Bayes sats används för att bestämma den villkorade sannolikheten för en händelse. Den fick sitt namn efter en engelsk statistiker, Thomas Bayes som upptäckte denna formel 1763. Bayes sats är en mycket viktig sats i matematik, som lade grunden till en unik statistisk slutledningsmetod som kallas Bayes slutsats. Det används för att hitta sannolikheten för en händelse, baserat på förkunskaper om förhållanden som kan vara relaterade till den händelsen.

Till exempel, om vi vill hitta sannolikheten att en vit kula ritad slumpmässigt kom från den första påsen, givet att en vit kula redan har ritats, och det finns tre påsar som var och en innehåller några vita och svarta kulor, då kan vi använda Bayes sats.

Den här artikeln utforskar Bayes sats inklusive dess uttalande, bevis, härledning och formel för satsen, såväl som dess tillämpningar med olika exempel.

setinterval javascript

Vad är Bayes sats?

Bayes teorem (även känd som Bayes regel eller Bayes lag) används för att bestämma den villkorade sannolikheten för händelse A när händelse B redan har inträffat.

Det allmänna uttalandet i Bayes sats är Den villkorade sannolikheten för en händelse A, givet förekomsten av en annan händelse B, är lika med produkten av händelsen av B, givet A och sannolikheten för A dividerat med sannolikheten för händelse B. dvs.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

var,

• P(A) och P(B) är sannolikheterna för händelser A och B
• P(A|B) är sannolikheten för händelse A när händelse B inträffar
• P(B|A) är sannolikheten för händelse B när A inträffar

Kolla upp: Bayes sats för villkorlig sannolikhet

Bayes teorem uttalande

Bayes sats för n uppsättning händelser definieras som,

Låt E₁, OCH₂,…, OCH_nvara en uppsättning händelser associerade med sampelutrymmet S, där alla händelser E₁, OCH₂,…, OCH_nhar en sannolikhet som inte är noll att inträffa. Alla händelser E₁, OCH₂,…, E bildar en partition av S. Låt A vara en händelse från rymden S för vilken vi måste hitta sannolikhet, då enligt Bayes sats,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

för k = 1, 2, 3, …, n

Bayes satsformel

För två valfria händelser A och B ges formeln för Bayes sats av: (bilden nedan ger Bayes satsformel)

Bayes satsformel

var,

• P(A) och P(B) är sannolikheterna för händelser A och B också P(B) är aldrig lika med noll.
• P(A|B) är sannolikheten för händelse A när händelse B inträffar
• P(B|A) är sannolikheten för händelse B när A inträffar

Bayes sats härledning

Beviset för Bayes sats ges som, enligt den betingade sannolikhetsformeln,

P(E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Sedan, genom att använda multiplikationsregeln för sannolikhet, får vi

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Nu, med den totala sannolikhetssatsen,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Ersätter värdet av P(E_i∩A) och P(A) från ekv (ii) och ekv(iii) i ekv(i) får vi,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Bayes sats är också känd som formeln för sannolikhet för orsaker . Som vi vet är E _i 's är en partition av sampelutrymmet S, och vid varje given tidpunkt endast en av händelserna E _i inträffar. Därför drar vi slutsatsen att Bayes satsformel ger sannolikheten för ett visst E_i, givet händelse A har inträffat.

Termer relaterade till Bayes sats

Efter att ha lärt oss om Bayes teorem i detalj, låt oss förstå några viktiga termer relaterade till begreppen vi täckte i formel och härledning.

• Hypoteser: Händelser som händer i provutrymmet OCH ₁ , OCH ₂ ,… OCH _n kallas hypoteserna

• Priori Sannolikhet: Priori Probability är den initiala sannolikheten för att en händelse inträffar innan någon ny data tas med i beräkningen. P(E_i) är den priori sannolikheten för hypotes E_i.

• Posterior sannolikhet: Posterior sannolikhet är den uppdaterade sannolikheten för en händelse efter att ha beaktat ny information. Sannolikhet P(E_i|A) anses vara den bakre sannolikheten för hypotes E_i.

Villkorlig sannolikhet

• Sannolikheten för en händelse A baserat på förekomsten av en annan händelse B kallas villkorlig sannolikhet .
• Det betecknas som P(A|B) och representerar sannolikheten för A när händelse B redan har inträffat.

