I den här artikeln kommer vi att diskutera den symmetriska skillnaden mellan två uppsättningar. Här kommer vi också att diskutera egenskaperna för symmetrisk skillnad mellan två uppsättningar.
Hoppas den här artikeln kommer att vara till hjälp för dig för att förstå den symmetriska skillnaden mellan två uppsättningar.
Vad är en symmetrisk skillnad?
En annan variant av skillnad är den symmetriska skillnaden. Anta att det finns två mängder, A och B. Den symmetriska skillnaden mellan båda mängderna A och B är mängden som innehåller de element som finns i båda mängderna förutom de gemensamma elementen.
Den symmetriska skillnaden mellan två uppsättningar kallas också som disjunktiv förening . Symmetrisk skillnad mellan två uppsättningar är en uppsättning element som finns i båda uppsättningarna men inte i deras skärningspunkt. Den symmetriska skillnaden mellan två uppsättningar A och B representeras av A D B eller A ? B .
Vi kan förstå det genom exempel.
Exempel1 Anta att det finns två uppsättningar med några element.
Set A = {1, 2, 3, 4, 5}
Uppsättning B = {3, 5}
Så den symmetriska skillnaden mellan de givna uppsättningarna A och B är {1, 2, 4}
Eller så kan vi säga det A Δ B = {1, 2, 4} .
Exempel 2 Anta att det finns två uppsättningar med några element.
Uppsättning A = {a, b, c, k, m, n}
Uppsättning B = {c, n}
Så den symmetriska skillnaden mellan de givna uppsättningarna A och B är {a, b, k, m}
Eller så kan vi säga det A Δ B = {a, b, k, m} .
I nedanstående Venn-diagram kan du se den symmetriska skillnaden mellan de två uppsättningarna.
Den del som är skuggad med hudfärgen i ovanstående Venn-diagram är den symmetriska skillnaden mellan de givna uppsättningarna, dvs. A D B .
Låt oss se några av egenskaperna hos symmetriska skillnader mellan två uppsättningar.
Egenskaper
Det finns några av egenskaperna för symmetriska skillnader som listas enligt följande;
- Den symmetriska skillnaden kan representeras som föreningen av båda relativa komplementen, dvs.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Den symmetriska skillnaden mellan två mängder kan också uttryckas som föreningen av två mängder minus skärningspunkten mellan dem -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Den symmetriska skillnaden är kommutativ såväl som associativ -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Den tomma mängden är neutral (i matematik sägs ett neutralt element vara en speciell typ av element som, när det kombineras med något element i mängden för att utföra en binär operation, lämnar elementet oförändrat. Det är också känt som Identitetselement ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Om mängd A är lika med mängd B, är den symmetriska skillnaden mellan båda uppsättningarna -
A Δ B = ∅ {när A = B}
'Symmetrisk skillnad mellan två uppsättningar' v/s 'Skillnad mellan två uppsättningar'
Skillnad mellan två uppsättningar
Skillnaden mellan två mängder A och B är en mängd av alla de element som tillhör A men inte tillhör B och betecknas med A - B .
Exempel: Låt A = {1, 2, 3, 4}
och B = {3, 4, 5, 6}
sedan A - B = {3, 4} och B - A = {5, 6}
Symmetrisk skillnad mellan två set
Den symmetriska skillnaden mellan två uppsättningar, A och B, är mängden som innehåller alla element som finns i A eller B men inte i båda. Den representeras av A D B eller A ? B .
Exempel: Låt A = {1, 2, 3, 4}
och B = {3, 4, 5, 6}
då A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Låt oss nu se några exempel för att förstå den symmetriska skillnaden mellan två uppsättningar tydligare.
Fråga 1 - Anta att du har mängderna A = {10, 15, 17, 19, 20} och B = {15, 16, 18}. Ta reda på skillnaden mellan båda uppsättningarna A och B och ta reda på den symmetriska skillnaden mellan dem.
Lösning - Given,
java boolesk sträng
A = {10, 15, 17, 19, 20}
och B = {15, 16, 18}
Skillnaden mellan båda uppsättningarna är -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Symmetrisk skillnad mellan båda uppsättningarna är -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Fråga 2 - Anta att du har mängderna A = {2, 4, 6, 8} och B = {2, 5, 7, 8}. Ta reda på den symmetriska skillnaden B Δ A. Rita också Venn-diagrammet för att representera den symmetriska skillnaden mellan båda givna mängderna.
Lösning - Givet, A = {2, 4, 6, 8} och B = {2, 5, 7, 8}
Vi vet att B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Låt oss försöka lösa frågan steg för steg. Så det första steget är att hitta föreningen av mängd A och mängd B.
Därför, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Efter det måste vi beräkna skärningspunkten mellan båda uppsättningarna.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Nu måste vi hitta skillnaden mellan föreningen och skärningspunkten mellan mängderna A och B, som anges i formeln,
Så, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Därför är B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Vilket kommer att vara lika med A Δ B, som nämnts ovan, 'Symmetrisk skillnad är kommutativ'. Nu kommer vi att visa den symmetriska skillnaden mellan båda uppsättningarna via Venn-diagrammet.
I Venn-diagrammet kommer vi först att rita två cirklar som representerar mängderna A och B. Som beräknat ovan är skärningspunkten mellan båda mängderna {2, 8}, så vi listade dessa element i det korsande området. Sedan listar vi de återstående elementen i sina respektive uppsättningscirklar, dvs {4, 6} i uppsättning A och {5, 7} i uppsättning B. Efter att ha arrangerat elementen kommer Venn-diagrammet att vara -
När vi tittar på ovanstående Venn-diagram finns det en universalmängd U. Båda mängderna A och B är delmängden av universalmängden U. Elementen {2, 8} är de korsande elementen, så de är representerade i det skärande området. Området med ljusorange färg är föreningen av uppsättningar förutom det korsande området. Denna region är den symmetriska skillnaden mellan både uppsättningarna A och B, och kommer att representeras som -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Fråga 3 - Anta att du har mängderna A = {5, 6, 8, 9, 10} och B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Bevisa att den symmetriska skillnaden är kommutativ med hjälp av de givna uppsättningarna.
Lösning - Givet, A = {5, 6, 8, 9, 10} och B = {2, 7, 8, 9, 10}
Att bevisa: A Δ B = B Δ A
Ta LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Så, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Ta nu RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Så B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Därför är A Δ B = B Δ A
Därför är den symmetriska skillnaden kommutativ.