Integral av sin x är -cos(x) plus en konstant (C). Den representerar arean under sinuskurvan. Funktionen upprepas var 2π radian på grund av dess periodiska karaktär. Den här artikeln förklarar sinusfunktionens integral och visar dess formel, bevis och tillämpning för att hitta specifika bestämda integraler. Vidare nämns lösta problem och vanliga frågor.
Innehållsförteckning
- Vad är integral av Sin x?
- Integral av Sin x Formula
- Grafisk betydelse av integralen av Sin x
- Integral av Sin x Bevis genom substitutionsmetod
- Definitiv integral av Sin x
- Integral av Sin x Från 0 till π
- Integral av Sin x Från 0 till π/2
Vad är integral av Sin x?
Integralen av sin(x) för x är -cos(x) plus en konstant (C). Det betyder att när du differentierar -cos(x) med avseende på x får du sin(x). Integreringskonstanten (C) representerar varje ytterligare konstant värde som kan finnas i den ursprungliga funktionen.
Integralen av sin x betecknar fysiskt det område som täcks under sinuskurvan.
Lära sig,
java är instans av
- Kalkyl i matematik
- Integration i matte
Integral av Sin x Formula
Sinusfunktionens integral, ∫ sin(x) dx, är lika med -cos(x) + C, där C är integrationskonstanten.
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
Här är cos(x) cosinusfunktionen, och C representerar konstanten som adderas till antiderivatan, eftersom derivatan av en konstant är noll.
Grafisk betydelse av integralen av Sin x
Integralen av sin(x) från (a) till (b) har grafisk betydelse när det gäller att beräkna arean under kurvan inom detta intervall. Låt oss utforska den grafiska betydelsen med både den definitiva integralmetoden och den geometriska metoden.
Definitiv integralmetod
Integralen av sin(x) från (a) till (b) ges av:
Detta representerar området med tecken mellan kurvan sin(x) och x-axeln från ( a ) till ( b ).
Geometrisk metod
Betrakta grafen för sin(x) från (a) till (b). Arean under kurvan kan delas in i två regioner:
- Positivt område: Regioner där sin(x) är positiv (ovanför x-axeln). Detta bidrar till det positiva området under kurvan.
- Negativt område: Regioner där sin(x) är negativ (under x-axeln). Detta bidrar till det negativa området under kurvan.
Den totala arean är den algebraiska summan av dessa positiva och negativa områden.
Exempel:
För att hitta arean under kurvan för sin(x) från ( a = 0 ) till ( b = π/2 ).
Använd den bestämda integralmetoden:
∫0p/2sin x = [-cos x]0p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1
Detta är det markerade området under kurvan.
Använd den geometriska metoden:
Grafen för sin(x) från 0 till (π/2) är en fjärdedel av en cirkel, och arean är verkligen 1.
Integrering av Sin x Proof genom substitutionsmetod
För att hitta integralen av sin(x) med hjälp av substitutionsmetoden, låt oss överväga integralen:
En vanlig ersättning för trigonometriska integraler innebär att låta u vara lika med uttrycket inuti den trigonometriska funktionen. Låt i det här fallet u = cos(x). Beräkna sedan du i termer av dx:
du/dx = -sin(x)
Lös nu för dx:
dx = -1/sin(x) du
Ersätt nu u och dx i termer av u i den ursprungliga integralen:
Integral av sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)
Förenkla uttrycket:
Integral av sin(x) dx = -∫ du
Integrera nu med avseende på dig:
Integral av sin(x) dx = -u + C
Nu, ersätt tillbaka för u, som definierades som cos(x):
Integral av sin(x) dx = -cos(x) + C
Så, med hjälp av substitutionsmetoden, har vi kommit fram till samma resultat som i beviset med derivator. Integralen för sin(x) är -cos(x) + C, där C är integrationskonstanten.
