Mittpunktsformeln är ((x 1 + x 2 )/2 och 1 + och 2 )/2). Koordinaterna för de två punkterna är (x1, och1) och (x2, och2) respektive, och mittpunkten är en punkt som ligger halvvägs mellan dessa två punkter.
Mid Point är ett grundläggande koncept inom koordinatgeometri. Det spelar en avgörande roll för att hitta mittpunkten av ett linjesegment. Det finns tillfällen i koordinatgeometrin där vi behöver veta mittpunkten för två givna punkter eller mittpunkten av ett linjesegment. I det här fallet använder vi Mid Point-formeln eftersom det är ett enkelt och effektivt sätt att beräkna mittpunkten för ett givet linjesegment, oavsett dess längd eller position på koordinatplanet.
Vi har täckt Mid Point Formula i detalj, med dess härledning med hjälp av likheten med trianglar. Tillsammans med det har vi kurerat de lösta exemplen på Mid Point Formula.
Mittpunktsdefinition
Den punkt som delar linjen exakt i två lika stora halvor är linjens mittpunkt. Med andra ord, förhållandet mellan båda halvorna av linjen där mittpunkten delar den är 1:1.
Linjens mittpunkt
Formel för Mid Point of Line
För ett linjesegment AB i kartesisk koordinat där x-axelns koordinat för punkt A är x1och y-axelkoordinaten för punkt A är y1och på liknande sätt är x-axelns koordinat för punkt B x2och y-axelkoordinaten för punkt B är y2,linjens mittpunkt kommer att ges av (xm, ochm).
Formeln för mittpunkten (xm, ochm) är:
nginx
Mittpunktsformel
Härledning av medelpunktsformel
Låt P(x1,och1) och Q(x2,och2) vara de två ändarna av en given linje i ett koordinatplan, och R(x,y) är den punkt på den linjen som delar PQ i förhållandet m1:m2Så att
PR/RQ = m1/m2. . .(1)
Härledning av medelpunktsformel
Rita linjerna PM, QN och RL vinkelräta på x-axeln och genom R dra en rät linje parallell med x-axeln för att möta MP vid S och NQ vid T.
Därför kan vi från figuren säga:
SR = ML = OL – OM = x – x1. . . (2)
RT = LN = PÅ – Ol = x2– x . . . (3)
PS = MS – MP = LR – MP = y – y1. . . (4)
TQ = NQ – NT = NQ – LR = y2- och . . . (5)
Nu triangeln ∆ SPR liknar triangel ∆TQR .
Därför,
SR/RT = PR/RQ
Genom att använda ekvationerna 2, 3 och 1 vet vi:
x – x1/x2– x = m1/ m2
⇒ m2x – m2x1= m1x2– m1x
⇒ m1x + m2x = m1x2+ m2x1
⇒ (m1+ m2)x = m1x2+ m2x1
⇒ x = (m1x2+ m2x1) / (m1+ m2)
Nu triangeln ∆ SPR liknar triangeln ∆ TQR,
Därför,
PS/TQ = PR/RQ
Genom att använda ekvationerna 4, 5 och 1 vet vi:
och och1/ och2– y = m1/ m2
⇒ m2y – m2och1= m1och2– m1och
⇒ m1y + m2y = m1och2+ m2och1
⇒ (m1+ m2)y = m1och2+ m2och1
⇒ y = (m1och2+ m2och1) / (m1+ m2)
Därför är koordinaterna för R(x,y):
R(x, y) = (m 1 x 2 + m 2 x 1 ) / (m 1 + m 2 ), (m 1 och 2 + m 2 och 1 ) / (m 1 + m 2 )
Eftersom vi var tvungna att beräkna mittpunkten, behåller vi därför både värdena för m1och M2som samma dvs.
För mittpunkten känner vi genom definitionen av mittpunkt, m1= m2= 1.
(x, y) = ((1,x2+ 1.x1) / (1 + 1), (1.y2+ 1.y1) / (1 + 1))
x, y = (x 2 + x 1 ) / 2 och 2 + och 1 ) / 2
Hur hittar man Mid Point?
För att hitta koordinaterna för mittpunkten för ett givet linjesegment kan vi använda mittpunktsformeln om ändpunkterna för linjesegmentet är givna. Betrakta följande exempel för detsamma.
Exempel: Hitta koordinaterna för mittpunkten av ett linjesegment vars ändpunkter är (5, 6) och (-3, 4).
Lösning:
Som vi vet ges mittpunkten av ett linjesegment av formeln:
Mittpunkt = ((x1+x2)/2 och1+y2)/2)
där (x1, och1) och (x2, och2) är koordinaterna för ändpunkterna för linjesegmentet.
