Lokala Maxima och Minima hänvisa till funktionernas punkter, som definierar det högsta och lägsta området för den funktionen. Funktionens derivata kan användas för att beräkna lokala maxima och lokala minima. De lokala maxima och minima kan hittas genom att använda både det första derivattestet och det andra derivattestet.

I den här artikeln kommer vi att diskutera introduktionen, definitionen och den viktiga terminologin för Local Maxima och Minima och dess betydelse. Vi kommer också att förstå de olika metoderna för att beräkna Lokala Maxima och Minima i matematik och kalkyl . Vi kommer också att lösa olika exempel och ge övningsfrågor för en bättre förståelse av begreppet i denna artikel.

Innehållsförteckning

• Vad är Local Maxima och Local Minima?
• Definition av Local Maxima och Local Minima
• Villkor relaterade till Local Maxima och Local Minima
• Hur hittar man lokala Maxima och Minima?
• Exempel på Local Maxima och Local Minima

Vad är Local Maxima och Local Minima?

Lokala Maxima och Minima hänvisas till som max- och minimivärden i ett specifikt intervall. Ett lokalt maximum inträffar när värdena för a fungera nära en specifik punkt är alltid lägre än värdena för funktionen vid samma punkt. När det gäller Local Minima är värdena för en funktion nära en specifik punkt alltid större än värdena för funktionen vid samma punkt.

I en enkel mening kallas en punkt för ett lokalt maximum när funktionen når sitt högsta värde i ett specifikt intervall, och en punkt kallas ett lokalt minimum när funktionen når sitt lägsta värde i ett specifikt intervall.

Om du till exempel går till ett kuperat område och står på toppen av en kulle, kallas den punkten för en lokal maximapunkt eftersom du är på den högsta punkten i din omgivning. På samma sätt, om du står på den lägsta punkten i en flod eller ett hav kallas den punkten en lokal minimapunkt eftersom du är på den lägsta punkten i din omgivning.

Definition av Local Maxima och Local Minima

Local Maxima och Minima är de initiala värdena för alla funktioner för att få en uppfattning om dess gränser, såsom de högsta och lägsta utdatavärdena. Local Minima och Local Maxima kallas också Local Extrema.

Lokal Maxima

En lokal maximapunkt är en punkt på vilken funktion som helst där funktionen uppnår sitt maximala värde inom ett visst intervall. En punkt (x = a) för en funktion f (a) kallas ett lokalt maximum om värdet på f(a) är större än eller lika med alla värden på f(x).

len av sträng i java

Matematiskt, f (a) ≥ f (a -h) och f (a) ≥ f (a + h) där h> 0, då kallas a för den lokala maxpunkten.

Lokalt Minima

En lokal minimapunkt är en punkt på vilken funktion som helst där funktionen uppnår sitt minimivärde inom ett visst intervall. En punkt (x = a) för en funktion f (a) kallas ett lokalt minimum om värdet på f(a) är mindre än eller lika med alla värden på f(x).

Matematiskt, f (a) ≤ f (a -h) och f (a) ≤ f (a + h) där h> 0, då kallas a för den lokala minimipunkten.

Villkor relaterade till Local Maxima och Local Minima

Viktig terminologi relaterad till Local Maxima och Minima diskuteras nedan:

Maximalt värde

Om någon funktion ger det maximala utgångsvärdet för ingångsvärdet på x. Det värdet på x kallas maximalt värde. Om det är definierat inom ett specifikt intervall. Då kallas den punkten Lokal Maxima .

Absolut max

Om någon funktion ger det maximala utgångsvärdet för ingångsvärdet för x längs hela intervallet för funktionen. Det värdet på x kallas Absolut Maximum.

Lägsta värde

Om någon funktion ger det lägsta utgångsvärdet för ingångsvärdet för x. Det värdet på x kallas minimivärde. Om det är definierat inom ett specifikt intervall. Då kallas den punkten Lokalt Minima .

Absolut minimum

Om någon funktion ger det lägsta utgångsvärdet för ingångsvärdet för x längs hela funktionens område. Det värdet på x kallas absolut minimum.

