logo

TechCodeview

Lagrange Interpolation Formel

Lagrange Interpolation Formel hittar ett polynom som kallas Lagrangepolynom som antar vissa värden vid en godtycklig punkt. Det är en n:e examen polynomuttryck för funktionen f(x). Interpolationsmetoden används för att hitta de nya datapunkterna inom området för en diskret uppsättning kända datapunkter.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om Lagrange Interpolation, Lagrange Interpolation Formula, Proof for Lagrange Interpolation Formula, Exempel baserade på Lagrange Interpolation Formula och andra i detalj.



Vad är Lagrange Interpolation?

Lagrangeinterpolation är ett sätt att hitta värdet av en funktion vid en given punkt när funktionen inte är given. Vi använder andra punkter på funktionen för att få värdet av funktionen vid valfri önskad punkt.

Antag att vi har en funktion y = f(x) där substituering av värdena på x ger olika värden på y. Och vi får två poäng (x1, och1) och (x2, och2) på kurvan beräknas värdet av y vid x = a(konstant) med hjälp av Lagrange Interpolation Formel.

Lagrange Interpolation Formel

Givet få verkliga värden x1, x2, x3, …, xnoch y1, och2, och3, …, ochnoch det kommer att finnas ett polynom P med reella koefficienter som uppfyller villkoren P(xi) = ochi, ∀ i = {1, 2, 3, …, n} och graden av polynom P måste vara mindre än antalet reella värden, dvs. grad(P)



Lagrange Interpolation Formel för nth Order

Lagrange-interpolationsformeln för nthgradpolynom ges nedan:

Lagrange-interpolationsformel för n th ordning är,

f(x)=frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} gånger y_0+ frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} gånger y_1+...+ frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} gånger y_n



Lagrange första ordningens interpolationsformel

Om Graden av polynomet är 1, då kallas det första ordningens polynom. Lagrange-interpolationsformel för 1stordningspolynom är,

f(x)~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} gånger y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} gånger y_1

Lagrange andra ordningens interpolationsformel

Om graden av polynomet är 2 kallas det andra ordningens polynom. Lagrangeinterpolationsformel för andra ordningens polynom är,

f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} gånger y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)} {(x_1-x_0)(x_1-x_2)} gånger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} gånger y_2

Bevis på Lagrangesatsen

Låt oss överväga ett polynom av n:te graden av den givna formen,

konkat strängar java

f(x) = A0(x – x1)(x – x2)(x – x3)...(x – xn) + A1(x – x1)(x – x2)(x – x3)...(x – xn) + … + A(n-1)(x – x1)(x – x2)(x – x3)...(x – xn)

Ersätt observationer xiför att få eni

Sätt x = x0då får vi A0

f(x0) = och0= A0(x0– x1)(x0– x2)(x0– x3)...(x0– xn)

A 0 = och 0 /(x 0 – x 1 )(x 0 – x 2 )(x 0 – x 3 )...(x 0 – x n )

Genom att ersätta x = x1vi får A1

f(x1) = och1= A1(x1– x0)(x1– x2)(x1– x3)...(x1– xn)

A 1 = och 1 /(x 1 – x 0 )(x 1 – x 2 )(x 1 – x 3 )...(x 1 – x n )

På samma sätt genom att ersätta x = xnvi får An

f(xn) = ochn= An(xn– x0)(xn– x1)(xn– x2)...(xn– xn-1)

A n = och n /(x n – x 0 )(x n – x 1 )(x n – x 2 )...(x n – x n-1 )

Om vi ​​ersätter alla värden på Aii funktion f(x) där i = 1, 2, 3, …n får vi Lagrange Interpolation Formel som,

f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} gånger y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} gånger y_1+... +frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} gånger y_n

Egenskaper för Lagrange Interpolation Formula

Olika egenskaper hos Lagrange-interpolationsformeln diskuteras nedan,

  • Denna formel används för att hitta värdet på funktionen när som helst även när själva funktionen inte är given.
  • Den används även om de angivna punkterna inte är jämnt fördelade.
  • Det ger värdet av den beroende variabeln för vilken oberoende variabel som helst som tillhör vilken funktion som helst och används därför i Numeracial Analysis för att hitta funktionens värden, etc.

