A Fungera i matematik är en speciell relation mellan uppsättningen ingångsvärden och uppsättningen utdatavärden. I Funktion ger varje ingångsvärde ett speciellt utdatavärde. Vi representerar en funktion i matematik som, y = f(x) där x är ingångsvärdet och för varje x vi får ett utdatavärde som y.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om, funktioner i matematik, deras olika typer, exempel och andra i detalj.

Innehållsförteckning

• Vad är en funktion i matematik?
• Funktionsdefinition i matematik
• Exempel på funktioner
• Villkor för en funktion
• Representation av funktioner i matematik
• Identifiering av funktion
• Typer av funktioner
• Vad är en funktion i algebra?
• Domän och räckvidd för en funktion
• Sammansättning av funktioner
• Algebra av funktioner
• Vad är en funktion på en graf?
• Grafiska funktioner
• Vanliga funktioner
• Tillämpningar av funktioner
• Exempel på funktion
• Öva problem om vad som är en funktion

Vad är en funktion i matematik?

En funktion i matematik är en relation mellan ingångsvärdena (domän) och utdatavärdena (omfång) för de givna uppsättningarna så att inga två variabler från domänuppsättningarna är kopplade till samma variabel i avståndsuppsättningen. Ett enkelt exempel på en funktion i matematik är f(x) = 2x, som definieras på R→R, här är vilken variabel som helst i domänen relaterad till endast en variabel i intervallet.

En funktion i matematik har en domän, kodomän och omfång. Domänen är mängden av alla möjliga värden på x och intervallet för funktionen är mängden av alla utdatavärden för y. Området är delmängden av kodomän för en funktion. Vi kan också säga att en funktion i matematik är en relation med en unik utdata och inget två ingångsvärde har liknande utdata i en funktion som är fallet för relation.

Funktionsdefinition i matematik

Funktion är en speciell relation eller metod som kopplar varje medlem av mängd A till en unik medlem av mängd B via en definierad relation. Uppsättning A kallas domänen och uppsättning B kallas samdomän för funktionen. En funktion i matematik från mängd A till mängd B definieras som,

f = ∀ a ∈ A, b ∈ B

Varje funktion är en relation men varje relation är inte en funktion. Kriterierna för att varje relation ska betraktas som en funktion eftersom varje element i mängd A endast har en bild i uppsättning B medan ett element i uppsättning A i relation kan ha mer än en bild i uppsättning B.

Vi definierar en funktion i matematik från icke-tom mängd A till icke-tom mängd B så att,

(a, b) ∈ f, då f(a) = b

där vi ringde b som bilden av a definieras under relationen f .

Varje element 'a' av uppsättning A har en unik bild b ’ i uppsättning B är det en funktion.

Exempel på funktioner

En funktion i matematik f definieras som, y = f(x) där x är ingångsvärdet, och för varje ingångsvärde på x får vi ett unikt värde på y. Olika exempel på funktionerna i matematik definierade på R→R är,

• y = f(x) = 3x + 4
• y = f(x) = sin x + 3
• y = f(x) = -3x²+3 osv

Villkor för en funktion

För två icke-tomma uppsättningar A och B, en funktion f: A→B betecknar det f är en funktion från A till B, där A är en domän och B är en samdomän.

För varje element, a ∈ A, ett unikt element, b ∈ B finns det så att (a,b) ∈ f. Det unika elementet b som är relaterat till a betecknas med f(a) och läses som f av a. Detta kan bättre förstås från bilden nedan:

Vertikal linjetest

Vertikal linjetest används för att avgöra om en kurva är en funktion eller inte. Om någon kurva skär en vertikal linje vid mer än en punkt är kurvan inte en funktion.

