Logaritmregler eller loggregler är avgörande för att förenkla komplicerade formuleringar som inkluderar logaritmiska funktioner. Loggregler gör det lättare att beräkna och manipulera logaritmer i en mängd olika matematiska och vetenskapliga tillämpningar. Av alla dessa loggregler är tre av de vanligaste produktregeln, kvotregeln och maktregeln. Förutom dessa har vi många regler för logaritmen, som vi kommer att diskutera vidare i artikeln. Den här artikeln utforskar alla regler för loggar, inklusive derivator och integraler, i detalj med exempel på logaritmregler. Så låt oss börja lära oss om alla regler logaritmer har.

Innehållsförteckning

• Vad är loggregler?
• Typer av logaritm
• Lista över logaritmregler
• Regler för naturliga loggar
• Tillämpningar av logaritm
• Produktregel för logaritmer
• Logaritmkraftsregel
• Kvotientregel för logaritmer
• Lösta exempel på loggregler
• Öva frågor om loggregler

Vad är loggregler?

Logaritm Regler i matematik är de regler och lagar som används för att förenkla och manipulera logaritmiska funktionsuttryck. Dessa principer skapar relationer mellan exponentiella och logaritmiska former och ger en systematisk teknik för att hantera komplicerade logaritmiska beräkningar.

De viktigaste reglerna är följande: produktregel : som tillåter oss att dela en produkt inom en logaritm i en summa av separata logaritmer; kvotregel : som tillåter oss att dela en kvot inom en logaritm i en skillnad av logaritmer; maktregel: som tillåter oss att extrahera exponenter från en logaritm; basväxlingsregel eller ändring av basregel : som tillåter oss att ändra basen för en logaritm.

Dessa lagar är avgörande i många matematiska och vetenskapliga tillämpningar, vilket gör logaritmer till ett värdefullt verktyg för att lösa ekvationer, modellera exponentiell tillväxt och analysera stora mängder data.

Typer av logaritm

Vi hanterar vanligtvis två typer av logaritmer:

• Vanlig logaritm
• Naturlig logaritm

Notera: Det kan finnas en logaritm med vilket reellt tal som helst som bas men dessa två, dvs. vanliga och naturliga logaritmer, är de vanligaste och vanligaste.

Låt oss diskutera dessa typer i detalj.

Vanlig logaritm

En vanlig logaritm, ofta känd som logbas 10 eller helt enkelt log, är en matematisk funktion som representerar exponenten till vilken ett givet tal måste ökas för att nå ett givet tal. Den beräknar styrkan av tio som krävs för att få ett visst tal.

Till exempel logga₁₀(100) är lika med 2, eftersom 10 upphöjd till 2 är lika med 100. Den vanliga logaritmen på 100 i detta fall är 2, vilket visar att 10²= 100. Vanliga logaritmer används inom många sektorer, inklusive vetenskap, teknik och finans, för att förenkla representationer av enorma tal och hjälpa till vid beräkningar som kräver potenser 10.

Naturlig logaritm

Den naturliga logaritmen är en matematisk funktion som uttrycker logaritmen till basen 'e' (Eulers tal, ungefär 2,71828). Det är inversen av exponentialfunktionen och representerar den tid som krävs för att en kvantitet ska öka eller minska med en konstant faktor.

Till exempel betyder ln (10) ≈ 2,30259 att e multiplicerat med 2,30259 är lika med 10. Den naturliga logaritmen används inom många domäner, inklusive matematik, fysik och finans, för att beskriva fenomen som uppvisar exponentiell tillväxt eller avtagande, såsom befolkningsexpansion, radioaktivt sönderfall och beräkningar av sammansatt ränta.

Vad är logaritmregler?

