Integral av Cot x är ln |sin x| + C . Cot x är en av de trigonometriska funktionerna som är förhållandet mellan cosinus och sinus. Integralen av cot x representeras matematiskt som ∫cot x dx = ln |sinx| + C.

I den här artikeln kommer vi att utforska integralen av cot x, integralen av cot x formel, härledningen av integralen av cot x, definitiv integral av cot x tillsammans med några exempel baserade på integralen av cot x.

Vad är Integral av Cot x?

Integralen av spjälsäng x är ln |sin x| +C . Det betecknas matematiskt som ∫säng x dx = ln |sin x| +C . De omfattande av cot x betyder att hitta antiderivatan av cot x. Processen att hitta anti-derivatan av en funktion kallas integration . Resultatet av integrationen kallas integral. Följaktligen är antiderivatan av cot x ln |sin x| +C.

Läs i detalj:

• Kalkyl i matematik
• Integralräkning

Integral av Cot x Formula

Integralen av cot x formel ges av:

∫säng x dx = ln |sin x| +C

Integral av Cot x i termer av Cosec x

Integralen av Cot x i termer av cosec x ges enligt följande:

∫säng x dx = – ln |cosec x| + C

Integral av Cot x Proof

Vi kan härleda integralen av cot x genom att använda Substitutionsmetod i integration.

Integral av Cot x genom substitutionsmetod

För att bevisa integral av cot x kommer vi att använda metoden integration genom substitution som beskrivs nedan:

Vi vet det,

barnsäng x = cos x / sin x

Att integrera båda sidor får vi,

∫säng x dx = ∫ [cos x / sin x] dx —-(1)

Låt t = sin x

Att skilja båda sidor w.r.t t, vi får

dt = cos x dx

Att sätta ovanstående värden i ekvation (1)

∫säng x dx = ∫ [1 / t] dt

∫säng x dx = ln |t| + C

Att sätta värdet på t

∫säng x dx = ln |sin x| +C

T integralen av spjälsäng x är ln |sin x| + C .

huvudmetod java

Definitiv integral av spjälsäng x dx

Integral av spjälsäng x med den övre och nedre gränsen kallas som bestämd integral av spjälsäng x. I detta tillämpar vi gränserna och utvärderar det resulterande värdet för integralen. Värdet på den bestämda integralen av barnsäng x ges nedan:

Integral av Cot x från 0 till pi/2

Värdet på integralen av barnsäng x med nedre gräns 0 och övre gräns π/2 anges nedan:

Vi vet det,

∫säng x dx = ln |sin x| +C

Om vi ​​tillämpar nedre gräns = 0 och övre gräns = π/2, får vi

∫₀^p/2spjälsäng x dx = [ln |sin x| ]₀^p/2

∫₀^p/2barnsäng x dx = ln |sin(π/2) | – |ln sin (0) |

∫₀^p/2barnsäng x dx = ln |sin(π/2) | – |ln 0|

Eftersom ln 0 inte är definierad, är den bestämda integralen ∫₀^p/2spjälsäng x dx divergerar.

Integral av Cot x från pi/4 till pi/2

Värdet på integralen av barnsäng x med nedre gräns π/4 och övre gräns π/2 anges nedan:

Vi vet det,

∫säng x dx = ln |sin x| +C

Tillämpa nedre gräns = π/4 och övre gräns = π/2

∫_p/4^p/2spjälsäng x dx = [ln |sin x| ]_p/4^p/2

⇒ ∫_p/4^p/2barnsäng x dx = ln |sin(π/2) | – |ln sin(π/4) |

⇒ ∫_p/4^p/2spjälsäng x dx = ln 1 – ln (1/√2)

⇒ ∫_p/4^p/2spjälsäng x dx = ln 1 – [ln 1 – ln √2]

⇒ ∫_p/4^p/2spjälsäng x dx = ln (√2)

Integralen av Cot x från pi/4 till pi/2 är ln (√2).

