Algebra är ett av de grundläggande ämnena i matematik. Polynom är en viktig del av algebra. Vietas formel används i polynom. Den här artikeln handlar om Vietas formel som relaterar summan och produkten av rötter till polynomets koefficient. Denna formel används specifikt i algebra.
Vietas formel
Vietas formler är de formler som ger relationen mellan summan och produkten av polynomets rötter med polynomens koefficienter. Vietas formel beskriver polynomets koefficienter i form av summan och produkten av dess rot.
Vietas formel
sträng i java-metoder
Vietas formel handlar om summan och produkten av rötterna och polynomets koefficient. Det används när vi ska hitta polynomet när rötter ges eller vi ska hitta summan eller produkten av rötterna.
Vietas formel för kvadratisk ekvation
- Om f(x) = ax 2 + bx + c är en andragradsekvation med rötter a och b sedan,
- Summan av rötter = α + β = -b/a
- Produkt av rötter = αβ = c/a
- Om summan och produkten av rötter ges då, ges andragradsekvationen av:
- x 2 – (summan av rötter) x + (produkt av rötter) = 0
Vietas formel för kubikekvationen
- Om f(x) = ax 3 + bx 2 + cx +d är en andragradsekvation med rötter a, b och c sedan,
- Summan av rötter = α + β + γ = -b/a
- Summan av produkten av två rötter = αβ + αγ + βγ = c/a
- Produkt av rötter = αβγ = -d/a
- Om summan och produkten av rötter ges då, ges kubikekvationen av:
- x 3 – (summan av rötter)x 2 + (summan av produkten av två rötter)x – (produkten av rötter) = 0
Vietas formel för generaliserad ekvation
Om f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +……… + a 2 x 2 + a 1 x +a 0 är en andragradsekvation med rötter r 1 , r 2 , r 3 , …… r n-1 , r n sedan,
r 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r n = -a n-1 /a n
(r 1 r 2 + r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 + r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = a n-2 /a n
:
:
r 1 r 2 …r n = (-1) n (a 0 /a n )
Exempel på problem
Uppgift 1: Om α , β är rötterna till ekvationen : x 2 – 10x + 5 = 0 , hitta sedan värdet på (α 2 + b 2 )/(a 2 b + ab 2 ).
Lösning:
Given Ekvation:
- x2– 10x + 5 = 0
Av Vita's Formula
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Som en2+b2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(a2+b2) = 90
Nu värde på (α2+ b2)/(a2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Uppgift 2: Om α , β är rötterna till ekvationen : x 2 + 7x + 2 = 0 , hitta sedan värdet på 14÷(1/α + 1/ β).
Lösning:
Given ekvation:
b+ träd
- x2+ 7x + 2 = 0
Av Vita's Formula
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Nu, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Nu är värdet 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Uppgift 3: Om α , β är rötterna till ekvationen : x 2 + 10x + 2 = 0 , hitta sedan värdet på (α/β + β/α).
Lösning:
Given ekvation:
- x2+ 10x + 2 = 0
Av Vita's Formula
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Som en2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Nu värde på (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
icke deterministiska finita automater= 48
Uppgift 4: Om α och β är rötterna till ekvationen och givet att α + β = -100 och αβ = -20, hitta andragradsekvationen.
Lösning:
Given,
- Summan av rötter = α + β = -100
- Produkt av rötter = αβ = -20
Andragradsekvationen ges av:
x2– (summan av rötter) x + (produkt av rötter) = 0
x2– (-100)x + (-20) = 0
x 2 + 100x – 20 = 0
Uppgift 5: Om α , β och γ är rötterna till ekvationen och givet att α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 och αβ γ = -6 så hitta kubikekvationen.
Lösning:
Given,
- Summan av rötter = α + β + γ = 10,
- Summan av produkten av två rötter = αβ + αγ + βγ = -1
- Produkt av rötter = medel = -6
Kubikekvationen ges av:
x3– (summan av rötter)x2+ (summan av produkten av två rötter)x – (produkten av rötter) = 0
x3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
x 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Uppgift 6: Om α , β och γ är rötterna till ekvationen x 3 + 1569x 2 – 3 = 0, hitta sedan värdet på [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
Lösning:
Given,
- Summan av rötter = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Summan av produkten av två rötter = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Produkt av rötter = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Sedan, (s3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Låt, p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
hur stor är min skärmp + q + r = 2[(1/α) + (1/β) + (1/γ)] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Från ekvation (1):
(sid3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
sid3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a)]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b)
= -3/genomsnitt = -3/3
= -1
Uppgift 7: Om α och β är rötterna till ekvationen x 2 – 3x +2 =0 hitta sedan värdet på α 2 – b 2 .
Lösning:
Given,
- Summan av rötter = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Produkt av rötter = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Som (a – b)2= (a + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
Eftersom,
a2– b2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
a 2 – b 2 = 3