Typer av enhetlig distribution

Typer av enhetlig fördelning är:

1. Kontinuerlig enhetlig distribution: En kontinuerlig enhetlig sannolikhetsfördelning är en fördelning som har ett oändligt antal värden definierade i ett specificerat intervall. Den har en rektangulär graf så kallad rektangulär fördelning. Det arbetar på de värden som är kontinuerliga till sin natur. Exempel: Generator av slumptal
2. Diskret enhetlig distribution: En diskret enhetlig sannolikhetsfördelning är en fördelning som har ett ändligt antal värden definierade i ett specificerat intervall. Dess graf innehåller olika vertikala linjer för varje ändligt värde. Det fungerar på värderingar som är diskreta till sin natur. Exempel: En tärning kastas.

Låt oss diskutera dessa typer i detalj enligt följande.

Kontinuerliga enhetliga distributioner eller rektangulära distributioner

Kontinuerliga enhetliga fördelningar, även kända som rektangulära fördelningar, är sannolikhetsfördelningar där sannolikhetstäthetsfunktionen (PDF) är konstant inom ett visst intervall och noll på andra ställen. Detta betyder att alla utfall inom intervallet är lika sannolika.

Kontinuerliga enhetliga fördelningar ger ett enkelt men kraftfullt ramverk för att förstå och modellera slumpmässighet inom definierade intervall, vilket gör dem till väsentliga verktyg inom sannolikhetsteori och tillämpad statistik.

Sannolikhetstäthetsfunktion (PDF)

De sannolikhetstäthetsfunktion (PDF) av en kontinuerlig enhetlig fördelning definierar sannolikheten för att en slumpvariabel faller inom ett visst intervall. För en kontinuerlig enhetlig fördelning över intervallet [a, b] ges PDF:en av:

f(x) = 1 / (b – a) för a ≤ x ≤ b

och f(x) = 0 annars.

Kumulativ distributionsfunktion (CDF)

Den kumulativa fördelningsfunktionen (CDF) för en kontinuerlig enhetlig fördelning ger sannolikheten att en stokastisk variabel är mindre än eller lika med ett visst värde. För den kontinuerliga enhetliga fördelningen över [a, b] definieras CDF som:

F(x) = (x – a) / (b – a) för a ≤ x ≤ b

och F(x) = 0 för xb.

Generera funktioner

Genererande funktioner ger ett sätt att representera talsekvenser som potensserier. I sannolikhetsteorin används genererande funktioner ofta för att manipulera sekvenser av slumpvariabler. De kan förenkla beräkningar och hjälpa till att härleda viktiga egenskaper hos slumpvariabler och fördelningar.

Standard enhetlig distribution

Den enhetliga standardfördelningen är ett specialfall av den kontinuerliga enhetliga fördelningen där intervallet är [0, 1]. Det används ofta i simuleringar, generering av slumptal och olika statistiska tillämpningar.

Egenskaper för kontinuerliga enhetliga distributioner

• Lika sannolikhetstäthet inom intervallet.
• Kumulativ fördelningsfunktion ökar linjärt inom intervallet.
• Medelvärdet för en kontinuerlig enhetlig fördelning är intervallets mittpunkt.
• Variansen för en kontinuerlig enhetlig fördelning är [(b – a)²] / 12.

Tillämpningar av kontinuerliga enhetliga distributioner

• Modellera osäkerhet inom olika områden som teknik, ekonomi och fysik.
• Generering av slumptal för simuleringar och spel.
• Används i statistisk kvalitetskontroll för att modellera enhetlighet i tillverkningsprocesser.
• I kryptografi för att generera nycklar och skapa slumpmässiga permutationer.
• Som baslinjefördelning för jämförelse med andra fördelningar i statistisk analys.

Diskret enhetlig distribution

Diskret enhetlig fördelning är en sannolikhet fördelning som beskriver sannolikheten för utfall när varje utfall i en ändlig mängd är lika sannolikt. Det kännetecknas av en konstant sannolikhetsmassfunktion (PMF) över ett begränsat värdeintervall.

Den diskreta enhetliga fördelningen fungerar som en grundläggande modell inom sannolikhetsteori och statistik, vilket ger ett enkelt men effektivt sätt att beskriva osäkerhet i situationer där utfall är lika sannolika. Dess egenskaper och tillämpningar sträcker sig över olika discipliner, vilket gör det till ett mångsidigt verktyg i dataanalys och beslutsprocesser.

Uppskattning av max

I statistik , uppskattningen av maximum hänvisar till metoder som används för att uppskatta det största värdet eller den maximala observationen i en datauppsättning. Tekniker som orderstatistik och maximal sannolikhetsuppskattning används vanligtvis för detta ändamål.

Slumpmässig permutation

En slumpmässig permutation är ett slumpmässigt arrangemang av en uppsättning objekt eller element. Det används ofta inom olika områden som kryptografi, statistik och datavetenskap. Att generera slumpmässiga permutationer är väsentligt i algoritmer, simuleringar och experimentella konstruktioner.

Egenskaper för diskret enhetlig distribution

• Varje utfall i urvalsutrymmet har lika sannolikhet att inträffa.
• Sannolikhetsmassfunktionen (PMF) är konstant över intervallet av möjliga utfall.
• Medelvärdet av en diskret enhetlig fördelning är medelvärdet av minimi- och maximivärdena.
• Variansen för en diskret enhetlig fördelning är [(n^2 – 1) / 12], där n är antalet möjliga utfall.

Tillämpningar av diskret enhetlig distribution

• Rulla rättvisa tärningar eller vända rättvisa mynt, där varje utfall har lika stor sannolikhet.
• Modellera scenarier där det inte finns någon preferens eller partiskhet mot något speciellt resultat.
• Urval utan ersättning, som att välja slumpmässiga urval från en ändlig population.
• Generera slumptal för simuleringar, Monte Carlo-metoder och randomiserade algoritmer.
• Skapa slumpmässiga permutationer för att blanda kortlekar, designa experiment och kryptografiska applikationer.

Läs mer,

• Poisson Distribution
• Binomial distribution
• Normal distribution

Exempel på frågor

Fråga 1: En stokastisk variabel X har en enhetlig fördelning över (-2, 2),

(i) hitta k för vilket P(X>k) = 1/2 (ii) Utvärdera P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Lösning:

(i) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Genom att lösa får vi k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Fråga 2: Om X är jämnt fördelat i (-1 , 4) då

(i) dess medelvärde är ______________.

(ii) dess varians är ______________.

(iii) dess standardavvikelse är ___________.

(iv) dess median är ______________.

Lösning:

Här är a = -1 och b = 4

(i) Medelvärde (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Varians(σ²) = (4+1)²/12 = 2,08

(iii) Standardavvikelse(σ) =√2,08 = 1,443

(iv) Median = (4-1)/2 = 1,5

Fråga 3: Om det finns 52 kort i den traditionella kortleken med fyra färger: hjärter, spader, klöver och ruter. Varje svit innehåller 13 kort varav 3 kort är klädda kort. Den nya kortleken bildas genom att exkludera antalet kort. Vad är då sannolikheten att få ett hjärtkort från den modifierade kortleken?

Lösning:

I frågan är det givna antalet kort ändligt så det är en diskret enhetlig fördelning.

Formel för sannolikheten i diskret enhetlig fördelning är P(X) = 1/n

Sannolikhet att få hjärta i den modifierade kortleken = 1/4 = 0,25

Fråga 4: Använd den enhetliga fördelningen sannolikhetstäthet funktion för slumpvariabel X, i (0, 20), hitta P(3