En storhet som inte bara kännetecknas av magnitud utan också av sin riktning kallas en vektor. Hastighet, kraft, acceleration, momentum etc. är vektorer.

Vektorer kan multipliceras på två sätt:

• Skalär produkt eller Dot-produkt
• Vektorprodukt eller korsprodukt

Innehållsförteckning

• Skalär produkt/punktprodukt av vektorer
• Projektion av en vektor på en annan vektor
• Egenskaper för skalär produkt
• Ojämlikheter baserade på Dot-produkt
• Korsprodukt/vektorprodukt av vektorer
• Egenskaper för Cross Product
• Korsprodukt i determinantform
• Prick- och korsprodukt
• Vanliga frågor om punkt- och korsprodukter på vektorer

Skalär produkt/punktprodukt av vektorer

Den resulterande skalära produkten/punktprodukten av två vektorer är alltid en skalär kvantitet. Betrakta två vektorer a och b . Den skalära produkten beräknas som produkten av magnituden a, b och cosinus av vinkeln mellan dessa vektorer.

Skalär produkt = |a||b| för α

Här,

• |a| = vektorns storlek en,
• |b| = vektorns storlek b , och
• α = vinkeln mellan vektorerna.

Vektorerna a och b med vinkeln α mellan dem

Projektion av en vektor på en annan vektor

Vektor a kan projiceras på linjen l som visas nedan:

CD = projektion av vektor a på vektor b

Det framgår av figuren ovan att vi kan projicera en vektor över en annan vektor. AC är storleken på vektor A. I figuren ovan är AD ritad vinkelrätt mot linjen l. CD representerar projektionen av vektor a på vektor b .

Triangel ACD är alltså en rätvinklig triangel, och vi kan tillämpa trigonometriska formler.

Om α är måttet på vinkeln ACD, då

referensvariabel i java

cos a = CD/AC

Eller, CD = AC cos a

Från figuren är det tydligt att CD är projektionen av vektor a på vektor b

Så vi kan dra slutsatsen att en vektor kan projiceras över den andra vektorn med cosinus för vinkeln mellan dem.

Egenskaper för skalär produkt

• Skalär produkt av två vektorer är alltid ett reellt tal (skalär).
• Skalär produkt är kommutativ, dvs a.b =b.a= |a||b| för α
• Om α är 90° är skalärprodukten noll eftersom cos(90) = 0. Så skalärprodukten av enhetsvektorer i x, y-riktningarna är 0.
• Om α är 0° så är skalärprodukten produkten av storleken på a och b |a||b|.
• Skalär produkt av en enhetsvektor med sig själv är 1.
• Skalär produkt av en vektor a med sig själv är |a|²
• Om α är 180⁰, den skalära produkten för vektorerna a och b är -|a||b|
• Skalär produkt är distribuerande framför addition

a. ( b + c ) = a.b + a.c

• För alla skalära k och m då,

l a. (m b ) = km a.b

• Om komponentformen för vektorerna ges som:

a = a₁x + a₂och +a₃Med

b = b₁x + b₂y + b₃Med

sedan ges den skalära produkten som

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

• Den skalära produkten är noll i följande fall:
  • Storleken på vektor a är noll
  • Storleken på vektor b är noll
  • Vektorerna a och b är vinkelräta mot varandra

Ojämlikheter baserade på Dot-produkt

Det finns olika ojämlikheter baserade på prickprodukten av vektorer, såsom:

• Cauchy – Schwartz ojämlikhet
• Triangel Ojämlikhet

Låt oss diskutera dessa i detalj enligt följande:

Cauchy – Schwartz ojämlikhet

Enligt denna princip, för vilka två vektorer som helst a och b , storleken på prickprodukten är alltid mindre än eller lika med produkten av storleken på vektor a och vektor b

|a.b| ≤ |a| |b|

Bevis:

Eftersom a.b = |a| |b| för α

Vi vet att 0

Så vi drar slutsatsen att |a.b| ≤ |a| |b|

Triangel Ojämlikhet

För vilka två vektorer som helst a och b , det har vi alltid gjort

| a + b | ≤ | a | + | b |

Triangelojämlikhet

Bevis:

| a + b |²=| a + b || a + b |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | a |²+ 2 a.b +| b |²(punktprodukten är kommutativ)

≤ | a |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

Detta bevisar att | a + b | ≤ | a | + | b|

Exempel på punktprodukt av vektorer

Exempel 1. Betrakta två vektorer så att |a|=6 och |b|=3 och α = 60°. Hitta deras prickprodukt.