Representation av funktioner i matematik

Vi representerar en funktion i matematik som,

y = f(x) = x + 3

Här är uppsättningen av värden för x domänen för funktionen och uppsättningen av utgående värden för y är co-domänen för funktionen. Här är funktionen definierad för alla reella tal då den ger ett unikt värde för varje x men det är inte alltid möjligt att få utdata för varje värde på x i så fall vi definierar funktionen i två delar, detta kan förstås som

• f(x) = 1/(x – 2), där x ≠ 2
• f(x) = x²där x ∈ {R}

Vi kan definiera en funktion i matematik som en maskin som tar lite input och ger en unik utdata. Funktionen f(x) = x²definieras nedan som,

Vi kan representera en funktion i matematik med tremetoden som,

• Set med beställda par
• Tabellform
• Grafisk form

Till exempel, om vi representerar en funktion som, f(x) = x³

javascript-datum

Ett annat sätt att representera samma funktion är som set med beställda par som,

f = {(1,1), (2,8), (3,27)}

I den ovan nämnda uppsättningen är funktionens domän D = {1, 2, 3} och funktionens omfång är R = {1, 8, 27}

Identifiering av funktion

Funktion klassificeras som en speciell typ av relation i matematik. Det finns följande regler som kan användas för att identifiera en funktion:

• En relation där varje ingång mappad till en unik utgång är en funktion. Detta kallade en till en funktion.
• En relation där två ingångar (förbild) mappade till en enda utgång är också en funktion. Detta är många till en funktion.
• En relation där en ingång mappas två olika utdata är inte en funktion.
• En relation där många ingångar mappas till många utgångar efter ingen specifik regel är inte en funktion.

Typer av funktioner

Annorlunda Typer av funktioner används för att lösa olika typer av matematiska problem speciellt relaterade till kurvor och ekvationer. Det finns tre huvudtyper av funktioner i matematik som är baserade på elementmappningen från mängd A till mängd B.

Injektiv funktion eller en till en funktion

Funktionen där varje element i domänen har en distinkt bild i koddomänen kallas för Injektiv eller En-till-en-funktion .

f: A → B sägs vara en-till-en eller injektiv om bilderna av distinkta element i A under f är distinkta, dvs.

fa ₁ ) = b ₁ , f(a ₂ ) = b ₂

där en₁, a₂∈ A och b₁, b₂∈ B

Surjektiva funktioner eller Onto Function

Surjective Function är den funktion där varje element i codomänen har en förbild i domänen. Det kallas också Till funktion vilket innebär att varje element i koddomänen är associerat med varje element i domänen. Inget element i kodomän ska ha en tom relation. Antalet element i codomain och range är detsamma.

f: A → B sägs vara på, om varje element i B är bilden av något element av A under f, dvs. för varje b ϵ B, finns det ett element 'a' i A så att f(a) = b.

Bijektiv funktion

Om en funktion har egenskaper för både Injektiv (En till en) och Surjective (På funktion) så kallas funktionen en Bijektiv funktion . I Bijective Function är varje element i domänen relaterat till varje element i codomänen och det finns också en-till-en-relation. Detta innebär att antalet element i kodomänen och intervallet är detsamma och inget element vare sig i domänen eller kodomänen har en tom relation.

Baserat på utgångsvärdena klassificeras funktionerna som udda och jämna funktioner. Låt oss ta en titt på dem

Udda funktioner

Udda funktion är en typ av funktion som uppvisar symmetri om ursprunget. Specifikt, om f(x) är en udda funktion, visar den att f(-x) = -f(x)

Jämn funktion

Jämn funktion är en typ av funktion som uppvisar symmetri kring y-axeln. Specifikt, om f(x) är en jämn funktion, visar den att f(-x) = f(x)

Vad är en funktion i algebra?

En funktion i algebra är en ekvation för vilken varje x som kan sättas in i ekvationen kommer att producera exakt en utdata som y ur ekvationen. Den representeras som y = f(x), där x är en oberoende variabel och y är en beroende variabel.

Till exempel:

• y = 2x + 1
• y = 3x – 2
• y = 4y
• y = 5/x

Domän och räckvidd för en funktion

Domän och räckvidd för en funktion är in- och utvärde för en funktion respektive. Låt oss till exempel säga att vi har en funktion given som f(x) = x². Här kan vi ta alla reella tal som ingångsvärdet för x och utmatningen kommer alltid att vara ett positivt reellt tal. Därför är dess domän uppsättning av alla reella tal representerade som R medan dess intervall är uppsättning av positiva reella tal representerade som R⁺

Sammansättning av funktioner

Om f: A → B och g: B→ C är två funktioner. Då betecknas sammansättningen av f och g som f(g) och den definieras som funktionen dimma = f(g(x)) för x ∈ A.