Logaritmiska operationer kan utföras enligt specifika regler. Dessa regler är kända som:

• Produktregel
• Quotientregel
• Nollregel
• Identitetsregel
• Maktregel eller exponentiell regel
• Ändring av grundregel
• Ömsesidig regel

Utöver dessa vanliga regler kan vi också ha några ovanliga regler, såsom:

• Logaritm Invers egenskap
• Derivat av Log
• Integration av logg

Produktregel för logg

Enligt produktregeln är logaritmen för en produkt summan av logaritmerna för dess element.

Formel: logga_a(XY) = log_aX + log_aOCH

Exempel: logga₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Quotient Regel för logg

Kvotregeln hävdar att logaritmen för en kvot är lika med skillnaden mellan täljar- och nämnarlogaritmerna.

Formel: logga_a(X/Y) = log_aX – log_aOCH

Exempel: logga₃(9 / 3) = log₃(9) – logga₃(3)

Zero Rule of Log

Enligt nollregeln är logaritmen av 1 till valfri bas alltid 0.

Formel: logga_a(1) = 0

Exempel: logga₄(1) = 0

Loggens identitetsregel

Enligt identitetsregeln är logaritmen för en bas till sig själv alltid 1.

Formel: logga_a(a) = 1

Exempel: logga₇(7) = 1

Ömsesidig regel

Enligt den ömsesidiga logaritmregeln är logaritmen för ett tals ömsesidiga (1 dividerat med det talet) lika med det negativa av logaritmen för det ursprungliga talet. I matematisk notation:

Formel: logga_a(1/X) = – log_a(X)

Exempel: logga_a(1/2) = – log_a(2)

Power Rule eller Exponential Rule of Log

Enligt potensregeln är logaritmen för ett tal upphöjt till en exponent lika med exponenten multiplicerad med logaritmen för basen.

Formel: logga_a(Xⁿ) = n × log_aX

Exempel: logga₅(9²) = 2 × log₅(9)

Ändring av basregel för logg

Ändring av basregeln gör att du kan beräkna logaritmen för ett tal i en annan bas genom att använda en vanlig logaritm (vanligtvis bas 10 eller bas e). Ändring av basregel kallas också Base Switch Regel.

Formel: logga_a(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Exempel: logga₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3)

Logaritm Invers egenskap

Den omvända egenskapen logaritm hävdar att beräkning av logaritmen för ett exponentierat värde ger den ursprungliga exponenten.

Formel: logga_a(aⁿ) = n

Exempel: log₄(4²) = 2

Derivat av Log

Derivatan av en funktions naturliga logaritm är den reciproka av funktionen multiplicerad med funktionens derivata.

Formel: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Exempel: Om y = ln(x²), sedan dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integration av logg

Förutom differentiering kan vi också beräkna integralen av logaritmen. Integralen av Log-funktionen ges enligt följande:

Formel: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Regler för naturliga loggar

Eftersom naturliga och vanliga stockar endast har en skillnad i bas, så är reglerna för naturliga stockar desamma som vanliga stockar, som redan har diskuterats. Den enda skillnaden är att i regler för naturliga loggar, istället för log (symbol för gemensam stock med bas 10) använder vi ln (symbol för naturlig log bas e). Dessa regler kan anges på följande sätt:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• Det är^{ln x}= x

Tillämpningar av logaritm

Låt oss titta på några av applikationerna för log.

• Vi använder logaritmer för att beräkna surheten och alkaliniteten i kemiska lösningar.
• Richterskalan används för att beräkna jordbävningens intensitet.
• Mängden brus mäts i decibel (dB) på en logaritmisk skala.
• Logaritmer används för att analysera exponentiella processer som sönderfallet av förhållandet aktiva isotoper, bakterieutveckling, spridningen av en epidemi i en population och nedkylningen av ett dött lik.
• En logaritm används för att beräkna återbetalningstiden för ett lån.
• Logaritmen används i kalkyl för att differentiera svåra ekvationer och beräkna arean under kurvor.