Lösning:

a.b = |a| |b| för α

Så, a.b = 6,3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Exempel 2. Bevisa att vektorerna a = 3i+j-4k och vektorn b = 8i-8j+4k är vinkelräta.

Lösning :

Vi vet att vektorerna är vinkelräta om deras prickprodukt är noll

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

heal tool gimp

Eftersom den skalära produkten är noll kan vi dra slutsatsen att vektorerna är vinkelräta mot varandra.

Korsprodukt/vektorprodukt av vektorer

Läsarna är redan bekanta med ett tredimensionellt högerhänt rektangulärt koordinatsystem. I detta system indikerar en moturs rotation av x-axeln in i den positiva y-axeln att en högerskruvad (standard) skruv skulle avancera i riktning mot den positiva z-axeln som visas i figuren.

3D rektangulärt koordinatsystem

De vektorprodukt eller korsprodukt, av två vektorer a och b med en vinkel α mellan dem beräknas matematiskt som

a × b = |a| |b| utan α

Det bör noteras att tvärprodukten är en vektor med en specificerad riktning. Resultanten är alltid vinkelrät mot både a och b.

Dessutom, om två vektorer ges,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)ochmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), deras korsprodukt, betecknad med a × b, beräknas som:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Om a och b är parallella vektorer, ska resultanten vara noll som sin(0) = 0

Egenskaper för Cross Product

• Cross Product genererar en vektorkvantitet. Resultanten är alltid vinkelrät mot både a och b.
• Korsprodukten av parallella vektorer/kollinjära vektorer är noll eftersom sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• Korsprodukt av två ömsesidigt vinkelräta vektorer med enhetsstorlek vardera är enhet. (Eftersom sin(0)=1)
• Korsprodukt är inte kommutativ.

a × b är inte lika med b × a

• Korsprodukten är distribuerande framför tillägg

a × ( b + c ) = a × b + a × c

• Om k är en skalär då,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• När vi rör oss i medurs riktning och tar tvärprodukten av två par av enhetsvektorerna får vi den tredje och i moturs riktning får vi den negativa resultanten.

Korsa produkten medurs och moturs

Följande resultat kan fastställas:

Korsprodukt i determinantform

Om vektorn a representeras som a = a1x + a2y + a3z och vektor b representeras som b = b1x + b2y + b3z

Sedan korsprodukten a × b kan beräknas med hjälp av determinantform

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Sedan, a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Om a och b är de intilliggande sidorna av parallellogrammet OXYZ och α är vinkeln mellan vektorerna a och b.

Då ges parallellogrammets area av | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektorerna a och b som angränsande sidor av ett parallellogram

Exempel av C ross produkt av vektorer

Exempel 1. Hitta korsprodukten av två vektorer a och b om deras magnituder är 5 respektive 10. Givet att vinkeln däremellan är 30°.

Lösning:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 vinkelrätt mot a och b

Exempel 2. Hitta arean av ett parallellogram vars intilliggande sidor är

a = 4i+2j -3k

b=2i +j-4k

Lösning :

Arean beräknas genom att hitta korsprodukten av intilliggande sidor

a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Därför är storleken på områdetsqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Prick- och korsprodukt

Några av de vanliga skillnaderna mellan prick och korsprodukt av vektorer är:

Läs mer,

• Vektor algebra
• Skalär och vektor
• Skalär produkt av två vektorer
• Produkt av vektorer

Vanliga frågor om punkt- och korsprodukter på vektorer

Vad representerar prickprodukten geometriskt?

Punktprodukten av två vektorer representerar projektionen av en vektor på den andra, skalad efter deras storlek och cosinus för vinkeln mellan dem.

Hur används prickprodukten i geometri?

Den används för att hitta vinklar mellan vektorer, bestämma ortogonala vektorer, beräkna projektioner och mäta likheter mellan vektorer.

Vad händer om prickprodukten av två vektorer är noll?

Om punktprodukten är noll betyder det att vektorerna är ortogonala (vinkelräta) mot varandra.

Vad representerar korsprodukten geometriskt?

Korsprodukten av två vektorer representerar en vektor vinkelrät mot planet som innehåller de ursprungliga vektorerna. Dess storlek är lika med arean av parallellogrammet som bildas av vektorerna.

Hur hittar du riktningen på korsprodukten?

Använd högerhandsregeln: Peka med höger tumme i riktning mot den första vektorn, pekfingret i riktning mot den andra vektorn, och ditt långfinger pekar i riktning mot korsprodukten.