Ekvationen för en linje i ett plan ges som y = mx + C där x och y är koordinaterna för planet, m är linjens lutning och C är skärningspunkten. Konstruktionen av en linje är dock inte begränsad till enbart ett plan.

Vi vet att en linje är en väg mellan två punkter. Dessa två punkter kan placeras var som helst oavsett om de kan vara i ett enda plan eller de kan vara i rymden. I fallet med ett plan kännetecknas linjens placering av två koordinater ordnade i ett ordnat par givet som (x, y) medan i fallet med rymden kännetecknas platsen för punkten av tre koordinater uttryckta som (x y, z).

I den här artikeln kommer vi att lära oss de olika formerna av linjeekvationer i 3D-rymden.

Innehållsförteckning

• Vad är ekvation av en linje?
• Linjeekvation i 3D
• Kartesisk form av linjeekvation i 3D
• Vektorform av linjeekvation i 3D
• Formler för 3D-linjer
• Lösta exempel på ekvation av en linje i 3D

Vad är ekvation av en linje?

En linjes ekvation är ett algebraiskt sätt att uttrycka en linje i termer av koordinaterna för de punkter den förenar. Ekvationen för en linje kommer alltid att vara a linjär ekvation .

Om vi ​​försöker plotta punkterna som erhålls från en linjär ekvation blir det a rak linje . Standardekvationen för en linje ges som:

ax + by + c = 0

var,

• a och b är koefficienter för x och y
• c är konstant term

Andra former av linjeekvationen nämns nedan:

java program loop

Nu ska vi lära oss linjens ekvation i 3D.

Linjeekvation i 3D

Ekvationen för rät linje i 3D kräver två punkter som är placerade i rymden. Placeringen av varje punkt ges med hjälp av tre koordinater uttryckta som (x, y, z).

3D-ekvationen för en linje ges i två format, kartesisk form och vektor form . I den här artikeln kommer vi att lära oss ekvationen för en linje i 3D i både kartesisk och vektorform och även lära oss att härleda ekvationen. De olika fallen för linjeekvation listas nedan:

• Kartesisk linjeform
  • Linje som går genom två punkter
  • Linje som går genom en given punkt och parallell med en given vektor
• Vektor Form av linje
  • Linje som går genom två punkter
  • Linje som går genom en given punkt och parallell med en given vektor

Kartesisk form av linjeekvation i 3D

Den kartesiska formen av linjen ges genom att använda koordinaterna för två punkter belägna i rymden från vilken linjen passerar. I detta kommer vi att diskutera två fall, när linjen går genom två punkter och när linjen går genom punkter och är parallell med en vektor.

Fall 1: 3D linjeekvation i kartesisk form som passerar genom två punkter

Låt oss anta att vi har två punkter A och B vars koordinater anges som A(x₁, och₁, Med₁) och B(x₂, och₂, Med₂).

Då ges 3D-ekvationen för rät linje i kartesisk form som

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

där x, y och z är rektangulära koordinater.

Härledning av ekvationen för linje som passerar genom två punkter

Vi kan härleda den kartesiska formen av 3D-ekvationen av rak linje genom att använda följande nämnda steg:

• Steg 1: Hitta DR:s (riktningsförhållanden) genom att ta skillnaden mellan motsvarande positionskoordinater för de två givna punkterna. l = (x₂– x₁), m = (och₂- och₁), n = (z₂- Med₁); Här l, m, n är DR:s.
• Steg 2: Välj någon av de två givna punkterna säg, vi väljer (x₁, och₁, Med₁).
• Steg 3: Skriv den nödvändiga ekvationen för den räta linjen som går genom punkterna (x₁, och₁, Med₁) och (x₂, och₂, Med₂).
• Steg 4: 3D-ekvationen för rät linje i kartesisk form ges som L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(och₂- och₁) = (z – z₁)/(Med₂- Med₁)

Var (X och Z) är positionskoordinaterna för varje variabel punkt som ligger på den räta linjen.

