EKVIVALENSKLASS: DEFINITION, EGENSKAPER OCH EXEMPEL

Ekvivalensklass är gruppen av element i en mängd baserad på en specifik föreställning om ekvivalens definierad av en ekvivalensrelation. En ekvivalensrelation är en relation som uppfyller tre egenskaper: reflexivitet, symmetri och transitivitet. Ekvivalensklasser delar upp mängden S i disjunkta delmängder. Varje delmängd består av element som är relaterade till varandra under den givna ekvivalensrelationen.

I den här artikeln kommer vi att diskutera begreppet ekvivalensklass tillräckligt detaljerat inklusive dess definition, exempel, egenskaper samt lösta exempel.

Innehållsförteckning

Vad är ekvivalensklasser?
Exempel på ekvivalensklass
Egenskaper för ekvivalensklasser
Ekvivalensklasser och partition

Vad är ekvivalensklasser?

En ekvivalensklass är namnet som vi ger till delmängden av S som inkluderar alla element som är ekvivalenta med varandra. Ekvivalent är beroende av en specificerad relation, kallad en ekvivalensrelation. Om det finns en ekvivalensrelation mellan två element kallas de ekvivalenta.

Ekvivalensklassdefinition

Givet en ekvivalensrelation på en mängd S, är en ekvivalensklass med avseende på ett element a i S mängden av alla element i S som är relaterade till a, dvs.

[a] ELLER x är relaterat till a

Betrakta till exempel mängden heltal ℤ och ekvivalensrelationen definierad av kongruensmodulo n. Två heltal a och b anses vara ekvivalenta (betecknas som (a ≡ b mod(n) om de har samma återstod när de divideras med n. I detta fall är ekvivalensklassen för ett heltal a mängden av alla heltal som har samma återstod som a dividerat med n.

round robin schemaläggning

Vad är ekvivalensrelation?

Varje relation R sägs vara ekvivalensförverkligande om och endast om den uppfyller följande tre villkor:

Reflexivitet: För varje element a är a relaterat till sig självt.
Symmetri: Om a är relaterat till b så är b relaterat till a.
Transitivitet: Om a är relaterat till b, och b är relaterat till c, så är a relaterat till c.

Läs mer om Ekvivalensförhållande .

Några exempel på ekvivalensrelationer är:

Jämlikhet på ett set: Låt X vara vilken mängd som helst och definiera en relation R på X så att a R b om och endast om a = b för a, b ϵ X.

Reflexivitet: För varje a ϵ X, a = a (trivialt sant).
Symmetri: Om a = b, då är b = a (trivialt sant).
Transitivitet: Om a = b och b = c, så är a = c (trivialt sant).

Kongruens modulo n: Låt n vara ett positivt heltal och definiera en relation R på heltal ℤ så att a R b om och endast om a – b är delbart med n.

Reflexivitet: För varje a ϵ ℤ, a – a = 0 är delbart med n.
Symmetri: Om a – b är delbart med n, så är -(a – b) = b – a också delbart med n.
Transitivitet: Om a – b är delbart med n och b – c är delbart med n, så är a – c också delbart med n.

Exempel på ekvivalensklass

Det välkända exemplet på en ekvivalensrelation är lika med (=)-relationen. Med andra ord är två element i den givna mängden ekvivalenta med varandra om de tillhör samma ekvivalensklass. Ekvivalenssambanden kan förklaras i termer av följande exempel:

Ekvivalensrelation på heltal

Ekvivalensförhållande: Kongruens modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

Ekvivalensklass 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
Ekvivalensklass 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
Ekvivalensklass 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
Ekvivalensklass 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
Ekvivalensklass 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Ekvivalensrelation på reella tal

Ekvivalensförhållande: Absolut skillnad (a ~ b om |a – b| <1)

Ekvivalensklass 0: [0] = (-0,5, 0,5)
Ekvivalensklass 1: [1] = (0,5, 1,5)
Ekvivalensklass 2: [2] = (1,5, 2,5)
Ekvivalensklass 3: [3] = (2,5, 3,5)

Läs mer,

Riktiga nummer
Heltal
Rationella nummer

Egenskaper för ekvivalensklasser

Egenskaperna för ekvivalensklasser är:

Varje element tillhör exakt en ekvivalensklass.
Ekvivalensklasser är osammanhängande, dvs. skärningspunkten mellan två valfria ekvivalensklasser är noll.
Föreningen av alla ekvivalensklasser är den ursprungliga uppsättningen.
Två element är likvärdiga om och endast om deras ekvivalensklasser är lika.

Läs mer,

Union of Sets
Skärning av uppsättningar
Osammanhängande uppsättningar

Ekvivalensklasser och partition

Grupper av element i en uppsättning relaterade till en ekvivalensrelation, medan en samling av dessa ekvivalensklasser som täcker hela uppsättningen utan överlappningar kallas partition.