Point of Inversion

Om värdet på x inom intervallet för en given funktion inte visar den högsta och lägsta uteffekten, kallas det Point of Inversion.

Lär dig mer, Absolut Maxima och Minima

Hur hittar man lokala Maxima och Minima?

De lokala maxima och minima bestäms endast för ett specifikt område, det är inte max och minimum för hela funktionen och gäller inte för hela intervallet för funktionen.

Det finns följande tillvägagångssätt för att beräkna lokala maxima och minima. Dessa är:

• I första steget tar vi derivatan av funktion.

• I det andra steget sätter vi derivatan lika med noll och beräknar de kritiska punkterna för c.

• I det tredje steget använder vi Första derivatan och Andra derivattest för att bestämma de lokala maxima och lokala minima.

Vad är First Derivative Test?

Först tar vi förstaderivatan av en funktion som ger funktionens lutning. När vi kommer närmare en maxpunkt ökar lutningen på funktionen, blir sedan noll vid maxpunkten och minskar efter det när vi går bort från den.

På liknande sätt i minimipunkten, när vi kommer närmare en minimipunkt, minskar kurvans lutning, blir sedan noll vid minimipunkten och ökar efter det när vi går bort från den punkten.

Låt oss ta en funktion f(x), som är kontinuerlig i den kritiska punkten c, i ett öppet intervall I, och f'(c) = 0, betyder lutning i den kritiska punkten c = 0.

För att kontrollera arten av f'(x) runt den kritiska punkten c, har vi följande villkor för att bestämma värdet på lokalt maximum och minimum från det första derivattestet. Dessa villkor är:

• Om f ′(x) ändrar tecken från positivt till negativt när x ökar via c, så visar f(c) det högsta värdet för den funktionen i det givna området. Därför är punkt c en lokal maximapunkt, om den första derivatan f '(x)> 0 vid någon punkt tillräckligt nära till vänster om c och f '(x) <0 vid vilken punkt som helst tillräckligt nära till höger om c.

• Om f ′(x) ändrar tecken från negativt till positivt när x ökar via c, så visar f(c) det lägsta värdet för den funktionen i det givna området. Därför är punkt c en lokal minimapunkt, om den första derivatan f '(x) 0 vid någon punkt tillräckligt nära till höger om c.

• Om f'(x) inte ändrar tecknet signifikant när x ökar via c, visar punkten c inte det högsta (Local Maxima) och lägsta (Local Minima) värdet för funktionen. I så fall är punkt c kallas Böjningspunkt.

Läs mer om Första derivattestet .

Vad är Second Derivative Test?

Det andra derivattestet används för att ta reda på värdet av absolut maximum och absolut minimum för alla funktioner inom ett specifikt intervall. Låt oss ta en funktion f(x), som är kontinuerlig i den kritiska punkten c, i ett öppet intervall I, och f'(c) = 0, betyder lutning i den kritiska punkten c = 0. Här tar vi andraderivatan f (x) av funktionen f(x) som ger lutningen för funktionen.

För att kontrollera arten av f'(x) har vi följande villkor för att bestämma värdet på lokalt maximum och minimum från det andra derivattestet. Dessa villkor är:

• Punkt c är en lokal maximapunkt, om den första derivatan f'(c) = 0, och den andra derivatan f(c) <0. Punkten vid x= c kommer att vara det lokala maxima och f(c) kommer att vara det lokala maxvärdet på f(x).

• Punkt c är en lokal minimapunkt, om den första derivatan f'(c) = 0, och f(c) den andra derivatan> 0. Punkten vid x= c kommer att vara det lokala minima och f(c) kommer att vara Lokalt lägsta värde på f(x).

• Testet misslyckas, om den första derivatan f'(c) = 0, och den andra derivatan f(c) = 0, visar punkten c inte det högsta (Local Maxima) och lägsta (Local Minima) värdet för funktionen , I sådana fall kallas punkt c Böjningspunkt och punkten x = c kallas för Böjningspunkt.