Produktregel för logaritmer

Enligt produktregeln för logaritmer är logaritmen för en multiplikation av två termer densamma som additionen av logaritmerna för dessa individuella termer. Med andra ord uttrycks denna regel som log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Låt oss fortsätta att härleda denna regel.

Härledningsprocess:

Låt oss börja med att anta logg_b(m) = x och log_b(n) = y. Om vi ​​konverterar båda till deras exponentiella former får vi:

logga_b(m) = x innebär m = b^x… (1)

logga_b(n) = y innebär n = b^och… (2)

När vi multiplicerar ekvationerna (1) och (2) tillsammans,

mn = b^{x .}b^och

Att använda reglerna för att multiplicera exponenter,

mn = b^{x + y}

Att konvertera tillbaka till logaritmisk form avkastning,

logga_b(mn) = x + y

Genom att ersätta tillbaka för x och y,

logga_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Således har vi härlett produktregeln för logaritmer. Denna regel kan användas på olika sätt, såsom:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Det är viktigt att notera att produktregeln för logaritmer inte gäller för log (m + n), som inte kan delas upp i separata logaritmer. Denna regel hänför sig strikt till logaritmen för en produkt, log(mn).

Logaritmkraftsregel

Logaritmpotensregeln säger att när en logaritms argument höjs till en potens, kan den exponenten flyttas till framsidan av logaritmen. Med andra ord, logb mn = n logb m. Låt oss undersöka härledningen av denna regel.

Härledningsprocess:

Börja med att anta logg_bm är lika med x. Att konvertera detta till dess exponentiella form ger oss:

b^x= m

Höj sedan båda sidor till styrkan av n, vilket resulterar i:

bfs och dfs

(b^x)ⁿ= mⁿ

Att tillämpa exponentpotensregeln ger:

b^nx= mⁿ

Om vi ​​konverterar tillbaka till logaritmisk form får vi:

logga_bmⁿ= nx

Genom att ersätta x med stock_bm, vi kommer fram till:

logga_bmⁿ= n log_bm

Detta avslutar härledningen av logaritmpotensregeln. Nedan finns flera exempel på hur denna regel tillämpas:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Kvotientregel för logaritmer

Enligt kvotregeln för logaritmer är logaritmen för en division mellan två tal subtraktionen av logaritmerna för varje tal.

Specifikt anger regeln att loggen_b(m/n) = log_bm – logga_bn. Låt oss fortsätta att härleda denna regel.

Härledningsprocess:

Antag logg_bm är lika med x och log_bn är lika med y. Vi kommer att uttrycka dessa i deras exponentiella former.

logga_bm = x innebär m = b^x… (1)

logga_bn = y innebär n = b^och… (2)

När vi dividerar ekvation (1) med ekvation (2),

m/n = b^x/b^och

Genom att tillämpa kvotregeln för exponenter,

m/n = b^x–y

Konvertera tillbaka till logaritmisk form,

logga_b(m/n) = x – y

Genom att ersätta tillbaka för x och y,

logga_b(m/n) = log_bm – logga_bn

Således har vi härlett kvotregeln för logaritmer. Denna regel kan användas enligt följande:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = stock (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Det är viktigt att notera att kvotregeln inte innebär något för log (m – n).

Relaterade ämnen:

• Antilog tabell
• Loggkalkylator
• Naturlig stock
• Loggtabell

Lösta exempel på loggregler

Exempel 1: Förenkla loggen ₂ (4 × 8).

Lösning:

Med hjälp av produktregeln delar vi upp produkten i en summa av logaritmer:

logga₂(4 × 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Exempel 2: Förenkla loggen ₄ (16/2).

Lösning:

Med hjälp av kvotregeln delar vi upp kvoten i en skillnad av logaritmer:

logga₄(16 / 2) = log₄(16) – log₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Exempel 3: Förenkla logg ₅ (25 ³ ).