Användning av Lagrange Interpolation Formula

Olika användningar av Lagrange Interpolation Formel diskuteras nedan,

  • Den används för att hitta värdet på den beroende variabeln vid en viss oberoende variabel även om själva funktionen inte är given.
  • Det används i bildskalning.
  • Det används i AI-modellering.
  • Det används för att lära ut NLP, etc.

Läs mer,

  • Interpolationsformel
  • Linjär interpolationsformel

Exempel som använder Lagrange Interpolation Formel

Låt oss titta på några exempel på frågor om Lagrange Interpolation Formula.

Exempel 1: Hitta värdet på y vid x = 2 för den givna uppsättningen punkter (1, 2), (3, 4)

Lösning:

Given,

  • (x0, och0) = (1, 2)
  • (x1, och1) = (3, 4)

Första ordningens Lagrange Interpolation Formel är,

y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} gånger y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} gånger y_1

Vid x = 2

och =~frac{(2-3)}{(1-3)} gånger 2+frac{(2-1)}{(3-1)} gånger 4

y = (-2/-2) + (4/2)

y = 1 + 2 = 3

Värdet på y vid x = 2 är 3

konstruktör i java

Exempel 2: Hitta värdet på y vid x = 5 för den givna uppsättningen punkter (9, 2), (3, 10)

Lösning:

Given,

  • (x0, och0) = (9, 2)
  • (x1, och1) = (3, 10)

Första ordningens Lagrange Interpolation Formel är,

y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} gånger y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} gånger y_1

Vid x = 5

y~=~frac{(5-3)}{(9-3)} gånger 2+frac{(5-9)}{(3-9)} gånger 10

y = (4/6) + (-40/-6)

y = (2/3) + (20/3)

y = 22/3 = 7,33

Värdet på y vid x = 5 är 7,33

Exempel 3: Hitta värdet på y vid x = 1 för den givna uppsättningen av punkter (1, 6), (3, 4), (2, 5)

Lösning:

Given,

  • (x0, och0) = (1, 6)
  • (x1, och1) = (3, 4)
  • (x2, och2) = (2, 5)

Second Order Lagrange Interpolation Formel är,

y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} gånger y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} gånger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} gånger y_2

Vid x = 1

y~=~frac{(1-3)(1-2)}{(1-3)(1-2)} gånger 6+frac{(1-1)(1-2)}{( 3-1)(3-2)} gånger 4+frac{(1-1)(1-3)}{(2-1)(2-3)} gånger 5 y~=~ frac{(-2)(-1)}{(-2)(-1)} gånger 6+frac{(0)(-1)}{(2)(1)} gånger 4+frac {(0)(-2)}{(1)(-1)} gånger 5

y = (12/2) + 0 + 0

y = 6

Värdet på y vid x = 1 är 6

Exempel 4: Hitta värdet på y vid x = 10 för den givna uppsättningen av punkter (9, 6), (3, 5), (1, 12)

Lösning:

Given,

  • (x0, och0) = (9, 6)
  • (x1, och1) = (3, 5)
  • (x2, och2) = (1, 12)

Second Order Lagrange Interpolation Formel är,

y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} gånger y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} gånger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} gånger y_2

Vid x = 10

y~=~frac{(10-3)(10-1)}{(9-3)(9-1)} gånger 6+frac{(10-9)(10-1)}{( 3-9)(3-1)} gånger 5+frac{(10-9)(10-3)}{(1-9)(1-3)} gånger 12 y~=~ frac{(7)(9)}{(6)(8)} gånger 6+frac{(1)(9)}{(-6)(2)} gånger 5+frac{(1) (7)}{(-8)(-2)} gånger 12

y = (63/8) + (-15/4) + (21/4)

y = (63-30 + 42)/8

y = 75/8 = 9,375

Värdet på y vid x = 10 är 9,375

Exempel 5: Hitta värdet på y vid x = 7 för den givna uppsättningen punkter (1, 10), (2, 4), (3, 4), (5, 7)

Lösning:

Given,

  • (x0, och0) = (1, 10)
  • (x1, och1) = (2, 4)
  • (x2, och2) = (3, 4)
  • (x3, och3) = (5, 7)

Tredje ordningens Lagrange-interpolationsformel är,

y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} gånger y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} gånger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} gånger y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1) )(x_3-x_2)} gånger y_3