Kolla också

• Tillämpning av derivat
• Relativ Maxima och Minima
• Differentierings- och integrationsformel

Exempel på Local Maxima och Local Minima

Exempel 1: Analysera de lokala maxima och lokala minima för funktionen f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 genom att använda det första derivattestet.

Lösning:

Given funktion är f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Första derivatan av funktion är f'(x) = 6x²– 6x – 12, kommer den att använda för att ta reda på de kritiska punkterna.

För att hitta den kritiska punkten, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Därför är kritiska punkter x = -1 och x = 2.

Analysera den första derivatans omedelbara punkt till den kritiska punkten x = -1. Poängen är {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 och f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Tecknet för derivata är positivt till vänster om x = -1 och är negativt till höger. Därför indikerar det att x = -1 är det lokala maxima.

Låt oss nu analysera den första derivatans omedelbara punkt till den kritiska punkten x = 2. Punkterna är {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 och f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

prova datastruktur

Derivatetecknet är negativt till vänster om x = 2 och är positivt till höger. Därför indikerar det att x = 2 är det lokala minima.

Därför är det lokala maxima -1 och det lokala minima är 2.

Exempel 2: Analysera de lokala maxima och lokala minima för funktionen f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 genom att använda det andra derivattestet.

Lösning:

Given funktion är f(x) = -x³+6x²-12x +10

Första derivatan av funktion är f'(x) = -x³+6x²-12x +10, kommer den att använda för att ta reda på de kritiska punkterna.

För att hitta den kritiska punkten, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Därför är de kritiska punkterna x = 1 och x = 3

Ta nu en andraderivata av funktion,

f(x) = 6x – 12

Utvärdera f(x) vid kritisk punkt x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, och därför motsvarar x = 1 Local Maxima.

Utvärdera f(x) vid den kritiska punkten x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, och därför motsvarar x = 3 Local Minima.

Nu kommer vi att beräkna funktionsvärdena vid de kritiska punkterna:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, Därför är det lokala maximumet vid (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, Därför är det lokala maximumet vid (3, 1)

Övningsfrågor om lokala minima och maxima

Q1. Hitta Local Maxima och Local Minima för funktionen f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 genom att använda det andra derivattestet.

window.open javascript

Q2. Hitta och analysera de lokala maxima och lokala minima för funktionen f(x) = – x²+4x -5 genom att använda det andra derivattestet.

Q3. Hitta Local Maxima och Local Minima för funktionen f(x) = x²-4x +5 genom att använda det första derivattestet.

Q4. Hitta och analysera de lokala maxima och lokala minima för funktionen f(x) = 3x²-12x +5 genom att använda det första derivattestet.

F5. Hitta och analysera de lokala maxima och lokala minima för funktionen f(x) = x³– 6x²+9x + 15 genom att använda det första derivattestet.

F6. Hitta och analysera de lokala maxima och lokala minima för funktionen f(x) = 2x³-9x²+12x +5 genom att använda det andra derivattestet.

Local Maxima och Local Minima – Vanliga frågor

Vad är Local Maxima?

En punkt kallas ett Local Maxima när funktionen når sitt högsta värde i ett specifikt intervall.

Hur hittar du det lokala maximumet?

Genom att differentiera funktionen och hitta det kritiska värdet vid vilket lutningen är noll kan vi hitta det lokala maximumet.

Vad är Local Minima?

En punkt kallas ett lokalt minima när funktionen når sitt lägsta värde i ett specifikt intervall.

Vilka metoder kan du använda för att beräkna lokala maxima och lokala minima?

Första derivattest och andra derivattest.

Vad är skillnaden mellan första derivattest och andra derivattest?

Första derivattestet är den ungefärliga metoden för att beräkna värdet av lLcal maxima och Local minima och Second derivative test är den systematiska och korrekta metoden för att beräkna värdet av Local maxima och Local minima.

Vad är innebörden av Point of Inversion?

Om värdet på en punkt inom intervallet för en given funktion inte visar den högsta och lägsta uteffekten, kallas den punkten Inversionspunkten.

Vad är användningen av lokala maxima och lokala minima?

För att ta reda på extremvärdet för en funktion inom ett visst område.