Låt oss ta två funktioner f(x) = x + 3 och g(x) = 2x²

dimma = f(g(x))

⇒ dimma = f(2x²)

⇒ tand = 2x²+ 3

Lär dig mer, Sammansättning av funktion

Algebra av funktioner

Algebra av funktioner involverar de algebraiska operationerna som utförs mellan två funktioner. Den algebraiska operationen för två funktioner f(x) och g(x) definierade på det reella värdet av x nämns nedan:

• (f + g) (x) = f(x) + g(x)
• (f – g) (x) = f(x) – g(x)
• (f.g) (x) = f(x).g(x)
• (kf(x)) = k(f(x)); {För, k är ett reellt tal}
• (f/g)(x) = f(x)/g(x); {För g(x) ≠ 0}

Vad är en funktion på en graf?

En funktion kan enkelt representeras på en graf. Vilken funktion som helst på grafen representerar en kurva (inklusive rät linje) i x-y-planet mappat för dess ingångsvärden och motsvarande utdata.

För att plotta en funktion på en först hitta några punkter som ligger på funktionen och sedan sammanfoga dessa punkter enligt funktionens lokus. Till exempel för att plotta funktionen (rät linje) f(x) = y = 5x – 2 behöver vi någon punkt på grafen. För att hitta punkten punkten på grafen tar vi först de slumpmässiga värdena på x och hittar sedan deras motsvarande värden på y, som,

regressionstestning vid mjukvarutestning

f(x) = y = 5x- 2

om x = 0, y = 5(0) – 2 = -2 ⇒ (x, y) = (0, -2)

om x = 1, y = 5(1) – 2 = 3 ⇒ (x, y) = (1, 3)

om x = 2, y = 5(2) – 2 = 8 ⇒ (x, y) = (2, 8)

När vi nu förenar dessa punkter kan vi få grafen för funktionen y = 5x – 2

Grafiska funktioner

Genom att känna till värdena på x kan en funktion f(x) representeras på en graf. Eftersom y = f(x) kan vi hitta det associerade värdet för y genom att börja med värdena på x. Som ett resultat kan vi rita en graf i ett koordinatplan med hjälp av x- och y-värden. Tänk på följande scenario:

Antag att y = x + 3

När x = 0 är y = 3

Liknande,

• x = -2, y = -2 + 3 = 1
• x = -1, y = -1 + 3 = 2
• x = 1, y = 1 + 3 = 4
• x = 2, y = 2 + 3 = 5
• x = 3, y = 3 + 3 = 6

Som ett resultat kan vi plotta grafen för funktionen x + 3 med dessa värden.

Vanliga funktioner

Några vanliga funktioner som vanligtvis används i matematik diskuteras nedan:

Verklig funktion

Verklig funktion i matematik hänvisar till en funktion vars domän och intervall är delmängder av de reella talen (betecknas som ℝ). I enklare termer är en reell funktion en matematisk regel eller relation som tilldelar ett reellt talvärde till varje reellt talinmatning.

Verkliga funktioner

Polynomfunktion

Funktionen där exponenterna för algebraiska variabler är icke-negativa heltal kallas a Polynomfunktion . Om potensen av variabeln är 1 kallas den en linjär funktion, om potensen är 2 kallas den en kvadratisk funktion, och om potensen är 3 kallas den en kubikfunktion. Några exempel på polynomfunktioner nämns nedan:

• y = x²
• y = 2x + 3
• y = 3x³

Polynomfunktion kan ytterligare klassificeras i följande typer:

Linjär funktion : Linjär funktion är de där den maximala effekten av variabel är 1. Den allmänna formen av Linjär funktion är y = mx + c

Kvadratisk funktion : Kvadratisk funktion är de där den maximala effekten av variabel är 2. Allmän form av kvadratisk funktion är, yxa ² + bx + c = 0

Kubisk funktion : Kubisk funktion är de där den maximala effekten av variabel är 3. Allmänt Form av kubisk funktion ges som yxa ³ + bx ² + cx + d = 0

