Inom geometri är en vinkel ett viktigt mått på en geometrisk form. En vinkel definieras som graden av rotation kring skärningspunkten mellan två linjer eller plan som krävs för att den ena ska överensstämma med den andra. Det finns olika typer av vinklar, baserade på mätning av en vinkel. Det mäts i termer av grader eller radianer. En vinkel är en form som bildas av två linjer eller strålar som divergerar från en gemensam punkt som kallas en vertex. När två strålar skärs, d.v.s. när halvlinjer projiceras med en gemensam ändpunkt, bildas en vinkel. Nu kallas de vanliga ändpunkterna för hörn, medan strålarna är kända som armarna.

Typer av vinklar

1. Spetsig vinkel: En spetsig vinkel är en vinkel som är större än 0 grader och mindre än 90 grader, dvs den sträcker sig från 0° till 90° (båda exklusiva).
2. Rätt vinkel: En rät vinkel kallas den vinkel som mäter exakt 90 grader.
3. Trubbig vinkel: En trubbig vinkel är en vinkel som är större än 90 grader och mindre än 180 grader, dvs den sträcker sig från 90° till 180° (båda exklusiva).
4. Rät vinkel: En rak vinkel kallas en vinkel som mäter exakt 180 grader.
5. Reflexvinkel: En reflexvinkel är en vinkel som är större än 180 grader och mindre än 360 grader, dvs den sträcker sig från 180° till 360° (båda exklusiva).
6. En komplett vinkel eller full rotation: En komplett vinkel kallas den vinkel som mäter exakt 360 grader.

Det finns även andra typer av vinklar, såsom komplementära vinklar, kompletterande vinklar och angränsande och icke-angränsande vinklar.

• Kompletterande vinklar: Två vinklar sägs vara komplementära om deras summa är en rät vinkel, dvs 90°.
• Kompletterande vinklar: Två vinklar sägs vara kompletterande om deras summa är lika med 180°.
• Intilliggande vinklar: Två vinklar sägs ligga intill varandra om de delar en gemensam vertex och en gemensam arm.
• Icke intilliggande vinklar: Två vinklar sägs vara icke-angränsande om de inte delar en gemensam vertex och en gemensam arm.

Formeln för att hitta vinklar

Det finns olika typer av formler för att hitta en vinkel; några av dem är centralvinkelformeln, dubbelvinkelformeln, halvvinkelformeln, sammansatt vinkelformel, inre vinkelformeln, etc.

• Vi använder centralvinkelformeln för att bestämma vinkeln på ett segment som är gjort i en cirkel.
• Vi använder summan av formeln för inre vinklar för att bestämma den saknade vinkeln i en polygon.
• Vi använder de trigonometriska förhållandena för att hitta den saknade vinkeln i en rätvinklig triangel.
• Vi använder sinuslagen eller cosinuslagen för att hitta den saknade vinkeln i en icke rätvinklig triangel.

Exempel på frågor

Fråga 1: Hitta vinkeln vid spetsen B i den givna triangeln med hjälp av en av de trigonometriska formlerna för att hitta vinklar.

Lösning:

Given,

BC = 3 enheter = Intilliggande sida av θ.

AC = 4 enheter = motsatt sida av θ.

I det här fallet känner vi till både motsatta och intilliggande sidor av θ. Därför kan vi använda tangentformeln för att hitta θ.

⇒ tan θ = motsatt sida/intilliggande sida

⇒ tan θ = 4/3

⇒ θ = tan^-1(4/3) ⇒ θ = 53,1°

Därför är vinkeln vid vertex B 53,1°.

Fråga 2: Hitta vinklarna vid hörn X och Y, om ∠Z = 35° och x = 3 tum, y = 8 tum och z = 3,5 tum.

Lösning:

Given,

∠Z = 35° och x = 6 tum, y = 3 tum och z = 3,5 tum

Eftersom vi känner till alla tre sidorna och en vinkel kan vi använda sinusregelformeln.

Från sinusregelformeln har vi

x/sin X = y/sin Y = z/sin Z

Nu,

y/sin Y = z/sin Z

⇒ 3/sin Y = 3,5/sin 35°

⇒ 3/utan Y = 3,5/0,574 {Sedan, sin 35° = 0,574}

⇒ sin Y = 3 × (0,574/3,5) = 0,492

⇒ ∠Y = synd⁻¹(0,492) = 29,47°

Vi vet att summan av tre vinklar i en triangel är 180°.

⇒ ∠X + ∠Y + ∠Z = 180°

⇒ ∠X + 29,47° + 35° = 180°

⇒ ∠X = 180° – 64,47° = 115,53°

Följaktligen är ∠X = 115,53° och ∠Y = 29,47°.

Fråga 3: Beräkna den femte inre vinkeln för en femhörning om fyra av dess inre vinklar är 110°, 85°, 136° och 105°.

Lösning:

Antalet sidor i en femhörning (n) = 5.

kruskal algoritm

Nu är summan av alla 5 inre vinklar i en femhörning = 180 (n -2)°

= 180 (5 – 2)° = 540°.

Summan av de givna 4 inre vinklarna = 110°+ 85°+ 136°+ och 105°= 436°.

Så den femte inre vinkeln = 540° – 436° = 104°

Således är den femte inre vinkeln för en femhörning 104°.

Fråga 4: Bestäm värdet på y och även måttet på vinklar i den givna figuren.

Lösning:

Från den givna figuren kan vi observera att (4y – 6)° och (3y + 5)° är komplementära vinklar, dvs summan av (4y – 6)° och (3y + 5)° är 90 °.

⇒ (4y – 6)° + (3y + 5)° = 90°

⇒ (7y – 1)° = 90°

⇒ 7y = 90° + 1° = 91°

⇒ y = 91°/7 = 13°

Nu, (4y – 6)° = (4 ×13 – 6)° = (52 – 6)° = 46°

(3y + 5)° = (3 × 13 + 5)° = (39 + 5)° = 44°

Fråga 5: Hitta vinkeln vid vertex Q i den givna triangeln med hjälp av en av formlerna för att hitta vinklar.

Lösning:

Givet, p = QR = 6 cm, q = PR = 9 cm och r = PQ = 7 cm.

Eftersom vi känner till alla tre sidorna och en vinkel, kan vi använda cosinusregelformeln för att hitta vinkelpunkten Q.

⇒ q²= sid²+ r²– 2p cos Q

⇒ 9²= 6²+ 7²– 2 (6)(7) cos Q

⇒ 81 = 36 + 49 – 84 cos Q

⇒ 81 = 85 – 84cos Q

⇒84 cos Q = 81 – 85

⇒ 84 cos Q = -4

⇒ cos Q = -4/84 = -1/21

⇒ ∠Q = cos^-1(-1/21) = 92,72°

Därför är vinkeln vid vertex Q, ∠Q = 92,72°.

Fråga 6: Beräkna vinkeln för ett segment gjort i en cirkel om båglängden är 12π och radien är 9 cm.

Lösning:

Given,

Båglängden = 12π

Radie (r) = 9 cm

Nu är vinkelformeln:

⇒ θ = (s×360°)/2pr

⇒ θ = (12π × 360°)/(2π × 5)

⇒ θ =12 × 360°/10

⇒ θ = 240°

Därför är vinkeln 240°.