Definitiv integral av Sin x
Den bestämda integralen av sin(x) från a till b, betecknad som
∫ b a sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]
Den beräknar nettoarean under sinuskurvan mellan x = a och x = b, med hänsyn till riktningen för området över och under x-axeln.
Lära sig, Definitiv integral
Integral av Sin x Från 0 till Pi
För att hitta integralen av sin(x) från 0 till π kan vi använda antiderivatan. Antiderivatet av sin(x) är -cos(x). Genom att utvärdera denna antiderivata från 0 till π får vi:
∫0Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]
∫0Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]
Eftersom cos(π) är -1 och cos(0) är 1, förenklas uttrycket till:
∫0Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2
Så integralen av sin(x) från 0 till π är lika med 2. Detta representerar området med tecken mellan sin(x)-kurvan och x-axeln från x = 0 till x = π.
Integral av Sin x Från 0 till Pi /2
Den bestämda integralen representerar området med tecken mellan kurvan och x-axeln över det givna intervallet.
Integralen ges som:
∫0p/2sin(x) dx
Använda antiderivatan -cos(x) för att utvärdera integralen:
cos(x) |[0 till π/2]
Ersätt nu π/2 med -cos(x):
cos(π/2) – (-cos(0))
Kom ihåg att cos(π/2) = 0 och cos(0) = 1. Byt ut dessa värden:
-(0) – (-1)
Förenkla:
0 + 1 = 1
Definitiv integral av sin(x) från 0 till π/2 är lika med 1. Detta betyder att den teckenförsedda arean mellan sinuskurvan och x-axeln från x = 0 till x = π/2 är 1.
Kolla också
- Integration av Cos x
- Integration av Tan x
- Integrationsformler
Integral av Sin x – Lösta exempel
Exempel 1: Hitta integralen av sin2(x)
Lösning:
För utan2(x), kan du använda formeln som involverar cos(2x).
∫synd2(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx
Dela den i två delar:
= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx
Integralen av dx är bara x. Integralen av cos(2x) innebär att man använder sin(2x)-formeln. Det ser ut så här:
= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C
Kombinera de två resultaten och lägg till en konstant C för att ta hänsyn till eventuell potentialkonstant i den ursprungliga integralen.
(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C
Exempel 2: Hitta integralen av sinus 3 x.
Lösning:
Integral av sinus i kub med avseende på x kan skrivas som:
∫synd3x dx
Använd en trigonometrisk identitet för att förenkla:
utan3x = [1 – cos2(x)] sin(x)
∫[1 – cos2(x)] sin(x) dx
Fördela och separera villkoren:
∫[sin x – sin x. cos2(x)]dx
Integrera varje term separat:
-cos(x) + 1/3 cos3x + C
Här representerar (C) integrationskonstanten.
Exempel 3: Hitta integralen av sin x -1
Lösning:
Integralen av sin(x)-1kan uttryckas med arcsine-funktionen. Integralen ges av:
∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + C
Här är (C) integrationskonstanten.
Exempel 4: Hitta integralen av sin x 2
Lösning:
Integral av sin²(x) med avseende på x kan lösas med hjälp av en trigonometrisk identitet.
∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx
Nu, integrera varje term separat:
1/2∫(1−cos(2x))dx = 1/2(∫1dx−∫cos(2x)dx)
= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C
där (C) är integrationskonstanten.
Exempel 5: Hitta integralen av sin x -3
Lösning:
Integral av sin(x)-3med avseende på (x) involverar en trigonometrisk substitution. Så här kan du lösa det:
Låt u = sin(x), då du = cos(x)dx
Ersätt nu dessa med integralen:
∫sin(x)−3dx = ∫u−3av
Integrera nu med avseende på (u):
∫u−3du = u−2/−2 + C
Ersätt tillbaka i termer av (x) med u = sin(x):
∫sin(x)−3dx = -1/2sin2x + C
Så integralen av sin(x)-3med avseende på (x) är -1/2sin2x , där (C) är integrationskonstanten.
