Nollor i ett polynom är de verkliga, imaginära eller komplexa värden när de sätts i polynomet istället för en variabel, blir resultatet noll (som namnet också antyder noll). Polynom används för att modellera vissa fysiska fenomen som händer i det verkliga livet, de är mycket användbara för att beskriva situationer matematiskt.

Nollorna i ett polynom är alla x-värden som gör polynomet lika med noll. Nollor i ett polynom berättar om x-avsnitten i polynomets graf. I den här artikeln kommer vi att diskutera om nollor i ett polynom, hur man hittar dem, faktorsatsen osv.

Innehållsförteckning

• Vad är nollor av polynom?
• Nollor av polynomformel
• Hur hittar man noll i ett polynom?
• För linjärt polynom
• För kvadratiskt polynom
• För kubiskt polynom
• Faktorsats
• Förhållandet mellan nollor och koefficient
• Relation mellan nollor och koefficient för kvadratisk ekvation
• Förhållandet mellan nollor och koefficient för kubikekvation
• Bildar ekvation med nollor av polynom
• Nollor i diagram över polynom
• Grundläggande sats för linjär algebra
• Multipel av en rot
• Artiklar relaterade till Zeros of Polynomial
• Exempel på problem på nollor av polynom
• Öva problem på nollor av polynom

Vad är nollor av polynom?

För ett polynom P(x) säger vi att x = a är nollpunkten för polynomet om P(a) = 0, och alla sådana nollor i ett polynom brukar kallas nollor i ett polynom. Betrakta till exempel f(x) = 3x – 12. Sätt nu x = 4 i polynomet, d.v.s. f(4) = 3×4 – 12 = 0. Således är x = 4 en nolla av polynomet f( x) = 3x – 12.

Exempel: För f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, är x = 1 noll?

Lösning:

För att kontrollera om om x = 1 är noll av f(x) = x³– 6x²+ 11x – 6 eller inte, sätt x = 1 tum (x)

karta typskript

f(1) = (1)³– 6×(1)²+ 11×(1) – 6

⇒ f(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 12 -12 = 0

Således är x = 1 en noll av f(x).

Nollor av polynomformel

För ett linjärt polynom med formen ax + b, ges dess noll av x = -b/a.

För ett kvadratiskt polynom av formen ax²+ bx + c, dess nolla ges av x = {- b ± √D}/2a där D är Diskriminerande givet av b²– 4ac.

Hur hittar man noll i ett polynom?

Vi kan hitta nollorna i polynomet för olika typer av polynom med hjälp av olika metoder som diskuteras nedan.

• För linjärt polynom
• För kvadratiskt polynom
• För kubiskt polynom

För linjärt polynom

För linjära polynom är det enklast att hitta noll. eftersom det bara finns en nolla och det kan också beräknas genom enkel omarrangering av polynomet efter att polynomet är lika med 0.

Hitta till exempel noll för linjärt polynom f(x) = 2x – 7.

Lösning:

För att hitta noll på f(x), likställ f(x) med 0.

⇒ 2x – 7 = 0

⇒ 2x = 7

⇒ x = 7/2

För kvadratiskt polynom

Det finns olika metoder för att hitta rötter eller nollor i ett andragradspolynom som att dela upp mellantermen, en andragradsformel som också är känd som Shree Dharacharya-formeln och att fylla i kvadraten som liknar den andragradsformel, eftersom kvadratformeln kommer från att fylla i kvadraten för den allmänna andragradsekvationen.

Lära sig mer om lösa andragradsekvationer eller polynom och hur man löser dem. Följande exempel visar metoden för att hitta nollor av kvadratiska polynom i detalj.

Exempel 1: Ta reda på nollorna för P(x) = x ² + 2x – 15.

Svar:

x²+ 2x – 15 = 0

⇒ x²+ 5x – 3x – 15 = 0

⇒ x(x + 5) – 3(x + 5) = 0

⇒ (x – 3) (x + 5) = 0

⇒ x = 3, -5

Exempel 2: Ta reda på nollorna för P(x) = x ² – 16x + 64.

Svar:

x²– 16x + 64 = 0

Jämför med yxa²+ bx + c = 0,

vi får, a = 1, b = -16 och c = 64.