Omvänd funktion

Omvänd funktion är funktionen som innehåller inversen av en annan funktion. Låt oss säga att vi har en funktion y = f(x), då kommer dess inversa funktion att vara x = f^-1(y). I y = f(x) är domänen x och intervallet är y medan i fallet med x = f^-1(y), domänen är y och intervallet är x. Således kan vi säga att den ursprungliga funktionens domän är intervallet för dess inversa funktion och räckvidden för den ursprungliga funktionen är den ursprungliga funktionens domän. Några exempel på inversa funktioner är,

• y = så^-1(x)
• y = x^-1

Områdesfunktion

Areafunktion hänvisar vanligtvis till en matematisk funktion som beräknar arean av en geometrisk form eller region. Areafunktionen tar en eller flera parametrar som indata och returnerar arean för motsvarande form. Några av områdesfunktionerna diskuteras nedan:

Område med cirkelfunktion : Cirkelns område (A) är en funktion av dess radie(r) så att,

A = πr ²

Område med triangelfunktion : Triangelns område (A) är en funktion av dess bas(b) och höjd(h) så att,

A = (bh)/2

Exponentiell funktion

Exponentiell funktion är den som representeras som f(x) = e^x. Det används ofta för att visa snabb tillväxt eller förfall.

Logaritmisk funktion

Logaritmisk funktion är en matematisk funktion som representerar exponentieringens inversa operation. Det representeras som f(x) = log x.

Takfunktion

Takfunktion , betecknad som ⌈x⌉, avrundar ett reellt tal x uppåt till närmaste heltal som är större än eller lika med x. Med andra ord, den hittar det minsta heltalsvärdet som är större än eller lika med x.

Golvfunktion

Golvfunktion, betecknad som ⌊x⌋, avrundar ett reellt tal x nedåt till närmaste heltal som är mindre än eller lika med x. Med andra ord, den hittar det största heltalsvärdet som är mindre än eller lika med x.

Modulfunktion

Modulfunktion , även känd som absolutvärdesfunktionen, returnerar storleken eller storleken på ett reellt tal utan hänsyn till dess tecken. Modulfunktionen betecknas som ∣x∣, där x är ingångsvärdet.

konvertering av int till sträng i java

Signum funktion

Signum funktion , även känd som teckenfunktionen eller signumfunktionen, är en matematisk funktion som returnerar tecknet för ett reellt tal. Den indikerar om siffran är positiv, negativ eller noll.

Trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner är matematiska funktioner som relaterar vinklarna i en rätvinklig triangel till längden på dess sidor. De sex primära trigonometriska funktionerna är sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecant (cosec), secant (sek) och cotangens (cot).

Komplexa funktioner

Varje funktion där indatavariabeln är komplex funktion kallas den komplexa funktionen. Ett komplext tal är ett tal som kan plottas på det komplexa planet. I en komplext tal vi har reella tal och imaginära tal. Ett komplext tal(z) representeras som, z= x + iy och en komplex funktion representeras som, f(z) = P(x, y) + iQ(x, y)

Tillämpningar av funktioner

När vi säger att en variabel kvantitet y är en funktion av en variabel kvantitet x, anger vi att y är beroende av x och att y:s värde bestäms av x:s värde. Detta beroende kan uttryckas på följande sätt: f = y (x).

• En cirkels radie kan användas för att beräkna arean av en cirkel. Radien r påverkar area A. Vi förklarar att A är en funktion av r i funktioners matematiska språk. Vi kan skriva A = f(r) =π×r²
• En sfärs volym V är en funktion av dess radie. V = f(r) = 4/3×r³betecknar V:s beroende av r.
• Kraft är en funktion av accelerationen av en kropp med fast massa m. F = g(a) = m×a.

