BINÄRT INDEXERAT TRÄD: RANGE UPDATE OCH RANGE QUERIES

Givet en array arr[0..N-1]. Följande operationer måste utföras.

uppdatera(l r val) : Lägg till 'val' till alla element i arrayen från [l r].
getRangeSum(l r) : Hitta summan av alla element i matrisen från [l r].

Initialt är alla element i arrayen 0. Frågor kan vara i vilken ordning som helst, dvs det kan finnas många uppdateringar före intervallsumman.

Exempel:

Input: N = 5 // {0 0 0 0 0}
Frågor: uppdatering: l = 0 r = 4 val = 2
uppdatering: l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4

Produktion: Summan av elementen i området [2 4] är 12
Förklaring: Array efter första uppdateringen blir {2 2 2 2 2}
Array efter andra uppdateringen blir {2 2 2 5 5}

Naivt förhållningssätt: Följ idén nedan för att lösa problemet:

I den föregående inlägg vi diskuterade intervalluppdateringar och punktfrågor med hjälp av BIT.
rangeUpdate(l r val) : Vi lägger till 'val' till elementet vid index 'l'. Vi subtraherar 'val' från elementet vid index 'r+1'.
getElement(index) [eller getSum()]: Vi returnerar summan av element från 0 till index som snabbt kan erhållas med BIT.
Vi kan beräkna rangeSum() med hjälp av getSum()-frågor.
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)
java lägg till sträng

En enkel lösning är att använda de lösningar som diskuteras i föregående inlägg . Frågan om intervalluppdatering är densamma. Intervallsummefråga kan uppnås genom att göra en get-fråga för alla element i intervallet.

Effektivt tillvägagångssätt: Följ idén nedan för att lösa problemet:

Vi får intervallsummor med prefixsummor. Hur säkerställer man att uppdateringen görs på ett sätt så att prefixsumma kan göras snabbt? Tänk på en situation där prefixsumma [0 k] (där 0<= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.

Fall 1 : 0< k < l
Uppdateringsfrågan påverkar inte summafrågan.
Fall 2 :l<= k <= r
Tänk på ett exempel: Lägg till 2 till intervallet [2 4] den resulterande arrayen blir: 0 0 2 2 2
Om k = 3 Summan från [0 k] = 4
Hur får man det här resultatet?
Lägg bara till valet från l^thindex till k^thindex. Summan ökas med 'val*(k) - val*(l-1)' efter uppdateringsfrågan.

Fall 3 : k > r
I det här fallet måste vi lägga till 'val' från l^thindex till r^thindex. Summan ökas med 'val*r – val*(l-1)' på grund av en uppdateringsfråga.

Observationer:

Fall 1: är enkelt eftersom summan skulle förbli densamma som den var före uppdateringen.

Fall 2: Summan ökades med val*k - val*(l-1). Vi kan hitta 'val' det liknar att hitta i:et^thelement i intervalluppdatering och punktfråga artikel . Så vi upprätthåller en BIT för Range Update och Point Queries. Denna BIT kommer att vara till hjälp för att hitta värdet på k^thindex. Nu beräknas val * k hur man hanterar extra term val*(l-1)?
För att hantera denna extra term underhåller vi ytterligare en BIT (BIT2). Uppdatera val * (l-1) vid l^thindex så när getSum-frågan utförs på BIT2 kommer resultatet att ge val*(l-1).

Fall 3: Summan i fall 3 ökades med 'val*r - val *(l-1)' värdet av denna term kan erhållas med BIT2. Istället för att addera subtraherar vi 'val*(l-1) - val*r' eftersom vi kan få detta värde från BIT2 genom att addera val*(l-1) som vi gjorde i fall 2 och subtrahera val*r i varje uppdateringsoperation.

oändlig loop

Uppdatera fråga

Uppdatering (BITree1 l val)
Uppdatering(BITree1 r+1 -val)
UpdateBIT2(BITree2 l val*(l-1))
UpdateBIT2(BITree2 r+1 -val*r)

Räckvidd Summa

getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)

Följ stegen nedan för att lösa problemet:

Skapa de två binära indexträden med den givna funktionen constructBITree()
För att hitta summan i ett givet område anropa funktionen rangeSum() med parametrar som det givna området och binärt indexerade träd
- Anropa en funktionssumma som returnerar en summa i intervallet [0 X]
- Returnera summa(R) - summa(L-1)
  - Inuti denna funktion anropa funktionen getSum() som returnerar summan av arrayen från [0 X]
  - Returnera getSum(Träd1 x) * x - getSum(träd2 x)
  - Inuti getSum()-funktionen skapa en heltalssumma lika med noll och öka indexet med 1
  - Medan indexet är större än noll, öka summan med träd[index]
  - Minska index med (index & (-index)) för att flytta indexet till den överordnade noden i trädet
  - Retursumma
Skriv ut summan i det givna intervallet

Nedan är implementeringen av ovanstående tillvägagångssätt:

