logo

TechCodeview

En till en-funktioner i matematik

En till en funktion eller One-One Function är en av de typer av funktioner definieras över domän och kodomän och beskriver den specifika typen av relation mellan domän och koddomän. En-till-en-funktionen kallas också den injektiva funktionen. En till en funktion är en matematisk funktion där varje element i domänen mappar till ett unikt element i koddomänen .

Den här artikeln utforskar begreppet en-till-en-funktion eller en-en-funktion i detalj, inklusive dess definition och exempel som hjälper dig att förstå konceptet med lätthet. Vi kommer också att diskutera några exempelproblem och tillhandahålla några övningsproblem som du kan lösa. Så låt oss lära oss om detta viktiga begrepp i matematik som kallas en till en funktion.



Innehållsförteckning

Vad är en-till-en-funktion?

En en-till-en-funktion, även känd som en injektiv funktion, är en där olika element i A har olika element relaterade till B eller olika element i A har olika bilder i B.

Om det finns olika bilder för en funktion betyder det att det bara är möjligt för en-till-en om förbilderna var olika om B-uppsättningen har olika element, vilket betyder att det bara är möjligt när en uppsättning hade olika element för vilka dessa var förbilder.



android versioner

En till en funktionsdefinition

En funktion 'f' från en mängd 'A' till set 'B' är en-till-en om inga två element i 'A' är mappade till samma element i 'B'.

En-till-en-funktion-1

Låt oss överväga dessa två diagram. För diagram A inser vi att 10 kartor till 1, 20 kartor till 2 och 30 kartor till 3.



Men för diagram B är det tydligt att 10 och 30 kartor till 3 och sedan 20 kartor till 1.

Eftersom vi har element i domänen som motsvarar distinkta värden i varje domän för diagram A gör det funktionen en-till-en, alltså vårt diagram B är inte en till en.

Detta kan uttryckas matematiskt som

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Exempel på en-till-en-funktioner

  • Identitetsfunktion: Identitetsfunktionen är ett enkelt exempel på en en-till-en-funktion. Den tar en ingång och returnerar samma värde som utgången. För alla reella tal x definieras identitetsfunktionen som:

f(x) = x

Varje distinkt ingång x motsvarar en distinkt utgång f(x), vilket gör den till en en-till-en-funktion.

  • Linjär funktion: En linjär funktion är en där variabelns högsta potens är 1. Till exempel:

f(x) = 2x + 3

Detta är en en-till-en-funktion eftersom oavsett vilket värde på x du väljer kommer du att få ett unikt värde för f(x).

  • Absolut värde funktion: Absolutvärdesfunktionen f(x)=∣x∣ är också en en-till-en funktion. För alla reella tal x returnerar absolutvärdesfunktionen ett icke-negativt värde, och olika värden på x kommer att resultera i olika absoluta värden.

Låt oss bevisa ett sådant exempel för en-till-en-funktion.

Exempel: Bevisa att funktionen f(x) = 1/(x+2), x≠2 är en-till-en.

Lösning:

Enligt en-till-en-funktion vet vi det

f(a) = f(b)

ersätt a med x och x med b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

kors multiplicera ovanstående ekvation

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Nu, eftersom a = b sägs funktionen vara en-till-en-funktion.

Egenskaper En-till-en-funktioner

Låt oss betrakta f och g som två en-till-en-funktioner, egenskaperna är följande:

  • Om f och g båda är ett till ett, så följer f ∘ g efter injektivitet.
  • Om g ∘ f är en till en, så är funktion f en till en, men funktion g kanske inte är det.
  • f: X → Y är en-ett, om och endast om, givet några funktioner g, h : P → X närhelst f ∘ g = f ∘ h, då g = h. Med andra ord, en-en-funktioner är exakt monomorfismerna i kategoriuppsättningen av uppsättningar.
  • Om f: X → Y är en-ett och P är en delmängd av X, då f-1(f(A)) = P. Således kan P hämtas från dess bild f(P).
  • Om f: X → Y är en-ett och P och Q båda är delmängder av X, då är f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
  • Om både X och Y är begränsade med samma antal element, då är f: X → Y en-ett, om och endast om f är surjektiv eller på funktion.

Graf över en-till-en-funktion

Låt oss se en av grafrepresentationerna av en-till-en-funktion

En-till-en-funktionsgraf

Ovanstående graf för funktionen f(x)= √x visar den grafiska representationen av en-till-en-funktion.

Horisontell linjetest

En funktion är en-till-en om varje horisontell linje inte skär grafen vid mer än en punkt.

Låt oss använda en linjär funktion som exempel. Låt oss kalla det f(x) , så f(x) har en invers funktion. För att avgöra om f(x) har en invers funktion måste du visa att det är en en-till-en-funktion, du måste visa att den klarar testet med horisontella linjer. Så om vi ritar en horisontell linje och om f(x) rör vid horisontell linje mer än en gång betyder det att f(x) inte är en en-till-en-funktion och den har inte en invers funktion.

Horisontell linjetest

I exemplet ovan skär den bara den horisontella linjen vid en punkt. Så f(x) är en-till-en-funktion vilket betyder att den har en invers funktion.

Invers av en-till-en-funktion

Låt f vara en en-till-en funktion med en domän A och område B. Då är inversen av f en funktion med domän B och område A definierade av f-1(y) =x om och endast om f(x)=y för något y i B. Kom alltid ihåg att en funktion har en invers om och bara om den är en-till-en. En funktion är en-till-en om den högsta exponenten är ett udda tal. Men om det högsta talet är ett jämnt tal eller ett absolut värde är detta inte en-till-en-funktion.