Viktiga anteckningar

Några viktiga punkter relaterade till integralen av cot x är:

• ∫säng x dx = ln |sinx| + C

• ∫säng x dx = ln |cosec x|^-1+ C [Som sinx = (cosec x)^-1]

• Den definitiva integralen av cot x divergerar när den övre gränsen är pi/2 och den nedre gränsen är 0.

• Den definitiva integralen av cot x från övre gränsen pi/2 till den nedre gränsen pi/4 utvärderas till ln (√2).

• ∫ barnsäng²x dx = – cosec x + C

Läs mer:

• Integrationsformler
• Integration av trigonometriska funktioner
• Integration av Tan x
• Integration av Cos x
• Integration av Sec x

Lösta exempel på Integral av Cot x

Exempel 1: Hitta ∫säng 6x dx

Lösning:

Vi har ∫säng 6x dx ——(1)

Låt t = 6x

Differentiera w.r.t t

dt = 6 dx

⇒ dx = dt / 6

Lägger in (1)

∫säng 6x dx = ∫säng t (dt / 6)

⇒ ∫säng 6x dx = (1 / 6) ∫säng t dt

⇒ ∫säng 6x dx = (1 / 6) [ln |sin t| + C]

⇒ ∫säng 6x dx = (1 / 6) [ln |sin (6x) | + C]

Exempel 2: Utvärdera: ∫säng x cosec ² x dx

prime ingen kod i java

Lösning:

Låt I = ∫säng x cosec²x dx —–(1)

Ta t = spjälsäng x

Differentiera w.r.t t

dt = – cosec²x dx

sätta in (1)

I = -∫t dt

⇒ I = -t²/ 2 + C (sätta värden)

⇒ I = – spjälsäng²x/2 + C

⇒ ∫säng x cosec²x dx = – spjälsäng²x/2 + C

Exempel 3: Lös ∫säng x. sek x dx

Lösning:

I = ∫säng x. sek x dx

Vi vet det,

barnsäng x = cos x / sin x och sek x = 1 / cos x

Lägger in I

I = ∫ [cos x / sin x]. [1/cos x]dx

⇒ I = ∫ [1 / sin x] dx

tecken till sträng java

⇒ I = ∫ cosec x dx

⇒ I = – ln | cosec x + spjälsäng x| + C

Exempel 4: Utvärdera ∫säng ² x dx

Lösning:

I = ∫säng²x dx

Vi vet det,

[d / dx] (cosec x) = – spjälsäng²x

spjälsäng²x = – [d / dx] (cosec x)

Lägger in I

I = ∫ – [d / dx] (cosec x) dx

Med egenskapen ∫[d / dx] f(x) dx = f(x) + C

I = – cosec x + C

Övningsfrågor om Integral of Cot x

Q1. Lös ∫säng x. cos x dx.

Q2. Utvärdera integralen ∫ [säng x / √ (6 + 16 barnsängar) ² x)] dx.

Q3. Hitta ∫ spjälsäng (4x) dx.

Q4. Utvärdera ∫ (1 + barnsäng x) / (1 – barnsäng x) dx

Integral av Cot x – Vanliga frågor

Vad är antiderivatan av cot x?

De antiderivat av spjälsäng x är ln |sin x| + C.

Hur bevisar man integralen av Cot x?

Vi kan bevisa integralen av cot x genom att tillämpa substitutionsmetoden.

Är derivatan av cot x lika med integralen av cot x?

Nej, derivatan av cot x är inte lika med integralen av cot x. Derivatan av cot x = -cosec²x medan integralen av cot x = ln |sinx| + C.

Vad är formeln för integralen av cot x?

Formeln för integralen av barnsäng x ges av:

∫säng x dx = ln |sin x| +C

Vad är v alue av bestämd integral av cot x i intervallet pi/4 till pi/2?

Värdet på den bestämda integralen av cot x i intervallet pi/4 till pi/2 är ln √2.

Vad är differentiering av spjälsäng X?

Differentieringen av cot x är -cosec²x

Vad är integralen av spjälsäng²x?

Integralen av spjälsäng²x är – cosec x + C.

Vad är integral av spjälsäng x dx?

Integralen av spjälsäng x dx är ln |sin x| + C