C++

// C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include    using namespace std; // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] int getSum(int BITree[] int index) {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. void updateBIT(int BITree[] int n int index int val) {  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  } } // Returns the sum of array from [0 x] int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[]) {  return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[] int n  int val int l int r) {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } int rangeSum(int l int r int BITTree1[] int BITTree2[]) {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } int* constructBITree(int n) {  // Create and initialize BITree[] as 0  int* BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree; } // Driver code int main() {  int n = 5;  // Construct two BIT  int *BITTree1 *BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2 r = 4 val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1 r = 4;  cout << 'Sum of elements from [' << l << '' << r  << '] is ';  cout << rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) << 'n';  return 0; }

Java

// Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.*; class GFG {  // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes  // that the array is preprocessed and partial sums of  // array elements are stored in BITree[]  static int getSum(int BITree[] int index)  {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than the index in  // arr[]  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum;  }  // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given  // index in BITree. The given value 'val' is added to  // BITree[i] and all of its ancestors in tree.  static void updateBIT(int BITree[] int n int index  int val)  {  // index in BITree[] is 1 more than the index in  // arr[]  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  }  }  // Returns the sum of array from [0 x]  static int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[])  {  return (getSum(BITTree1 x) * x)  - getSum(BITTree2 x);  }  static void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[]  int n int val int l int r)  {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r);  }  static int rangeSum(int l int r int BITTree1[]  int BITTree2[])  {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2);  }  static int[] constructBITree(int n)  {  // Create and initialize BITree[] as 0  int[] BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree;  }  // Driver Program to test above function  public static void main(String[] args)  {  int n = 5;  // Contwo BIT  int[] BITTree1;  int[] BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2;  r = 4;  val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1;  r = 4;  System.out.print('Sum of elements from [' + l + ''  + r + '] is ');  System.out.print(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)  + 'n');  } } // This code is contributed by 29AjayKumar

Python3

# Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum(BITree: list index: int) -> int: summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0: # Add current element of BITree to sum summ += BITree[index] # Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit(BITTree: list n: int index: int val: int) -> None: # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n: # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree[index] += val # Update index to that of parent in update View index += index & (-index) # Returns the sum of array from [0 x] def summation(x: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x) def updateRange(BITTree1: list BITTree2: list n: int val: int l: int r: int) -> None: # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit(BITTree1 n l val) updateBit(BITTree1 n r + 1 -val) # Update BIT2 updateBit(BITTree2 n l val * (l - 1)) updateBit(BITTree2 n r + 1 -val * r) def rangeSum(l: int r: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation(r BITTree1 BITTree2) - summation( l - 1 BITTree1 BITTree2) # Driver Code if __name__ == '__main__': n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [0] * (n + 1) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [0] * (n + 1) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print('Sum of elements from [%d%d] is %d' % (l r rangeSum(l r BITTree1 BITTree2))) # This code is contributed by # sanjeev2552

// C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System; class GFG {  // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes  // that the array is preprocessed and partial sums of  // array elements are stored in BITree[]  static int getSum(int[] BITree int index)  {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than  // the index in []arr  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum;  }  // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given  // index in BITree. The given value 'val' is added to  // BITree[i] and all of its ancestors in tree.  static void updateBIT(int[] BITree int n int index  int val)  {  // index in BITree[] is 1 more than  // the index in []arr  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of  // parent in update View  index += index & (-index);  }  }  // Returns the sum of array from [0 x]  static int sum(int x int[] BITTree1 int[] BITTree2)  {  return (getSum(BITTree1 x) * x)  - getSum(BITTree2 x);  }  static void updateRange(int[] BITTree1 int[] BITTree2  int n int val int l int r)  {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r);  }  static int rangeSum(int l int r int[] BITTree1  int[] BITTree2)  {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2);  }  static int[] constructBITree(int n)  {  // Create and initialize BITree[] as 0  int[] BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree;  }  // Driver Code  public static void Main(String[] args)  {  int n = 5;  // Contwo BIT  int[] BITTree1;  int[] BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2;  r = 4;  val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1;  r = 4;  Console.Write('Sum of elements from [' + l + '' + r  + '] is ');  Console.Write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)  + 'n');  } } // This code is contributed by 29AjayKumar

JavaScript

<script> // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum(BITreeindex) {  let sum = 0; // Initialize result    // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;    // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0)  {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];    // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT(BITreenindexval) {  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;    // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n)  {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;    // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum(xBITTree1BITTree2) {  return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } function updateRange(BITTree1BITTree2nvallr) {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article    // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);    // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } function rangeSum(lrBITTree1BITTree2) {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2) -  sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } function constructBITree(n) {  // Create and initialize BITree[] as 0  let BITree = new Array(n + 1);  for (let i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;    return BITree; } // Driver Program to test above function let n = 5;   // Contwo BIT let BITTree1; let BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0  r = 4  val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4; document.write('Sum of elements from [' + l  + '' + r+ '] is '); document.write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)+ '  
'); // This code is contributed by rag2127 </script>

Produktion

Sum of elements from [14] is 50

Tidskomplexitet : O(q * log(N)) där q är antalet frågor.
Hjälputrymme: PÅ)

TechCodeview

Binärt indexerat träd: Range Update och Range Queries

Observationer: