Trianglar är tresidiga slutna polygoner som bildas av skärningen av tre linjer. Det möter man mycket i vardagen. Det är en av geometrins grundläggande former. Den har tre sidor, tre vinklar och tre hörn. En rätvinklig triangel är en där en av vinklarna alltid är lika med 90°. Pythagoras sats härleds för rätvinkliga trianglar, Vilket anger att kvadraten på hypotenusan (den längsta sidan) är lika med summan av kvadraterna av bas och vinkelrät.

Med tanke på längden på minst två sidor av en rätvinklig triangel kan vi hitta värdet på vilken vinkel som helst i den rätvinkliga triangeln. För detta använder vi olika trigonometriska funktioner som sinus, cosinus, tangens, cotangens, sek och cosec. Dessa hjälper oss att relatera vinklarna i en rätvinklig triangel med dess sidor.

Egenskaper

• Det finns en rätvinklig vertex bland de tre hörnen
• Den sida som är motsatt den rätvinkliga vertexen kallas hypotenusa .
• Längden på sidorna följer Pythagoras sats, som säger

hypotenusa ² = bas ² + höjd ²

• Hypotenusan är den längsta sidan av en rätvinklig triangel.
• De andra vinklarna än den räta vinkeln är spetsiga vinklar eftersom värdet är mindre än 90^O

Trigonometriska funktioner

ABC är en rätvinklig triangel med ∠B som rät vinkel

strängarray i c-språk

• cosθ: Detta ger förhållandet mellan basen med hypotenusan i en rätvinklig triangel.

cosθ = bas / hypotenusa

• sinθ: Detta ger förhållandet mellan höjden med hypotenusan för en rätvinklig triangel.

sinθ = höjd / hypotenusa

• tanθ: Det är förhållandet mellan höjden och basen av en rätvinklig triangel.

tanθ = höjd/bas

• barnsängθ: Det är inversen av tanθ
• sekθ: Det är inversen av cosθ
• cosecθ: Det är inversen av sinθ

För att hitta vinklarna för en rätvinklig triangel kan vi ta den trigonometriska inversen av förhållandet mellan givna sidor i triangeln.

Exempel:

Om sinθ = x, då kan vi skriva

θ = synd ^-1 x.

Detta returnerar vinkeln för vilken vinkelns sinusvärde är x.

På samma sätt finns det cos^-1θ, alltså^-1jag, spjälsäng^-1θ, sek^-1θ och cosec^-1i

Exempel på problem

Fråga 1. Givet en rätvinklig triangel, med basen lika med 10 cm och hypotenusan lika med 20 cm. Hitta värdet på basvinkeln.

Lösning:

Givet, bas = 10 cm

Hypotenus = 20 cm

Låt, värdet på basvinkeln vara θ. Vi kan skriva

cosθ = bas / hypotenusa = 10/20 = 1/2

θ = cos^-1(1/2) = 60^O

Således är värdet på basvinkeln 60 ^O .

Fråga 2. Hitta värdet på vinklarna i en rätvinklig triangel, givet att en av de spetsiga vinklarna är dubbelt så stor som den andra.

Lösning:

Eftersom vi vet att summan av alla tre vinklarna i en triangel är 180^O.

Eftersom en av vinklarna är 90^Ooch en av de spetsiga vinklarna är två gånger den andra, kan vi betrakta dem som θ och 2θ.

Så vi kan skriva

90^O+ θ + 2θ = 180^O

3θ = 180^O– 90^O

3θ = 90^O

θ = 90^O/3 = 30 ^O

2θ = 2 × 30^O= 60 ^O

Så, vinklarna är 30 ^O , 60 ^O , och 90 ^O .

Fråga 3. Hitta värdet på höjdvinkeln för en stege med längden 5m, givet att stegens bas är på ett avstånd av 3m från väggen.

Lösning:

Eftersom stegen fungerar som en hypotenusa av en rätvinklig triangel och basavståndet är lika med 3m, kan vi skriva

Hypotenus = 5m

Bas = 3m

Låt höjdvinkeln vara θ. Så vi kan skriva

cosθ = Bas / Hypotenus = 3/5

θ = cos^-1(3/5)

θ = 53^O

Således är värdet på höjdvinkeln 53^O.

Fråga 4. Hitta värdet på hypotenusan, givet att höjden är 8m och basvinkeln är lika med 30 ^O .

Lösning:

Givet är basvinkeln lika med 30^Ooch höjden är lika med 8m, kan vi använda sinusfunktionen för att hitta längden på hypotenusan.

synd30 ^O = höjd / hypotenusa

hypotenusa = höjd / sin30^O

Eftersom värdet av sin30^Oär lika med 1/2 kan vi skriva

hypotenusa = höjd / (1/2) = 2 × höjd

Således hypotenusa = 2 × 8 = 16m

Således är längden på hypotenusan lika med 16m.