Gemensam sannolikhet

När sannolikheten för att ytterligare två händelser ska inträffa samtidigt och samtidigt mäts markeras den som Joint Probability. För två händelser A och B betecknas det med gemensam sannolikhet betecknas som, P(A∩B).

Slumpmässiga variabler

Realvärderade variabler vars möjliga värden bestäms av slumpmässiga experiment kallas slumpvariabler. Sannolikheten att hitta sådana variabler är den experimentella sannolikheten.

Bayes satstillämpningar

Bayesiansk slutledning är mycket viktig och har funnit tillämpning i olika aktiviteter, inklusive medicin, vetenskap, filosofi, teknik, sport, juridik, etc., och Bayesiansk slutledning är direkt härledd från Bayes sats.

Exempel: Bayes teorem definierar noggrannheten av det medicinska testet genom att ta hänsyn till hur sannolikt en person är att ha en sjukdom och vad som är testets övergripande noggrannhet.

Skillnaden mellan villkorlig sannolikhet och Bayes sats

Skillnaden mellan Conditional Probability och Bayes Theorem kan förstås med hjälp av tabellen nedan,

Sats om total sannolikhet

Låt E₁, OCH₂, . . ., OCH_när ömsesidigt uteslutande och uttömmande händelser associerade med ett slumpmässigt experiment och låter E vara en händelse som inträffar med vissa E_i. Sedan, bevisa det

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 KISSA _i ) . P(E _j )

Bevis:

Låt S vara provutrymmet. Sedan,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ One och E_i∩ E_j= ∅ för i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Därför, (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} är parvis disjunkta}

⇒ P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + . . . + P(E/E_n) . P(E_n) [genom multiplikationssats]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1KISSA_i) . P(E_i)

Artiklar relaterade till Bayes sats

• Sannolikhetsfördelning
• Bayes sats för villkorlig sannolikhet
• Permutationer och kombinationer
• Binomialsatsen

Slutsats – Bayes sats

Bayes teorem erbjuder ett kraftfullt ramverk för att uppdatera sannolikheten för en hypotes baserat på nya bevis eller information. Genom att införliva förkunskaper och uppdatera den med observerade data, möjliggör Bayes sats mer exakt och informerat beslutsfattande inom ett brett spektrum av områden, inklusive statistik, maskininlärning, medicin och ekonomi. Dess applikationer sträcker sig från medicinsk diagnos och riskbedömning till skräppostfiltrering och naturlig språkbehandling.

Att förstå och tillämpa Bayes sats gör det möjligt för oss att göra bättre förutsägelser, uppskatta osäkerheter och dra meningsfulla insikter från data, vilket i slutändan förbättrar vår förmåga att fatta välgrundade beslut i komplexa och osäkra situationer.

Kolla också:

sträng hitta c++

• Bayes sats i Data Mining
• Bayes sats i artificiell intelligens
• Bayes teorem i maskininlärning

Bayes Teorem Exempel

Exempel 1: En person har åtagit sig ett jobb. Sannolikheten att slutföra jobbet i tid med och utan regn är 0,44 respektive 0,95. Om sannolikheten att det kommer att regna är 0,45, bestäm sannolikheten för att jobbet kommer att slutföras i tid.

Lösning:

Låt E₁vara händelsen att gruvjobbet kommer att slutföras i tid och E₂vara händelsen att det regnar. Vi har,

P(A) = 0,45,

P(inget regn) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Genom multiplikationslagen av sannolikhet,

P(E₁) = 0,44 och P(E₂) = 0,95

Eftersom händelser A och B bildar partitioner av sampelutrymmet S, genom total sannolikhetssats, har vi

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Så sannolikheten att jobbet kommer att slutföras i tid är 0,7205

Exempel 2: Det finns tre urnor som innehåller 3 vita och 2 svarta kulor; 2 vita och 3 svarta bollar; 1 svart respektive 4 vita bollar. Det är lika stor sannolikhet att varje urna väljs. En boll är lika sannolikhet vald slumpmässigt. vad är sannolikheten att en vit boll dras?