Exempel: f(x)=3x+2 hitta inversen av funktionen

Lösning:

skriv funktionen i form av y=f(x).

⇒ y=3x+2

låter byta y- och x-variabler

⇒ x=3y+2

lösa y i termer av x

⇒ x-2=3y

dividera ekvationen med 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

En till en funktion och till funktion

De viktigaste skillnaderna mellan One to One och Onto-funktioner listas i följande tabell:

Fast egendom En-till-en (injektiv) funktion Till (surjektiv) funktion
Definition En funktion där inga två olika element i domänen mappar till samma element i kodomänen. Med andra ord, varje element i domänen mappar till ett unikt element i codomänen. En funktion där varje element i koddomänen mappas av minst ett element i domänen. Med andra ord, räckvidden för funktionen är lika med hela koddomänen.
Symbolisk representation f(x1) ≠ f(x2) om x1≠ x2för alla x1, x2i domänen. För varje y i koddomänen finns det ett x i domänen så att f(x) = y.
Grafisk representation Grafen för en en-till-en-funktion har aldrig en horisontell linje som skär den vid mer än en punkt. Grafen för en onto-funktion kanske inte täcker varje punkt på kodomänen, men den täcker varje punkt som den kan, vilket betyder att det inte finns några luckor i kodomänen.
Exempel f(x) = 2x är en-till-en eftersom inga två distinkta värden på x ger samma utdata. f(x) = √x är på för icke-negativa reella tal som sin koddomän eftersom alla icke-negativa reella tal har en förbild i denna funktion.
Omvänd funktion En en-till-en-funktion har i allmänhet en omvänd funktion. En onto-funktion kan ha en invers funktion eller inte.
Kardinalitet Kardinaliteten för domänen och kodomänen kan vara lika eller olika för en-till-en-funktioner. Kodomänens kardinalitet är vanligtvis större än eller lika med domänens kardinalitet för onto-funktioner.

Följande illustration visar den tydliga skillnaden mellan en funktion och en funktion:

En-en-och-på-funktioner

Läs mer,

  • Funktioner
  • Typer av funktioner
  • Relation och funktion

Löste problem på en till en funktion

Låt oss lösa några problem för att illustrera en-till-en-funktioner:

Problem 1: Bestäm om följande funktion är en-till-en: f(x) = 3x – 1

Lösning:

Lösning 1: För att kontrollera om det är en-till-en måste vi visa att inga två distinkta x-värden mappar till samma y-värde.

Antag att f(a) = f(b), där a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Eftersom det enda sättet för f(a) = f(b) är när a = b, är denna funktion verkligen en-till-en.

Problem 2: Bestäm om följande funktion är en-till-en: g(x) = x 2

Lösning:

Lösning 2: Vi använder det horisontella linjetestet genom att plotta funktionen. Om någon horisontell linje skär grafen mer än en gång, är den inte en-till-en.

Grafen för g(x) = x^2 är en parabel som öppnar sig uppåt. Varje horisontell linje skär grafen bara en gång, så denna funktion är inte en-till-en.

Öva problem på en till en-funktioner

Problem 1: Bestäm om följande funktion är en-till-en:

  • f(x) = 2x + 3
  • g(x) = 3x2- 1
  • h(x) =3√x

Problem 2: Hitta en funktion som är en-till-en från mängden reella tal till mängden reella siffror.

Problem 3: Givet funktionen g(x) = x2+ 1, avgör om det är en-till-en på hela sin domän.

Problem 4: Betrakta funktionen h(x) = ex. Är det en en-till-en funktion?

Problem 5: Hitta den inversa funktionen av f(x) = 4x – 7 och bestäm dess domän.

Problem 6: Bestäm om funktionen p(x) = √x är en-till-en.

Problem 7: Givet q(x) = x/2, hitta domänen och omfånget för funktionen.

Problem 8: Kontrollera om funktionen r(x) = sin (x) är en-till-en över intervallet [0, π].

Problem 9: Betrakta funktionen s(x) = |x|. Är det en en-till-en funktion?

Problem 10: Bestäm om funktionen t(x) = 1/x är en-till-en och hitta dess domän.

En till en-funktioner – Vanliga frågor

1. Vad är en en-till-en-funktion?

En en-till-en-funktion är en matematisk funktion som mappar varje element i dess domän till ett unikt element i dess koddomän. Med andra ord mappar den inte två olika element i domänen till samma element i koddomänen.

2. Hur kan jag avgöra om en funktion är en-till-en?

Du kan använda det horisontella linjetestet. Om ingen horisontell linje skär grafen för funktionen mer än en gång, är det en en-till-en-funktion.

3. Vad är skillnaden mellan en en-till-en-funktion och en onto-funktion?

En en-till-en-funktion säkerställer att inga två distinkta element i domänen mappar till samma element i koddomänen, medan en onto-funktion, även känd som en surjektiv funktion, säkerställer att varje element i koddomänen mappas till med minst ett element i domänen.

4. Är alla linjära funktioner en-till-en?

Nej, inte alla linjära funktioner är en-till-en. Till exempel är f(x) = 2x en-till-en, men g(x) = 2x + 1 beror inte på att den mappar två olika x-värden till samma y-värde (t.ex. g(1) = 3 och g(2) = 5).