Exempel: Om en rät linje passerar genom de två fasta punkterna i den 3-dimensionella vars positionskoordinater är P (2, 3, 5) och Q (4, 6, 12) så ges dess kartesiska ekvation med tvåpunktsformen av

Lösning:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Att välja punkt P (2, 3, 5)

Linjens ekvation som krävs

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Fall 2: 3D-ekvation av linje i kartesisk passering genom en punkt och parallell med en given vektor

Låt oss anta att linjen går genom en punkt P(x₁, och₁, Med₁) och är parallell med en vektor given somvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Sedan ges linjeekvationen som

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

där x, y, z är rektangulära koordinater och a, b, c är riktningscosinus.

Härledning av 3D linjeekvation i kartesisk passering genom en punkt och parallell med en given vektor

Låt oss anta att vi har en punkt P vars positionsvektor ges somvec pfrån ursprunget. Låt linjen som går genom P är parallell med en annan vektorvec n. Låt oss ta en punkt R på linjen som går genom P, då ges positionsvektorn för R somvec r .

Sedan är PR parallell medvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Om vi ​​nu rör oss på linjen PR så kommer koordinaten för vilken punkt som helst som ligger på linjen att ha koordinaten i form av (x₁+ λa), (och₁+ Xb), (z₁+ λc), där λ är en parameter vars värde sträcker sig från -∞ till +∞ beroende på riktningen från P där vi rör oss.

Därför kommer koordinaterna för den nya punkten att vara

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/a

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

Jämför vi ovanstående tre ekvationer har vi ekvationen för linje som

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Exempel: Hitta ekvationen för en linje som går genom en punkt (2, 1, 3) och parallell med en vektor 3i – 2j + k

Lösning:

Ekvationen för linje som går genom en punkt och parallell med en vektor ges som

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

Från frågan vi har, x₁= 2, och₁= 1, z₁= 3 och a = 3, b = -2 och c = k. Följaktligen kommer den erforderliga ekvationen för linjen att vara

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Vektorform av linjeekvation i 3D

Vektorform av linjeekvationen i 3D ges med hjälp av en vektorekvation som involverar punkternas positionsvektor. I denna rubrik kommer vi att få 3D-ekvationen för linjen i vektorform för två fall.

Fall 1: 3D-ekvation av linje som passerar genom två punkter i vektorform

Låt oss anta att vi har två punkter A och B vars positionsvektor anges somvec aochvec b.

Då ges vektorekvationen för Linjen L som

python tuppel sorterad

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

var(vec b – vec a)är avståndet mellan två punkter och λ är parametern som ligger på linjen.

Härledning av 3D-ekvationen för linje som passerar genom två punkter i vektorform

Antag att vi har två punkter A och B vars positionsvektor ges somvec aochvec b. Nu vet vi att en linje är avståndet mellan två valfria punkter. Därför måste vi subtrahera de två positionsvektorerna för att erhålla avståndet.

⇒vec d = vec b – vec a

Nu vet vi att vilken punkt som helst på denna linje kommer att ges som summan av positionsvektornvec a space or space vec b med produkten av parametern λ och positionsvektorn av avståndet mellan två punkter dvs.vec d

Följaktligen kommer linjens ekvation i vektorformen att varavec l = vec a + lambda (vec b – vec a)ellervec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Exempel: Hitta vektorekvationen för en linje i 3D som går genom två punkter vars positionsvektorer ges som 2i + j – k och 3i + 4j + k

Lösning:

Givet att de två positionsvektorerna ges som 2i + j – k och 3i + 4j + k

Avstånd d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Vi vet att linjens ekvation ges somvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Följaktligen blir linjens ekvationvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Fall 2: Vektorform av 3D-ekvation av linje som går genom en punkt och parallellt med en vektor

Låt oss säga att vi har en punkt P vars positionsvektor anges somvec p. Låt denna linje vara parallell med en annan linje vars positionsvektor anges somvec d .

Då ges vektorekvationen för linjen 'l' som

vec l = vec p + lambda vec d

där λ är parametern som ligger på linjen.

Härledning av vektorformen för 3D-ekvationen av linje som går genom en punkt och parallellt med en vektor

Betrakta en punkt P vars positionsvektor anges somvec p. Låt oss nu anta att denna linje är parallell med en vektorvec ddå blir linjens ekvationvec l = lambda vec d. Eftersom linjen också passerar genom punkt P, då när vi rör oss bort från punkt P i endera riktningen på linjen kommer punktens positionsvektor att vara i form avvec p + lambda vec d . Följaktligen blir linjens ekvationvec l = vec p + lambda vec ddär λ är parametern som ligger på linjen.

