logo

TechCodeview

Vinkel mellan två vektorer formel

Vinkel mellan två vektorer är vinkeln mellan deras svansar och denna vinkel kan lätt hittas med hjälp av korsprodukt och punktprodukt av vektorformler. Vinkeln mellan två vektorer ligger alltid mellan 0° och 180°.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om, vinkel mellan två vektorer, definition, formler och exempel i detalj.



Vad är vinkeln mellan två vektorer?

Vinkel mellan två vektorer är vinkeln som bildas vid skärningspunkten mellan deras svansar. Vinkeln mellan två vektorer kan vara spetsig, höger eller trubbig, beroende på vektorernas riktning.

Vinkeln mellan två vektorer hittas med två formler:

  • Använda punktprodukt av vektorer
  • Använder korsprodukt av vektorer

Detta förklaras i formeln nedan.



Vinkel mellan två vektorer formler

Vinkel mellan två vektorer är lätt och vanligast att hitta med hjälp av skalär produkt av vektorer.

Två vektor A och B

Punkt produkt av A och B ges av,



vec{A}.vec{B} = |A| |B| cosθ.

Speciella fall

  • När vinkeln mellan vektorer är 0 grader.

Det är θ = 0°

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos0°

⇒ |A| |B| [cos0° = 1]

  • När vinkeln mellan vektorer är 180 grader.

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos180°

⇒ – |A| |B| [cos180° = -1]

  • När vinkeln mellan vektorer är 90 grader.

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos90°

⇒ |A| |B| × 0 [cos90° = 0]

⇒ 0

Formel För Vinkel Mellan Två Vektorer

Cosinus för vinkeln mellan två vektorer är lika med summan av produkten av de individuella beståndsdelarna av de två vektorerna, dividerat med produkten av storleken på de två vektorerna.

Två vektorer A och B

vec{A}.vec{B} =| A | | B | cosθ.

cosθ=frac{vec{A}.vec{B}}B

θ= cos-1 frac{vec{A}.vec{B}}B

I kartesisk form,

A = Axi + Aochj + AMedk

B= Bxi + Bochj + BMedk

cos θ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Egenskaper för Dot-produkten

  • Punktprodukt är kommutativ

vec{A}.vec{B}=vec{B}.vec{A}

  • Dot-produkten är Distributiv

vec{A}.(vec{B}+vec{C})=(vec{A}.vec{B}+vec{A}.vec{C})

Vinkeln mellan två vektorer ligger mellan 0 ≤ θ ≤ 180. När svansarna eller huvuden på båda vektorerna sammanfaller, beräknas vinkeln mellan vektorerna.

Svans sammanfaller

solig deol

Huvudet sammanfaller

Provproblem Vinkel mellan två vektorer formel

Uppgift 1: Hitta vinkeln mellan vektorer (om de bildar en liksidig triangel)

  • a och b vektorer
  • b- och c-vektorer
  • a och c vektorer

Liksidig triangel bildad av a, b, c vektor

Lösning:

  • a och b vektorer

För vektor a och b sammanfaller huvudet på båda vektorerna med varandra, därför är vinkeln mellan a och b vektor samma som vinkeln mellan två sidor av liksidig triangel = 60°.

  • b och c vektorer:

Från ovanstående figur ser vi att huvudet eller svansen på b- och c-vektorn inte sammanfaller med varandra.

Så, genom att använda egenskapen- En vektor förblir oförändrad om den sänds parallellt med sig själv.

Vektor c förskjuts parallellt med sig själv

Nu ser vi att svansen av vektorerna b och c sammanfaller med varandra, därför är densamma som den yttre vinkeln gör med en liksidig triangel = 120°.

  • a och c vektorer

Svansen på a och c sammanfaller

För vektorerna a och c sammanfaller svansen av båda vektorerna med varandra, därför är vinkeln mellan a- och c-vektorn densamma som vinkeln mellan två sidor av den liksidiga triangeln = 60°.

Uppgift 2: Hitta vinklar mellan vektorer om de bildar en likbent rätvinklig triangel.

  • a och b vektor
  • b och c vektor
  • a och c vektorer

Lösning:

  • a och b vektor

Rätt vinkel Likbent triangel

Från ovanstående figur ser vi att huvudet eller svansen på a- och b-vektorn inte sammanfaller med varandra. Så, genom att använda egenskapen- En vektor förblir oförändrad om den sänds parallellt med sig själv.

en vektor förskjuts parallellt med sig själv

Nu sammanfaller a- och b-vektorernas svansar med varandra och bildar en vinkel som är samma som den yttre vinkeln för en rätvinklig likbent triangel = 135°.

  • b och c vektor

Rätt vinkel Likbent triangel

Från ovanstående figur sammanfaller inte b och c vektorhuvud eller svansar med varandra. Så genom att använda egenskapen förblir en vektor oförändrad om den sänds parallellt med sig själv.

b vektor förskjuts parallellt med sig själv

Nu sammanfaller b- och c-vektorernas svansar med varandra och bildar en vinkel som är samma som den yttre vinkeln för en rätvinklig likbent triangel = 135°.

  • a och c vektorer

Rätt vinkel Likbent triangel

Från ovanstående figur sammanfaller inte a och c vektorhuvud eller svansar med varandra. Så, genom att använda egenskapen- En vektor förblir oförändrad om den sänds parallellt med sig själv.

c-vektorn flyttas parallellt med sig själv

Nu sammanfaller a- och c-vektorernas svansar med varandra och bildar en vinkel som är samma som den räta vinkeln på den likbenta triangeln = 90°.

Uppgift 3: Hitta vinkeln mellan vektorerna A = i + j + k och vektor B = -2i – 2j – 2k.

Lösning:

Från formeln,

A = Axi + Aochj + AMedk

B= Bxi + Bochj + BMedk

cosθ=frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Här i den givna frågan,

läsa från en csv-fil i java

A= i + j + k

B= -2i -2j -2k

Ersätter värdena i formeln

⇒ cosθ =frac{(1.(-2)+1.(-2)+1.(-2))}{(sqrt{1^2+1^2+1^2}×sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2})}

⇒ cosθ =frac{(-2-2-2)}{(sqrt{1+1+1}×sqrt{4+4+4})}

⇒ cosθ =frac{-6}{(sqrt{3}×sqrt{12})}

⇒ cosθ =frac{-6}{(sqrt{36})}

⇒ cosθ = -6/6

⇒ cosθ= -1

⇒ θ = 180°

Uppgift 4: Hitta vinkeln mellan vektor A = 3i + 4j och B = 2i + j

Lösning:

A = Axi + Aochj + AMedk

B = Bxi + Bochj + BMedk

cosθ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Här givet,

A= 3i + 4j + 0k

B= 2i + j + 0k

Ersätter värdena i formeln,

⇒ cosθ =frac{(3.2+4.1+0.0)}{(sqrt{3^2+4^2+0^2}×sqrt{2^2+1^2+0^2})}

⇒ cosθ =frac{(6+4+0)}{(sqrt{9+16+0}×sqrt{4+1+0})}

⇒ cosθ =frac{(10)}{(sqrt{25}×sqrt{5})}

⇒ cosθ =frac{(10)}{(sqrt{125})}

⇒ θ = cos-1(frac{(10)}{5.(sqrt{5})})

⇒ θ = cos-1(frac{2}{(sqrt{5})})

Uppgift 5: Hitta vinkeln mellan vektor A = i + j och vektor B = j + k.

Lösning:

Från formeln,

A = Axi + Aochj + AMedk

B = Bxi + Bochj + BMedk

cosθ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Här i den givna frågan,

⇒ A = i + j

⇒ B = j + k

⇒ cosθ =frac{(1.0+1.1+0.1)}{(sqrt{1^2+1^2+0^2}×sqrt{0^2+1^2+1^2})}

⇒ cosθ =frac{(1)}{(sqrt{1+1+0}×sqrt{0+1+1})}

⇒ cosθ =frac{1}{(sqrt{2}×sqrt{2})}

⇒ θ = cos-1(1/2)

⇒ θ = 60°