logo

TechCodeview

Integrationsformler

Integrationsformler är de grundläggande formlerna som används för att lösa olika integralproblem. De används för att hitta integrationen av algebraiska uttryck, trigonometriska förhållanden, inversa trigonometriska funktioner och logaritmiska och exponentiella funktioner. Dessa integrationsformler är mycket användbara för att hitta integrationen av olika funktioner.

Integration är den omvända differentieringsprocessen, d.v.s. om d/dx (y) = z, då ∫zdx = y. Integration av valfri kurva ger arean under kurvan. Vi hittar integrationen med två metoder Obestämd integration och bestämbar integration. Vid obestämd integration finns det ingen gräns för integrationen, medan det vid definitiv integration finns en gräns under vilken funktionen integreras.



Låt oss lära oss om dessa integralformler, och deras klassificering, i detalj i den här artikeln.

Innehållsförteckning

Integralräkning

Integralkalkyl är en gren av kalkyl som behandlar teori och tillämpningar av integraler. Processen att hitta integraler kallas integration. Integralkalkyl hjälper till att hitta en funktions antiderivator. Antiderivatorna kallas också integraler av en funktion. Det betecknas med ∫f(x)dx. Integralkalkyl handlar om det totala värdet, såsom längder, ytor och volymer. Integralen kan användas för att hitta ungefärliga lösningar på vissa ekvationer av givna data. Integralkalkyl involverar två typer av integration:



  • Obestämd Integraler
  • Bestämda integraler

Vad är integrationsformler?

Integrationsformlerna har i stort sett presenterats som följande uppsättningar av formler. Formlerna inkluderar grundläggande integrationsformler, integration av trigonometriska förhållanden, inversa trigonometriska funktioner, produkten av funktioner och några avancerade uppsättningar av integrationsformler. Integration är ett sätt att förena delarna för att hitta en helhet. Det är den omvända operationen av differentiering. Sålunda är den grundläggande integrationsformeln

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrationsformler



Med hjälp av detta härleds följande integrationsformler.

De olika integralkalkylformlerna är

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logDet är|x| + C
  4. ∫exdx = ex+ C
  5. ∫axdx = (ax/loggDet ära) + C

Mer, integralformler diskuteras nedan i artikeln,

Notera:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k. f(x) dx = k ∫f(x) dx , där k är konstant
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Grundläggande integrationsformler

Några av de grundläggande formlerna för integration som används för att lösa integrationsproblem diskuteras nedan. De härleds av det grundläggande integrationssatsen. Listan över grundläggande integralformler ges nedan:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ ochxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ ochx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {där, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klassificering av integralformler

Integralformler klassificeras i olika kategorier baserat på följande funktion.

  • Rationella funktioner
  • Irrationella funktioner
  • Hyperboliska funktioner
  • Inversa hyperboliska funktioner
  • Trigonometriska funktioner
  • Omvända trigonometriska funktioner
  • Exponentialfunktioner
  • Logaritmiska funktioner

Integrationsformler för trigonometriska funktioner

Integrationsformler för trigonometriska funktioner används för att lösa integralekvationer som involverar trigonometriska funktioner. En lista över integralformler som involverar trigonometriska och inversa trigonometriska funktioner ges nedan,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sek2x dx = tan x + C
  • ∫ cosec2x dx = -säng x + C
  • ∫ sek x tan x dx = sek x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sek x| +C
  • ∫ barnsäng x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sek x dx = log |sek x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – cosec x| + C

Integrationsformler för inversa trigonometriska funktioner

Olika integrationsformler för inversa trigonometriska funktioner som används för att lösa integralfrågor ges nedan,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = sin-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = brun-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = spjälsäng-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sek-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x + C

Avancerade integrationsformler

Några andra avancerade integrationsformler som är av stor betydelse för att lösa integraler diskuteras nedan,

  • ∫1/(x2– a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2– x2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a brun-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– a2)dx = log |x +√(x2– a2)| + C
  • ∫ √(x2– a2) dx = x/2 √(x2– a2) -a2/2 log |x + √(x2– a2)| + C
  • ∫1/√(a2– x2) dx = sin-1x/a + C
  • ∫√(a2– x2) dx = x/2 √(a2– x2) dx + a2/2 utan-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √(x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Olika integrationsformler

Olika typer av integrationsmetoder används för att lösa olika typer av integralfrågor. Varje metod är ett standardresultat och kan betraktas som en formel. Några av de viktiga metoderna diskuteras nedan i den här artikeln. Låt oss kontrollera de tre viktiga integrationsmetoderna.