Således,

⇒ x = 8, 8

För kubiskt polynom

För att hitta nollor av kubik finns det många sätt, som rationell rotsats och lång division tillsammans. En metod för att hitta rötter av kubik eller något högre grad polynom är följande:

Steg 1: Använd den rationella rotsatsen för att hitta de möjliga rötterna. d.v.s. om ett polynom har en rationell rot måste det vara divisionen av p/q, där p är heltalskonstanten och q är den ledande koefficienten.

Steg 2: Efter att ha hittat en rot, dividera polynomet med faktorn som bildas av den roten med långdivision och skriv polynomet som en produkt av kvot och utdelning.

Steg 3: Om kvoten är ett kvadratiskt uttryck, lös det med metoderna ovan för kvadratiska polynom. Om inte ett polynom med grad 2, upprepa steg 1 och 2 tills kvoten blir ett polynom med grad 2.

Steg 4: Resultatet av steg 3 är de nödvändiga faktorerna, och genom att likställa faktorn med 0 kan vi hitta nollorna i polynomet.

Exempel: Hitta nollorna för det kubiska polynomet p(x) = x ³ + 2x ² – 5x – 6.

sanjay dutt och

Lösning:

p(x) = x³+ 2x²– 5x – 6

Som p/q = -6

Med rationell rotsats är alla möjliga rationella rötter av polunomialet divisorer av p/q.

Således är divisorer = ±1, ±2, ±3, ±6

x = -1, i p(x), får vi

p(-1) = (-1)³+ 2(-1)²– 5(-1) – 6

⇒ p(-1) = -1 + 2 + 5 – 6 = 0

Således, med faktorsatsen, är x + 1 faktorn för p(x).

Alltså x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x²+x – 6)

⇒ x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x-2)(x+3)

För nollor, p(x) = 0,

Nollor för p(x) är x = -1, x = 2 och x = -3.

Faktorsats

För polynomet P(x) säger faktorsatsen att om x =a är noll av P(X) iff x – a är en faktor av P(x). dvs. båda följande villkor bör gälla.

• Om a är noll av P(x) så kommer x−a att vara en faktor av P(x)
• Om x−a är en faktor av P(x) så kommer a att vara noll av P(x)

Detta kan verifieras genom att titta på tidigare exempel. Faktorsatsen kan leda till några intressanta resultat, som är följande:

Resultat 1: Om P(x) är ett polynom av grad n, och r är en noll av P(x) så kan P(x) skrivas i följande form,

P(x) = (x – r) Q(x)

Där Q(x) är ett polynom av grad n-1 och kan hittas genom att dividera P(x) med (x – r).

Resultat 2: Om P(x) = (x-r)Q(x) och x = t är en nolla av Q(x) så kommer x = t också att vara en nolla av P(x).

För att verifiera ovanstående faktum,

Låt oss säga att t är noll Q(x), vilket betyder Q(t) = 0.

Vi vet att r är noll i polynomet P(x), där P(x) = (x – r) Q(x),

Så vi måste kontrollera om x = t också är en nolla av P(x), låt oss sätta x = t i P(x)

⇒ P(t) = (t – r) Q(t) = 0

Så, x = t är också en noll P(x).

Alltså bevisat.

Förhållandet mellan nollor och koefficient

Relationen mellan nollorna och koefficienten för kvadrat- och kubikekvationen diskuteras nedan.

Relation mellan nollor och koefficient för kvadratisk ekvation

För en andragradsekvation av formen ax²+ bx + c = 0, om de två nollorna i andragradsekvationen är α och β, då

• Summan av roten = α + β = -b/a
• Produkt av rötter = α × β = c/a

Förhållandet mellan nollor och koefficient för kubikekvation

Om α, β och γ är roten till den kubiska polynomaxeln³+ bx²+ cx + d = 0, då ges förhållandet mellan dess nollor och koefficienter enligt följande:

• a + b + c = -b/a
• a × p × y= -d/a
• αβ + αγ + βγ = c/a

Bildar ekvation med nollor av polynom

• För ett andragradspolynom med nollor α och β ges andragradspolynomet av

x ² – (a + b)x + ab .

• För ett kubiskt polynom med tre nollor α, β och γ, ges det kubiska polynomet av

x ³ – (a + b + c )x ² + (ab + ag + bg)x – abg

Nollor i diagram över polynom

I grafen för ett polynom y = f(x) är reella nollor den punkt för vilken grafen skär eller rör vid x-axeln. (eftersom en graf med en imaginär nolla aldrig skär x-axeln). Med andra ord, om det finns 3 reella lösningar av ett kubiskt polynom så skär grafen för det kubiska polynomet x-axeln tre gånger, men om det bara finns en reell lösning för något kubiskt polynom så skär grafen bara x-axeln en gång.

Grundläggande sats för linjär algebra

Om P(x) är ett polynom av grad n kommer P(x) att ha exakt n nollor, av vilka några kan upprepas.

när kom vinst 7 ut

Detta betyder att om vi listar ut alla nollorna och listar var och en k gånger när k är dess multiplicitet. Vi kommer att ha exakt n nummer i listan. Detta kan vara användbart eftersom det kan ge oss en uppfattning om hur många nollor som ska finnas i ett polynom. Så vi kan sluta leta efter nollor när vi når vårt nödvändiga antal nollor.

Multipel av en rot

Antag att vi har ett polynom P(x) = 0 som faktoriseras till,

P(x) = (x – r) ^k (x – a) ^m

Om r är noll i ett polynom och exponenten på dess term som gav roten är k så säger vi att r har mångfald k . Nollor med multipliciteten 1 kallas ofta enkel nollor och nollor med en multiplicitet av 2 kallas dubbla rötter av polynomet.

Exempel: P(x) är ett grad-5 polynom, som har faktoriserats åt dig. Lista rötterna och deras mångfald.

P(x) = 5x ⁵ -20x ⁴ +5x ³ +50x ² −20x−40=5(x+1) ² (x−2) ³

Lösning:

Givet, P(x) = 5(x+1)²(x−2)³

⇒ P(x) = 5(x+1)(x+1)(x+1)(x−2)(x−2)

För att hitta nollor, P(x) = 0

⇒ x = -1, -1, 2, 2, 2

Lägg märke till att -1 förekommer två gånger som en nolla, så dess multiplicitet är 2 medan multipliciteten av nollan 2 är 3.

Artiklar relaterade till Zeros of Polynomial

• Polynom
• Rötter till andragradsekvationen
• Algebraiska uttryck

Exempel på problem på nollor av polynom

Uppgift 1: Givet att x = 2 är en noll av P(x) = x ³ +2x ² −5x−6. Hitta de andra två nollorna.

Lösning:

Från grundsatsen vi studerade tidigare kan vi säga att P(x) kommer att ha 3 nollor eftersom det är ett tregraderspolynom. En av dem är x = 2.

Så vi kan skriva om P(x),

P(x) = (x – 2) Q(x)

För att hitta de andra två nollorna måste vi ta reda på Q(x).

Q(x) kan hittas genom att dividera P(x) med (x-2).

Efter division kommer Q(x) ut att vara,

Q(x) = x²+ 4x + 3

De återstående två nollorna kan hittas från detta,

Q(x) = x²+ 3x + x + 3

⇒ x(x + 3) + 1(x + 3)

⇒ (x + 1) (x + 3)

Q(x) = 0,

x = -1, -3

De andra två nollorna är alltså x = -1 och x = -3.

Uppgift 2: Med tanke på att x = r är en nolla i ett polynom, ta reda på de andra nollorna i polynomet.

P(x) = x ³ -6x ² −16x; r = −2

Lösning:

Vi vet att x = -2 är en nolla,

Så P(x) kan skrivas om som, P(x) = (x + 2) Q(x) {Genom att använda divisionsalgoritm}

För att nu hitta Q(x) gör vi samma sak som vi gjorde i föregående fråga, vi delar P(x) med (x + 2).

Vi får,

Q(x) = x²– 8x

För att hitta de andra två nollorna, faktorisera Q(x)

Q(x) = x (x – 8) = 0

Så nollorna är x = 0, 8.

Vi har alltså tre nollor, x = -2, 0, 8.

Uppgift 3: Hitta nollorna i polynomet, 4x ³ -3x ² -25x-6 = 0

Lösning:

Knep att lösa polynomekvationer med grad 3,

Hitta det minsta heltal som kan göra polynomvärdet 0, börja med 1,-1,2, och så vidare...

vi finner att för x = -2 får vi värdet på uttrycket till noll.

matrismultiplikation i c

Därför är en av rötterna -2.

Enligt faktorsatsen om a är en av nollorna i polynomet, så är (x-a) faktorn för givet polynom.

Efter detta är {x – (-2)} = (x+2) en faktor pof över polynomet.

Vi får en andragradsekvation och en nolla är redan där.

(4x²-11x-3)(x+2) = 0

Faktorisera andragradsekvationen,

(4x²-12x+x-3)(x+2) = 0

[4x(x-3)+1(x-3)](x+2) = 0

(4x+1)(x-3)(x+2) = 0

x = -2, x = 3, x = -1/4

Uppgift 4: Hitta nollorna i polynomet, 4x ⁶ – 16x ⁴ = 0

Lösning:

Polynomet har upp till grad 6, därför finns det 6 nollor av polynomet.

4x⁴(x²-4) = 0

4x⁴(x²-2²) = 0

4x⁴[(x+2)(x-2)] = 0

Därför är x= 0, 0, 0, 0, 2, -2

ascii av a i java

Uppgift 5: Hitta nollorna för polynomfunktionen f(x) = x ³ – 2x ² – 5x + 6

Lösning:

För att hitta nollorna för detta polynom sätter vi f(x) = 0 och löser för x:

f(x) = x³– 2x²– 5x + 6 = 0

Som d/a = 6

Med rationell rotsats är alla möjliga rationella rötter till polunomialet,

Divisorer för d/a = ±1, ±2, ±3, ±6

x = 1, i p(x), får vi

f(1) = (1)³– 2(1)²– 5(1) – 6

f(-1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

Således, med faktorsatsen, är x – 1 faktorn för p(x).

Alltså x³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1)(x²-x – 6)

x³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1)(x+2)(x-3)

För nollor, p(x) = 0,

Nollor för p(x) är x = 1, x = -2 och x = 3.

Öva problem på nollor av polynom

1. Hitta alla nollor i polynomet f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6

2. Bestäm alla nollor i polynomet g(x) = 2x ⁴ – 7x ³ + 3x ² + 4x – 4

3. Hitta nollorna för polynomet h(x) = x ⁵ – 3x ⁴ + 2x ³ – 6x ² + x + 2

4. Bestäm alla nollor i polynomet p(x) = 3x ⁴ – 16x ³ + 18x ² + 16x – 12.

Vanliga frågor om nollor av polynom

Vad är nollor i ett polynom?

Dessa sådana reella värden, för värdet av polynomet blir 0, dvs. om p(x) är ett polynom, och p(a) = 0, då är x = a nollan av p(x).

Hur hittar man nollorna i ett polynom?

Det finns olika metoder för olika polynom för att hitta nollor, till exempel för andragradsspillning av mellantermen och kvadratisk formel. För linjär, enkel omarrangering av variabler och för kubisk använder vi en kombination av rationell rotsats, lång division, faktorsats och restsats.

Kan ett polynom ha mer än en noll?

Ja, ett polynom kan ha mer än en nolla, faktiskt kan polynomet med n grader ha högst n reella nollor.

Vad är multipliciteten av en nolla i ett polynom?

I faktoriseringsprocessen kom en faktor eller en nolla av ett polynom sedan ett antal gånger en faktor eller en nolla, det kallas multipliciteten av den roten.

Vad är Algebras grundläggande sats?

Grundsatsen för algebra säger att Om P(x) är ett polynom av grad n kommer P(x) att ha exakt n nollor, av vilka några kan upprepas.

Har ett polynom med en grad n alltid n riktiga rötter?

Nej, ett polynom med grad n har inte alltid n reella rötter, eftersom vissa rötter kan vara imaginära eller komplexa tal.

Vad är graden av nollpolynom?

Graden av nollpolynom är noll.