Exempel: Hitta vektorformen för ekvationen för linjen som går genom punkten (-1, 3, 2) och parallellt med en vektor 5i + 7j – 3k.

Lösning:

Vi vet att vektorformen för ekvationen för en linje som går genom en punkt och parallell med en vektor ges somvec l = vec p + lambda vec d

Givet att punkten är (-1, 3, 2), så kommer positionsvektorn för punkten att vara -i + 3j + 2k och den givna vektorn är 5i + 7j – 3k.

Därför kommer den erforderliga ekvationen för linjen att varavec l = (-i + 3j + 2k) + A(5i + 7j – 3k).

Formler för 3D-linjer

Liknande läsningar

• Ekvation för en rak linje
• Tangent och Normal
• Slope of Line

Lösta exempel på ekvation av en linje i 3D

Öva linjeekvationer i 3D med dessa lösta övningsfrågor.

Exempel 1: Om en rät linje passerar genom de två fasta punkterna i den 3-dimensionella vars positionsvektorer är (2 i + 3 j + 5 k) och (4 i + 6 j + 12 k) då dess vektorekvation med tvåpunkts form ges av

Lösning:

{vec {p}}= (4 i + 6 j + 12 k ) - (2 i + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 i + 3 j + 7 k ); Här{vec {p}}är en vektor parallell med den räta linjen

Välja positionsvektor (2 i + 3 j + 5 k )

Den nödvändiga ekvationen för den räta linjen

L :{vec {r}}= (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

Exempel 2: Om en rät linje passerar genom de två fasta punkterna i det 3-dimensionella rymden vars positionskoordinater är (3, 4, -7) och (1, -1, 6) så använder dess vektorekvation med tvåpunkten form ges av

Lösning:

datum till sträng

Positionsvektorerna för de givna punkterna kommer att vara (3 i + 4 j – 7 k) och (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k); Här{vec {p}}är en vektor parallell med den räta linjen

Välja positionsvektor (i – j + 6 k)

Den nödvändiga ekvationen för den räta linjen

L :{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

.nästa java

Exempel 3: Om en rät linje passerar genom de två fasta punkterna i den 3-dimensionella vars positionsvektorer är (5 i + 3 j + 7 k) och (2 i + j – 3 k) då dess vektorekvation med tvåpunktsformen ges av

Lösning:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3i + 2 j + 10 k); Här{vec {p}}är en vektor parallell med den räta linjen

Välja positionsvektor (2 i + j – 3 k)

Den nödvändiga ekvationen för den räta linjen

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Exempel 4: Om en rät linje passerar genom de två fasta punkterna i den 3-dimensionella vars positionskoordinater är A (2, -1, 3) och B (4, 2, 1) då dess kartesiska ekvation med tvåpunkts form ges av

Lösning:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

1 = 2, m = 3, n = -2

Välj punkt A (2, -1, 3)

Linjens ekvation som krävs

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 eller

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Exempel 5: Om en rät linje passerar genom de två fasta punkterna i den 3-dimensionella vars positionskoordinater är X (2, 3, 4) och Y (5, 3, 10) så ges dess kartesiska ekvation med tvåpunktsformen av

Lösning:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Välj punkt X (2, 3, 4)

Linjens ekvation som krävs

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 eller

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Ekvation av en linje i 3D – Vanliga frågor

Vad är ekvation av en linje i 3D?

Ekvationen för en linje i 3D ges som (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(och₂- och₁) = (z – z₁)/(Med₂- Med₁)

Vad är den kartesiska formen av en linjes ekvation i 3D?

Kartesisk form av linjeekvationen i 3D ges för två fall

Fall 1: När linjen går genom två punkter:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Fall 2: När en linje går genom en punkt och är parallell med en vektor:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Vad är vektorform av ekvation av en linje i 3D?

Vektorform av ekvationen för en linje i 3D ges för två fall:

Fall 1: Linje som går genom två punkter:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Fall 2: Linje passerar genom en punkt och parallellt med en vektor:vec l = vec p + lambda vec d

Vad är lutningspunktsekvationen för en linje?

Lutningspunktekvationen för en linje ges som y = mx + C där m är lutningen

Vad är standardekvationen för en linje?

Standardekvationen för en linje är ax + by + c = 0