Exempel 6: Hitta integralen av sin invers x
Lösning:
Att hitta syndens integral-1(x) med avseende på (x), kan du använda integration av delar. Formeln för integrering av delar är:
∫udv=uv−∫vdu
u = synd-1(x) och dv = dx
Hitta nu (du) och (v):
du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx v = x
Tillämpa formeln för integration efter delar:
int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx Nu, integrera den återstående termen på höger sida. Du kan använda substitution genom att låta (t = 1 – x2), sedan (dt = -2x , dx):
int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt = √t + C
Ersätt nu tillbaka i termer av (x):
= -sqrt{1 – x^2} + C Få alltid att falla på plats:
int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C där (C) är integrationskonstanten.
Exempel 7: Hitta integralen av x sin 2x dx
Lösning:
För att hitta integralen av xsin(2x) med avseende på (x), kan du använda integration efter delar. Formeln för integrering av delar ges av:
∫udv = uv − ∫vdu
u = x och dv = sin(2x)dx
Hitta nu (du) och (v):
du = dx och v = -1/2cos(2x)
Tillämpa formeln för integration efter delar:
∫x.sin (2x) dx = −1/2.x.cos (2x) − ∫−1/2 cos(2x) dx
Nu, integrera den återstående termen på höger sida. Integralen av -1/2cos(2x) kan hittas genom att låta (u = 2x) och använda en enkel substitution:
∫−1/2cos(2x)dx = −1/4sin(2x)
Ersätt detta resultat tillbaka i den ursprungliga ekvationen:
-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C
log4jSå, integralen av xsin(2x) med avseende på (x) är -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, där (C) är integrationskonstanten.
Exempel 8: Hitta integralen av sin x cos 2x
Lösning:
För att hitta integralen av sin(x) cos(2x) med avseende på (x), kan du använda integration med delar. Formeln för integration efter delar är:
∫udv = uv − ∫vdu
u = sin(x) och dv = cos(2x)dx
Hitta nu (du) och (v):
du = cos(x) dx och v = 1/2 sin(2x)
Tillämpa formeln för integration efter delar:
∫sin(x).cos(2x)dx = 1/2sin(x)sin(2x) − ∫1/2sin(2x)cos(x)dx
Nu, integrera den återstående termen på höger sida. Du kan använda integration efter delar igen:
∫1/2sin(2x)cos(x)dx = 1/4cos(2x)cos(x) − ∫1/4cos(2x)sin(x)dx
Fortsätt processen tills integralen blir hanterbar. Efter att ha förenklat får du det slutliga resultatet:
1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C
där (C) är integrationskonstanten.
Integral of Sin x – Övningsfrågor
Q1. Hitta integralen av sinus från 0 till pi.
Q2. Beräkna integralen av sinus från -π/2 till π/2.
Q3. Hitta värdet på integralen av sinus plus cosinus med avseende på x.
Q4. Utvärdera integralen av sinus(2x) från 0 till π/3.
F5. Hitta antiderivatan av sinus(3x) med avseende på x.
F6. Beräkna integralen av sinus(2x) från π till 2π.
F7. Integrera funktionen sinus i kvadrat med avseende på x.
F8. Utvärdera integralen av sinus i kvadrat från -π/4 till π/4.
Integral of Sin x – Vanliga frågor
Vad är integral av Sin x?
Integralen av sin x är -cos x
Vad är Sin x?
Sin(x), är en trigonometrifunktion som representerar förhållandet mellan längden på sidan mitt emot en vinkel och längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel.
Vad är Range of Sin x?
Området för Sin x är [-1, 1].
Vad är integral och derivata av Sin x?
Integralen av sin x är -cos x och derivatan av si x är cos x
Vad är integral av Sin x och Cos x?
Integralen av sin x är -cos x + C och integralen för cos x är sin x
Vad är Integral of Sin 2x?
Integrationen av sin 2x är (-cos2x)/2 + c