  • Integration av Parts Formula
  • Integration genom substitutionsformel
  • Integration av partiella bråkformel

Integration av Parts Formula

Integrering av delar Formel används när den givna funktionen lätt kan beskrivas som produkten av två funktioner. Formeln för integration av delar som används i matematik ges nedan,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Exempel: Beräkna ∫ xe x dx

Lösning:

∫ bilxdx har formen ∫ f(x) g(x) dx

låt f(x) = x och g(x) = ex

vi vet att, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ bilxdx = x ∫exdx – ∫( 1 ∫exdx) dx+ c

= bilx- Det ärx+ c

Integration genom substitutionsformel

Integration genom substitutionsformel tillämpas när en funktion är en funktion av en annan funktion. d.v.s. låt I = ∫ f(x) dx, där x = g(t) så att dx/dt = g'(t), då dx = g'(t)dt

Nu, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Exempel: Utvärdera ∫ (4x +3) 3 dx

Lösning:

Låt u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

slumpmässig ordning sql

= 1/4 ∫(u)3av

= 1/4. i4/5

= u4/tjugo

= 4x+3)4/tjugo

Integration av partiella bråkformel

Integrering med partiella bråk Formel används när integralen av P(x)/Q(x) krävs och P(x)/Q(x) är en oegentlig bråkdel, så att graden av P(x) är mindre än (<) grad av Q(x), då skrivs bråkdelen P(x)/Q(x) som

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

var

  • R(x) är ett polynom i x
  • P 1 (x)/ Q(x) är en riktig rationell funktion

Nu integrationen av R(x) + P1(x)/Q(x) beräknas lätt med formlerna som diskuterats ovan.

Tillämpning av integraler

Integralformler är mycket användbara formler i matematik som används för en mängd olika uppgifter. Olika tillämpningar av integraler inkluderar:

  • Hitta längden på kurvan
  • Hitta området under kurvan
  • Hitta ungefärliga värden för funktionen
  • Bestämma vägen för ett objekt och andra
  • För att hitta området under kurvan
  • För att hitta ytan och volymen av oregelbundna former
  • För att hitta massacentrum eller tyngdpunkt

Dessa formler är i princip indelade i två kategorier,

  • Definitiva integrationsformler
  • Formler för obestämd integration

Definitiv integrationsformel

Definitiva integralformler används när gränsen för integrationen är given. I definitiv integration är lösningen på frågan ett konstant värde. I allmänhet löses den definitiva integrationen som,

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

Obestämd integrationsformel

Obestämd integration Formler används för att lösa den obestämda integrationen när gränsen för integration inte är given. Vid obestämd integration använder vi konstanten för integrationen som vanligtvis betecknas med C

∫f(x) = F(x) + C

  • Obestämda integraler
  • Definiera integralegenskaper
  • Integration av trigonometriska funktioner

Exempel på integralformler

Exempel 1: Utvärdera

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 x dx
  • ∫4e x dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/synd 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Lösning:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 x dx

= (3x/loggDet är3) + C [ ∫a x dx = (a x /logg Det är a) + C]

(v) ∫4e x dx

= 4∫exdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , där k är konstant]

= 4 ochx+ C [∫e x dx = e x + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sek x dx [ ∫tan x .sec x dx = sek x + C ]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫kossek2x dx [∫kossek 2 x dx = -säng x + C ]

= -säng x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22– x2)] dx [vi vet att dx = synd -1 (x/a) + C]

= utan-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [vi vet att,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sek-1(x/a) + C]

= (1/3)sek-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [vi vet att ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – spjälsäng x| + C

Exempel 2: Utvärdera ∫{e 9 log Det är x + och 8 log Det är x }/{Det är 6logg Det är x + och 5 log Det är x } dx

Lösning:

Eftersom, Det är skakning Det är x = x a

∫{e 9 log Det är x + och 8 log Det är x }/{Det är 6logg Det är x + och 5 log Det är x } dx

= ∫{x9+ x8}/{x6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/x5dx

= ∫x3dx [vi vet att, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x4/4) + C

Exempel 3: Utvärdera ∫ sin x + cos x dx

Lösning:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [vi vet att, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [vi vet att ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Exempel 4: Utvärdera ∫4 x+2 dx

Lösning:

∫4 x+2 dx = ∫4x. 42dx

= ∫16. 4xdx [ vi visste att ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , där k är konstant]

= 16∫ 4xdx [∫a x dx = (a x /logg Det är a) + C]

= 16 (4x/log 4) + C

Exempel 5: Utvärdera ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Lösning:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Vi vet att, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Exempel 6: Utvärdera ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Lösning:

1 + cos 2x = 2cos 2 x

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 sek2xdx

= 2∫sek2x dx [Vi vet att, ∫sek 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Exempel 7: Utvärdera ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

Lösning:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sek2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, där k är konstant]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sek2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Öva problem på integrationsformler

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Vanliga frågor om integrationsformler

Vad är alla integrationsformler?

Integrationsformler är de formler som används för att lösa olika integrationsproblem,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ ochxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ ochx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {där, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Vilka är integrationsformlerna för uv?

Integrationsformeln för uv är,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Vad innebär integration i matematik?

Om derivatan av funktionen g(x) är f(x) så är integrationen av f(x) g(x) dvs ∫f(x)dx = g(x). Integration representeras av symbolen ∫

Hur integrerar vi med hjälp av integrationsformler?

Integration kan uppnås med formlerna,

  • Definiera en liten del av ett objekt i vissa dimensioner som genom att lägga till oändligt många gånger gör det hela objektet.
  • Genom att använda integrationsformler över den lilla delen längs de olika dimensionerna får vi hela objektet.

Vad är integralformeln per del?

Integralformel för del används för att lösa integralen där oegentlig bråktal ges.

Vad är användningen av integrationsformler?

Integrationsformler används för att lösa olika integralproblem. Olika problem som vi stöter på i vårt dagliga liv kan enkelt lösas med hjälp av integration, såsom att hitta massacentrum för vilket föremål som helst, hitta banan för missiler, raketer, flygplan och andra.