Vid x = 7

y~=~frac{(7-2)(7-3)(7-5)}{(1-2)(1-3)(1-5)} gånger 10+frac{(7- 1)(7-3)(7-5)}{(2-1)(2-3)(2-5)} gånger 4+frac{(7-1)(7-2)(7- 5)}{(3-1)(3-2)(3-5)} gånger 4+frac{(7-1)(7-2)(7-3)}{(5-1)( 5-2)(5-3)} gånger 7 y~=~frac{(5)(4)(2)}{(-1)(-2)(-4)} gånger 10+ frac{(6)(4)(2)}{(1)(-1)(-3)} gånger 4+frac{(6)(5)(2)}{(2)(1) (-2)} gånger 4+frac{(6)(5)(4)}{(4)(3)(2)} gånger 7

y = -50 + 64 – 60 + 35

y = 99 – 110 = -elva

Värdet på y vid x = 7 är -11

Exempel 6: Hitta värdet på y vid x = 10 för den givna uppsättningen punkter (5, 12), (6, 13), (7, 14), (8, 15)

Lösning:

Given,

  • (x0, och0) = (5, 12)
  • (x1, och1) = (6, 13)
  • (x2, och2) = (7, 14)
  • (x3, och3) = (8, 15)

Tredje ordningens Lagrange-interpolationsformel är,

y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} gånger y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} gånger y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} gånger y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1) )(x_3-x_2)} gånger y_3

Vid x = 10,

y~=~frac{(10-6)(10-7)(10-8)}{(5-6)(5-7)(5-8)} gånger 12+frac{(10- 5)(10-7)(10-8)}{(6-5)(6-7)(6-8)} gånger 13+frac{(10-5)(10-6)(10- 8)}{(7-5)(7-6)(7-8)} gånger 14+frac{(10-5)(10-6)(10-7)}{(8-5)( 8-6)(8-7)} gånger 15 y~=~frac{(4)(3)(2)}{(-1)(-2)(-3)} gånger 12+ frac{(5)(3)(2)}{(1)(-1)(-2)} gånger 13+frac{(5)(4)(2)}{(2)(1) (-1)} gånger 14+frac{(5)(4)(3)}{(3)(2)(1)} gånger 15

y = -48 + 195 – 280 + 150

y = 17

Värdet på y vid x = 10 är 17

Exempel 7: Hitta värdet på y vid x = 0 för den givna uppsättningen punkter (-2, 5),(1, 7)

Lösning:

Given,

  • (x0, och0) = (-2, 5)
  • (x1, och1) = (1, 7)

First Order Lagrange Interpolation Formel är,

y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} gånger y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} gånger y_1

Vid x = 0,

y~=~frac{(0-1)}{(-2-1)} gånger 5+frac{(0+2)}{(1+2)} gånger 7

y = (5/3) + (14/3)

y = 19/3 = 6,33

Värdet på y vid x = 0 är 6,33

Vanliga frågor om Lagrange Interpolation Formula

1. Vad är Lagrange Interpolation Formel?

Lagrange Interpolation Formula är en formel som används för att hitta värdet på funktionens beroende variabel för vilken oberoende variabel som helst även om själva funktionen inte är given.

2. Vilka är tillämpningarna av Lagrange Interpolation Formel?

Lagranges Formula har olika tillämpningar inom modern matematik och datavetenskap,

första bärbara datorn
  • Den är van vid AI-modellen Traning.
  • Det används i bildbehandling.
  • Den används i grafiska 3D-kurvor och högre, etc.

3. Vad är First Order Lagrange Interpolation Formula?

First Order Lagranges interpolationsformel är,

f(x) = (x – x 1 )/(x 0 – x 1 )×f 0 + (x – x 0 )/(x 1 – x 0 )×f 1

4. Vad är Second Order Lagrange Interpolation Formula?

Andra ordningens Lagranges interpolationsformel är,

f(x) = [(x – x 1 )(x – x 2 )/(x 0 – x 1 )(x 0 – x 2 )]×f 0 + [(x – x 0 )(x – x 2 )/(x 1 – x 0 )(x 1 – x 2 )]×f 1 + [(x – x 0 )(x – x 1 )/(x 2 – x 0 )(x 2 – x 2 )]×f 0