Lösning:

Med hjälp av potensregeln kan vi få ner exponenten som en koefficient:

logga₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Exempel 4: Konvertera logg ₃ (7) till ett uttryck med bas 10.

Lösning:

Med basväxlingsregeln dividerar vi med logaritmen för den nya basen:

logga₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Exempel 5: Utvärdera logg ₇ (49) genom att använda ändringen av basregeln med bas 2.

Lösning:

Använda ändringen av basregeln med bas 2:

logga₇(49) = log₂(49) / log₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (ungefär).

Öva frågor om loggregler

Problem 1: Förenkla uttrycket: log₂(4) + log₂(8).

Problem 2: Förenkla: logga₅(25) – log₅(5).

Problem 3: Förenkla uttrycket: log₃(9²).

Problem 4: Expresslogg₄(25) i termer av vanliga logaritmer.

Problem 5: Förenkla med Loggregler: logga₇(49) + 2 log₇(3).

Problem 6: Lös för x: logga₂(x) = 3.

Problem 7: Lös för x: 2^{3x – 1}= 8.

Loggregler – Vanliga frågor

Vad är logaritmregler?

Logaritmregler är en samling rekommendationer för att manipulera och förenkla formler med logaritmiska funktioner. De erbjuder en systematisk metod för att hantera komplicerade beräkningar och interaktioner mellan exponentialer och logaritmer.

Hur många nyckellogaritmregler finns det?

Produktregeln, kvotregeln, potensregeln, basväxlingsregeln och ändring av basregeln är alla viktiga logaritmregler. Dessa principer tillåter logaritmiska uttrycksmodifikationer och beräkningar.

Vad är logaritmisk produktregel?

Enligt produktregeln är en produkts logaritm lika med summan av logaritmerna för de individuella faktorerna: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Vad är två typer av logaritmer?

De två mest använda logaritmtyperna är:

• Vanlig logaritm eller bas 10-logaritm
• Naturlig logaritm eller bas e-logaritm

Vad är loggregeln för byte av bas?

Enligt ändring av basregel för stock, log_a(b)=[logg_c(b)]/[log_c(a)], där c är ett positivt reellt tal.

Vad är Log 0?

Logaritmen för noll är okänd. Vi får aldrig talet 0 genom att höja något värde till styrkan av något annat värde.

Vad är Log 1?

På grund av nollregeln är logaritmen för 1 till valfri bas alltid 0, dvs logaritmen_a(1) = 0.

Vad är logaritm för ett tal till sig själv som bas?

Enligt identitetsregeln är logaritmen för en bas till sig själv alltid 1, dvs log_a(a) = 1.

Vad är förhållandet mellan logaritmer och exponentialer?

Logaritmer och exponentialer är inversa operationer. En logaritm talar om exponenten som behövs för att nå ett visst tal, medan en exponential höjer en bas till en exponent.

Vilka är de 7 logaritmreglerna?

De 7 logaritmreglerna inkluderar

• Produktregel
• Quotientregel
• Maktregel
• Ändring av grundregler
• Nollregel
• Identitetsregel
• Negativ regel

Dessa regler används för att förenkla logaritmiska uttryck.

Vad är logexponentregeln?

Log-exponentregeln säger att logbas b av a^xär lika med x gånger log bas b av a, dvs log_ba^x= x log_ba.

Vad är nyckelskillnaden mellan vanlig stock och naturlig stock?

Den viktigaste skillnaden mellan vanlig och naturlig stock är att vanliga stockar använder bas 10, medan naturliga loggar använder den matematiska konstanten 'e' som sin bas.

Vad är derivatregeln för logg?

Derivatregeln för loggfunktioner är: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), där 'b' är basen för logaritmen.

tecken till sträng java

Vad är Base Switch Rule?

Enligt Base Switch-regeln kan basen för vilken logaritm som helst ändras till vilken annan önskad bas som helst med hjälp av formeln: loga(X) = logb(X) / logb(a).