
- Brännvidd: Brännvidden är avståndet för en punkt (x1, och1) på parabeln från fokus.
- Höger sida: En latus rectum är ett fokalackord som passerar genom en parabels fokus och är vinkelrät mot parabelns axel. Längden på latus rectum är LL’ = 4a.
- Excentricitet: Förhållandet mellan avståndet för en punkt från fokus och dess avstånd från riktlinjen kallas excentricitet (e). För en parabel är excentriciteten lika med 1, dvs e = 1.
En parabel har fyra standardekvationer baserade på orienteringen av parabeln och dess axel. Varje parabel har olika tväraxel och konjugerad axel.
| Parabolens ekvation | Parabel | Formler för parametrar för en parabel |
|---|---|---|
| och 2 = 4ax |  Horisontell parabel |
|
| och 2 = -4ax |  Horisontell parabel |
|
| x 2 = 4ay |  Vertikal parabel |
|
| x 2 = -4ay |  Vertikal parabel |
|
Följande är observationerna från standardformen av ekvationer för en parabel:
- En parabel är symmetrisk med sin axel. Till exempel, y2= 4ax är symmetrisk med x-axeln, medan x2= 4ay är symmetrisk med avseende på y-axeln.
- Om en parabel är symmetrisk kring x-axeln, öppnar parabeln sig åt höger om x-koefficienten är positiv och åt vänster om x-koefficienten är negativ.
- Om en parabel är symmetrisk kring y-axeln, öppnar parabeln sig uppåt om y-koefficienten är positiv och nedåt om y-koefficienten är negativ.
Följande är standardekvationerna för en parabel när symmetriaxeln antingen är parallell med x-axeln eller y-axeln och vertexet inte är i origo.
| Parabolens ekvation | Parabel | Formler för parametrar för en parabel |
|---|---|---|
| (och – k)2= 4a(x – h) |  Horisontell parabel |
|
| (och – k)2= -4a(x – h) |  Horisontell parabel |
|
| (x – h)2= 4a(y – k) |  Vertikal parabel |
|
| (x – h)2= -4a(y – k) |  Vertikal parabel |
|
Ekvation av parabel härledning
Låt P vara en punkt på parabeln vars koordinater är (x, y). Från definitionen av en parabel är avståndet från punkt P till fokus (F) lika med avståndet från samma punkt P till riktlinjen för en parabel. Låt oss nu betrakta en punkt X på riktningen, vars koordinater är (-a, y).
Från definitionen av en parabels excentricitet har vi
e = PF/PX = 1
⇒ PF = PX
Koordinaterna för fokus är (a, 0). Genom att använda formeln för koordinatavstånd kan vi nu hitta avståndet från punkten P (x, y) till fokus F (a, 0).
PF = √[(x – a)2+ (och – 0)2]
⇒ PF = √[(x – a)2+ och2] ------ (1)
Direktrixens ekvation är x + a = 0. För att hitta avståndet för PX använder vi formeln vinkelrät avstånd.
PX = (x + a)/√[12+02]
⇒ PX = x +a —————— (2)
Vi vet redan att PF = PX. Jämställ alltså ekvationerna (1) och (2).
√[(x – a)2+ och2] = (x + a)
Genom att kvadrera på båda sidor får vi,
⇒ [(x – a)2+ och2] = (x + a)2
⇒ x2+ a2– 2ax + y2= x2+ a2+ 2ax
⇒ och2– 2ax = 2ax
⇒ och2= 2ax + 2ax ⇒ och 2 = 4ax
Således har vi härlett ekvationen för en parabel. På liknande sätt kan vi härleda standardekvationerna för de andra tre parabolerna.
- och2= -4ax
- x2= 4ay
- x2= -4ay
och 2 = 4ax, och 2 = -4ax, x 2 = 4ay och x 2 = -4ay är standardekvationerna för en parabel.
Artiklar relaterade till Parabola:
- Cirkelekvation
- Ellipsekvationen
- Ekvation för hyperbel
- Tillämpningar av parabola i verkliga livet
Exempel på ekvation av en parabel
Exempel 1: Hitta längden på latus rektum, fokus och vertex, om ekvationen för parabeln är y 2 = 12x.