Lösning:

Låt E₁, OCH₂, och E₃vara händelserna med att välja den första, andra och tredje urnan. Sedan,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Låt E vara händelsen att en vit boll dras. Sedan,

KISSA₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Genom teorem om total sannolikhet har vi

P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + P(E/E₃) . P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Exempel 3: Ett kort från ett paket med 52 kort går förlorat. Av de återstående korten i paketet dras två kort som visar sig vara båda hjärtan. hitta sannolikheten att det förlorade kortet är ett hjärta.

Lösning:

Låt E₁, OCH₂, OCH_3,och E₄vara händelserna med att förlora ett kort med hjärter, klöver, spader respektive ruter.

Sedan P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Låt E vara händelsen att dra 2 hjärtan från de återstående 51 korten. Sedan,

P(E|E₁) = sannolikhet att dra 2 hjärtan, givet att ett kort med hjärtan saknas

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = sannolikheten att dra 2 klubbor, givet att ett kort med klubbor saknas

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = sannolikhet att dra 2 spader, givet att ett hjärtkort saknas

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = sannolikhet att dra 2 diamanter, givet att ett kort med diamanter saknas

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Därför,

jdbc

P(E₁|E) = sannolikheten att det förlorade kortet är ett hjärta, förutsatt att de 2 hjärtan dras från de återstående 51 korten

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Därför är den nödvändiga sannolikheten 0,22.

Exempel 4: Antag att 15 män av 300 män och 25 kvinnor av 1000 är bra talare. En talare väljs slumpmässigt. Hitta sannolikheten att en manlig person väljs ut. Antag att det finns lika många män och kvinnor.

Lösning:

Gievn,

• Totalt män = 300
• Totalt kvinnor = 1000
• Bra talare bland män = 15
• Bra talare bland kvinnor = 25

Totalt antal bra talare = 15 (från män) + 25 (från kvinnor) = 40

Sannolikhet att välja en manlig talare:

P(Manlig talare) = Antal manliga talare / totalt antal talare = 15/40

Exempel 5: En man är känd för att säga lögnerna 1 av 4 gånger. Han kastar en tärning och rapporterar att det är en sexa. Hitta sannolikheten som faktiskt är en sexa.

Lösning:

hur många nollor i 1 miljard

I ett tärningskast, låt

OCH₁= händelse att få en sexa,

OCH₂= händelse av att inte få en sexa och

E = händelse som mannen rapporterar att det är en sexa.

Sedan, P(E₁) = 1/6 och P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = sannolikheten att mannen rapporterar att sex inträffar när sex faktiskt har inträffat

⇒ P(E|E₁) = sannolikhet att mannen talar sanning

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = sannolikheten att mannen rapporterar att sex inträffar när sex inte faktiskt har inträffat

⇒ P(E|E₂) = sannolikhet att mannen inte talar sanning

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Sannolikhet att få en sexa, givet att mannen rapporterar att det är sex

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [av Bayes teorem]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Därför är sannolikheten som krävs 3/8.

Vanliga frågor om Bayes sats

Vad är Bayes sats?

Bayes, sats som namnet antyder är en matematisk sats som används för att hitta villkorlighetssannolikheten för en händelse. Betingad sannolikhet är sannolikheten för den händelse som kommer att inträffa i framtiden. Den beräknas utifrån de tidigare utfallen av händelserna.

När används Bayes sats?

Bayes teorem har ett brett spektrum av tillämpningar, särskilt inom områden som handlar om uppdatering av sannolikheter baserat på nya data. Bayes regel låter dig beräkna posterior (eller uppdaterad) sannolikhet. Den används för att beräkna villkorad sannolikhet för händelser.

Vilka är några nyckeltermer för att förstå Bayes teorem?

Några av nyckeltermerna är:

• Tidigare sannolikhet (P(A))
• Posterior sannolikhet (P(A | B))
• Sannolikhet (P(B | A))
• Marginal sannolikhet (P(B))

När ska man använda Bayes teorem?

Bayes sats är tillämplig när den villkorade sannolikheten för en händelse är given, den används för att hitta den omvända sannolikheten för händelsen.

Hur skiljer sig Bayes teorem från betingad sannolikhet?

Bayes teorem används för att definiera sannolikheten för en händelse baserat på de tidigare förhållandena för händelsen. Medan Bayes sats använder villkorlig sannolikhet för att hitta den omvända sannolikheten för händelsen.

Vad är formeln för Bayes sats?

Bayes satsformel förklaras nedan,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)