Skillnad mellan Equilavalence Classes och Partition

Den viktigaste skillnaden mellan ekvilavalensklasser och partition ges i följande tabell:

Funktion	Ekvivalensklasser	Skiljeväggar
Definition	Uppsättningar av element som anses likvärdiga under en relation.	En samling icke-tomma, parvis osammanhängande delmängder så att deras förening är hela uppsättningen.
Notation	Om A är en ekvivalensklass, betecknas den ofta som [ a ] eller [a] R , var a är ett representativt inslag och R är ekvivalensrelationen.	En partition av en uppsättning X betecknas som { B ₁, B ₂,…, B _n }, var B _i är de disjunkta delmängderna i partitionen.
Relation	Ekvivalensklasser bildar en partition av den underliggande mängden.	En partition kan eller inte kan uppstå från en ekvivalensrelation.
Kardinalitet	Ekvivalensklasser kan ha olika kardinaliteter.	Alla delmängder i partitionen har samma kardinalitet.
Exempel	Tänk på att mängden heltal och ekvivalensrelationen har samma återstod när de divideras med 5. java samlingar Ekvivalensklasser är {...,−5,0,5,...}, {...,−5,0,5,...}, {...,−4,1,6,...} och {...,−4,1 ,6,...} osv.	Betrakta uppsättningen heltal som är uppdelad i jämna och udda tal: {...,−4,−2,0,2,4,...} och {...,−3,−1,1,3,5,...}.
Skärningspunkten mellan klasser	Ekvivalensklasser är antingen osammanhängande eller identiska.	Partitioner består av disjunkta delmängder.

Lösta exempel på ekvivalensklass

Exempel 1: Bevisa att relationen R är en ekvivalenstyp i mängden P= { 3, 4, 5,6 } som ges av relationen R = (p, q):.

Lösning:

Given: R = (p, q):. Där p, q tillhör P.

Reflexiv egendom

Från den angivna relationen |p – p| = | 0 |=0.

Och 0 är alltid jämnt.

Därför |p – p| är jämnt.

Därför hänför sig (p, p) till R

Så R är Reflexiv.

Symmetrisk egenskap

Från den givna relationen |p – q| = |q – p|.

Vi vet att |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|

Därför |p – q| är jämnt.

Nästa |q – p| är också jämnt.

Följaktligen, om (p, q) ∈ R, så tillhör (q, p) också R.

Därför är R symmetrisk.

Transitiv egendom

Om |p – q| är jämn, då (p-q) är jämn.

På liknande sätt, om |q-r| är jämnt, då (q-r) är också jämnt.

Summeringen av jämna tal är för jämn.

Så vi kan adressera det som p – q+ q-r är jämnt.

Därefter är p – r jämnare.

Följaktligen,

|p – q| och |q-r| är jämnt, då |p – r| är jämnt.

Följaktligen, om (p, q) ∈ R och (q, r) ∈ R, så hänvisar (p, r) också till R.

Därför är R transitiv.

Exempel 2: Betrakta A = {2, 3, 4, 5} och R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Lösning:

Givet: A = {2, 3, 4, 5} och

Relation R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.

För att R ska vara ekvivalensrelation måste R uppfylla tre egenskaper, dvs. Reflexiv, Symmetrisk och Transitiv.

Reflexiv : Relation R är reflexiv eftersom (5, 5), (2, 2), (3, 3) och (4, 4) ∈ R.

Symmetrisk : Relationen R är symmetrisk som närhelst (a, b) ∈ R, (b, a) också relaterar till R, dvs (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Transitiv : Relation R är transitiv som när (a, b) och (b, c) hänför sig till R, (a, c) också hänför sig till R, dvs. (3, 5) ∈ R och (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

Följaktligen är R reflexiv, symmetrisk och transitiv.

Så R är en ekvivalensrelation.

Öva problem på ekvivalensklass

Problem 1: aRb om a+b är jämnt. Bestäm om det är en ekvivalensrelation och dess egenskaper.

Problem 2: xSy om x och y har samma födelsemånad. Analysera om det är en ekvivalensrelation.

Problem 3: Betrakta A = {2, 3, 4, 5} och R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) ), (4, 2), (4, 4)}. Bekräfta att R är en ekvivalenstyp av relation.

Problem 4: Bevisa att relationen R är en ekvivalenstyp i mängden P= { 3, 4, 5,6 } som ges av relationen R = är jämn .

Ekvivalensklass: Vanliga frågor

1. Vad är ekvivalensklassen?

En ekvivalensklass är en delmängd inom en mängd, bildad genom att gruppera alla element som är ekvivalenta med varandra under en given ekvivalensrelation. Den representerar alla medlemmar som anses lika av den relationen.

2. Vad är symbolen för ekvivalensklass?

Symbolen för en ekvivalensklass skrivs vanligtvis som [a], där a är ett representativt element i klassen. Denna notation betecknar mängden av alla element som motsvarar en under en specifik ekvivalensrelation.

3. Hur hittar du ekvivalensklassen för en uppsättning?

Följ dessa steg för att hitta ekvivalensklassen för en uppsättning:

Steg 1: Definiera en ekvivalensrelation.

Steg 2: Välj ett element från Set.
listar java

Steg 3: Identifiera ekvivalenta element till de valda elementen.

Steg 4: Bilda ekvivalensklassen som innehåller alla element som motsvarar det valda elementet.

4. Vad är skillnaden mellan ekvivalensklass och partition?

Ekvivalensklasser är delmängder som bildas av en ekvivalensrelation, medan partitioner är icke-överlappande delmängder som täcker hela uppsättningen. Varje ekvivalensklass är en delmängd i en partition, men inte varje partition uppstår från en ekvivalensrelation.

5. Vad är en ekvivalensrelation?

En relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv, som delar upp en mängd i disjunkta delmängder.