Lösning:
Given,
Parabelns ekvation är y2= 12x
Genom att jämföra den givna ekvationen med standardformen y2= 4ax
4a = 12
⇒ a = 12/4 = 3
Vi vet det,
Höger sida av en parabel = 4a = 4 (3) = 12
Nu, fokus för parabeln = (a, 0) = (3, 0)
Vertex för den givna parabeln = (0, 0)
Exempel 2: Hitta ekvationen för parabeln som är symmetrisk kring X-axeln och passerar genom punkten (-4, 5).
Lösning:
Given,
Parabel är symmetrisk kring X-axeln och har sin vertex i origo.
Således kan ekvationen ha formen y2= 4ax eller y2= -4ax, där tecknet beror på om parabeln öppnar sig mot vänster eller höger sida.
Parabeln måste öppna till vänster eftersom den passerar genom (-4, 5) som ligger i andra kvadranten.
Så, ekvationen blir: y2= -4ax
Ersätter (-4, 5) i ovanstående ekvation,
⇒ (5)2= -4a(-4)
⇒ 25 = 16a
⇒ a = 25/16
Därför är parabelns ekvation: y2= -4(25/16)x (eller) 4y2= -25x.
Exempel 3: Hitta koordinaterna för fokus, axeln, ekvationen för riktningen och latus rektum för parabeln x 2 = 16 år.
Lösning:
Given,
Parabelns ekvation är: x2= 16 år
Genom att jämföra den givna ekvationen med standardformen x2= 4ay,
4a = 16 ⇒ a = 4
Koefficienten y är positiv så parabeln öppnar sig uppåt.
Dessutom är symmetriaxeln längs den positiva Y-axeln.
Därav,
Fokus för parabeln är (a, 0) = (4, 0).
Ekvationen för riktningen är y = -a, dvs y = -4 eller y + 4 = 0.
Längden på latus rektum = 4a = 4(4) = 16.
Exempel 4: Hitta längden på latus rektum, fokus och vertex om ekvationen för en parabel är 2(x-2) 2 + 16 = y.
Lösning:
Given,
Ekvationen för en parabel är 2(x-2)2+ 16 = och
Genom att jämföra den givna ekvationen med den allmänna ekvationen för en parabel y = a(x – h)2+ k, vi får
a = 2
(h, k) = (2, 16)
Vi vet det,
Längden på en parabels latus rectum = 4a
= 4(2) = 8
Nu, fokus= (a, 0) = (2, 0)
Nu, Vertex = (2, 16)
Exempel 5: Ekvationen för en parabel är x 2 – 12x + 4y – 24 = 0, hitta sedan dess vertex, fokus och riktlinje.
Lösning:
Given,
Parabelns ekvation är x2– 12x + 4y – 24 = 0
⇒ x2– 12x + 36 – 36 + 4y – 24 = 0
⇒ (x – 6)2+ 4y – 60 = 0
⇒ (x – 6)2= -4(y + 15)
Erhållen ekvation är i form av (x – h)2= -4a(y – k)
-4a = -4 ⇒ a = 1
Så, spetsen = (h, k) = (6, – 15)
Fokus = (h, k – a) = (6, -15-1) = (6, -16)
Ekvationen för riktningen är y = k + a
⇒ y = -15 + 1 ⇒ y = -14
⇒ y + 14 = 0
Vanliga frågor om ekvation av parabel
Hur hittar du standardekvationen för en parabel?
Standardformen av parabel är y2= 4ax eller x2= 4ay.
Vad är den normala ekvationen för parabel?
Normalekvationen till parabeln y2= 4ax med en lutning m ges som: y = mx – 2 am – am 3
Hur hittar du toppen av en parabel?
För given parabel: y = ax2+ bx + c dess vertex kan hittas med formeln x = − b/2a. Koppla tillbaka detta x-värde i ekvationen för att hitta motsvarande y-koordinat.
sajter som coomeet