Folk läser också:

• Relation och funktion
  
• Domän och omfång av trigonometriska funktioner
• Omfång för en funktion
• Hyperbolisk funktion

Exempel på funktion

Exempel 1: För två funktioner definieras f och g som, f(x) = x ² och g(x) = ln(2x). Hitta den sammansatta funktionen (gof )( x )

Lösning:

Given:

• f(x) = x²
• g(x) = ln(2x)

(gof )( x ) = g (f (x))

[g (f (x)] = ln(2f(x))

= ln(2x²)

= 2 ln(√2x)

Alltså, (gof)(x) = 2 ln(√2x)

Exempel 2: Hitta resultatet av funktionen g(t)= 6t ² + 5 kl

• (i) t = 0
• (ii) t = 2

Lösning:

given funktion,

g(t)= 6t²+ 5t

• (i) t = 0

g(0) = 6(0)²+5(0) = 0 + 0

g(0) = 0

• (ii) t = 2

g(2) = 6(2)²+5(2)

g(2) = 24 + 10

g(2) = 34

Exempel 3: Längden på en rektangel är fem gånger dess bredd, uttryck rektangelns area som en funktion av dess längd.

Lösning:

Låt rektangelns längd vara l och rektangelns bredd är b

Nu,

• b = l/5

Area av rektangeln(A) = l × l/5 = l²/5

sträng hitta c++

Således är rektangelns yta som funktion av dess längd,

A(l) = l ² /5

Öva problem om vad som är en funktion

1. Givet funktionen f(x)=3x+5

• Hitta f(2)
• Hitta f(−1)
• Bestäm domänen och intervallet för funktionen.

2. Givet funktionen g(x)=x ² – 4x + 3

• Hitta rötterna till funktionen.
• Hitta g(3) och g(0).
• Bestäm spetsen för funktionen.

3. Givet två funktioner f(x)=x + 2 och h(x)=2x – 3

• Hitta den sammansatta funktionen (f ∘ h) (x)
• Utvärdera (f ∘ h)(2)

Sammanfattning – Vad är en funktion

En funktion i matematik är en speciell relation mellan ingångsvärden (domän) och utdatavärden (intervall) där varje ingång är associerad med en unik utdata. Representerade som y = f(x), funktioner har specifika egenskaper och kan visualiseras med hjälp av ordnade par, tabeller eller grafer. De är väsentliga i olika matematiska problem och finns i olika typer, inklusive injektiv (en-till-en), surjektiv (på) och bijektiv (båda). Funktioner kan testas med vertikallinjetestet och klassificeras vidare i polynomiska, inversa, exponentiella, logaritmiska och trigonometriska funktioner. Att förstå funktioner innebär att känna igen deras domän, räckvidd och reglerna som definierar dem. Exempel inkluderar enkla linjära funktioner som y = 2x + 1 och komplexa sammansättningar av funktioner. Funktioner spelar en avgörande roll i algebra, geometri och kalkyl, och hjälper till att representera och analysera matematiska samband och verkliga fenomen.

Vanliga frågor om vad är en funktion

Vad är definitionen av en funktion?

En relation f definierad på en mängd A till en annan mängd B kallas en funktion i matematik om varje värde på A har ett unikt värde i mängd B.

Hur skriver man en funktion i matematik?

Funktionen f i matematik representeras som f: A → B och definieras som, f(x) = x + 2. Här, för varje unikt värde på x, har vi ett unikt värde på y.

Hur transformerar man en funktion?

Vi kan enkelt omvandla en funktion till andra funktioner genom att helt enkelt utföra grundläggande algebraiska operationer på funktionen. De olika transformationerna av funktionen är reflektion, translation, rotation, etc.

Vad är en rationell funktion?

En bråkfunktion där täljaren och nämnaren är polynomfunktioner kallas den rationella funktionen. Några exempel på den rationella funktionen är,

• f(x) = x ² /(2x + 3)
• g(x) = (6x + 3)/(x – 1), etc.

Vad är en linjär funktion?

En algebraisk funktion där varje led i funktionen antingen är konstant eller har en potens av ett kallas en linjär funktion. Några exempel på den linjära funktionen är,

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = x – 5 osv.

Vad är domän och codomän för en funktion?

Om vi ​​definierar funktionen som, y = f(x). Då är domänen för x alla värden på x för vilka y resulterar i ett unikt värde. Och samdomänen för y är mängden av alla värden på y för varje värde på x.

Hur identifierar man en funktion i matematik?

Om något indatavärde (x) för domänen i en relation har mer än en bild (y) så kan dessa relationer aldrig vara en funktion. Så om värdet av x upprepas i det ordnade paret är det aldrig en funktion.