Mittpunkt = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)
⇒ Mittpunkt = (2/2, 10/2)
⇒ Mittpunkt = (1, 5)
Därför är koordinaterna för mittpunkten av linjesegmentet (1, 5).
Relaterad formel
Det finns liknande formler som medelpunktsformeln, som är följande:
- Sektionsformel
- Centroid formel
Sektionsformel
Sektionsformel används för att hitta koordinaten för den punkt som delar det givna linjesegmentet i önskat förhållande. Låt oss anta att ändpunkterna för ett linjesegment är A och B med koordinater (x 1 , och 1 ) och (x 2 , och 2 ) , och P är den punkt som delar linjesegmentet som förenar linjen AB i m:n. Då ges koordinaten för P av:
P(x, y) = [(mx 2 + nx 1 )/(m+n), (min 2 + den 1 )/(m+n)]
Centroid formel
Centroidformeln används för att hitta mittpunkten för polygoner och matematiskt för trianglar och fyrhörningar ges enligt följande:
Centroid of a Triangle Formel
Koordinaterna för tyngdpunkten i en triangel med hörn (x1, och1), (x2, och2), och (x3, och3) är:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 )/3, (och 1 + och 2 + och 3 )/3)
Centroid of Triangle
Centroid of a Quadrilateral Formel
Koordinaterna för tyngdpunkten för en fyrhörning med hörn (x1, och1), (x2, och2), (x3, och3), och (x4, och4) är:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4, (och 1 + och 2 + och 3 + och 4 )/4)
Centroid of Quadrilateral
Lösta frågor om Mid-Point Formel
Fråga 1: Vad är mittpunkten av linjesegment AB där punkt A är vid (6,8) och punkt B är (3,1)?
Lösning:
Låt mittpunkten vara M(xm, ochm),
xm= (x1+ x2) / 2
x1= 6, x2= 3
Alltså xm= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5
ochm= (och1+ och2) / 2
och1= 8, och2= 1
Således, ym= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5
Därför är mittpunkten på linje AB (4,5, 4,5).
Fråga 2: Vad är mittpunkten av linjesegment AB där punkt A är vid (-6,4) och punkt B är (4,2)?
Lösning:
Låt mittpunkten vara M(xm, ochm),
x1= -6, x2= 4, och1= 4, och2= 2
(xm, ochm) = ((x1+ x2) / 2 och1+ och2) / 2)
(xm, ochm) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)
(xm, ochm) = ((-2)/2, (6)/2)
(xm, ochm) = (-1, 3)
Därför är mittpunkten på linje AB (-1, 3).
Fråga 3: Hitta värdet på p så att (–2, 2,5) är mittpunkten mellan (p, 2) och (–1, 3).
Lösning:
Låt mittpunkten vara M(xm, ochm) = (-2, 2,5) där,
x1= -1, xm= -2
y-koordinaten för slutpunkten är redan känd som 2, därför behöver vi bara hitta x-koordinaten
xm= (x1+ x2) / 2
-2 = (-1 + p) / 2
-4 = -1 + p
p = -3
Följaktligen är den andra ändpunkten på linjen (-3, 2).
Fråga 4: Om koordinaterna för ändpunkterna för ett linjesegment är (3, 4) och (7, 8), hitta avståndet mellan linjesegmentets mittpunkt och punkten (3, 4).
Lösning:
Låt A(3, 4) och B(7, 8) vara ändpunkterna för det givna linjesegmentet, och C är mittpunkten av linjesegmentet AB.
Använd sedan mittpunktsformeln,
Koordinat för C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)
Använd avståndsformel
Avstånd = √{(x2– x1)2+ (och2- och1)2}
⇒ Avstånd = √{(3 – 5)2+ (4 – 6)2}
⇒ Avstånd =√{(-2)2+ (-2)2}
⇒ Avstånd =√8 = 2√2
Därför är avståndet mellan linjesegmentets mittpunkt och punkt (3, 4) 2√2.
| Måste läsas | |
|---|---|
| Avståndsformel | Koordinatgeometri |
| Pythagoras sats | Kartesiskt plan |
Mid Point Formula – Vanliga frågor
Vad är medelpunktsformel?
Matematiskt ges medelpunktsformeln enligt följande:
Mittpunkt = ((x 1 + x 2 )/2 och 1 + och 2 )/2)
Vilken betydelse har medelpunktsformeln?
Mittpunktsformeln är signifikant eftersom den tillåter oss att hitta mittpunkten för ett linjesegment på ett kartesiskt koordinatsystem.
Vilka är tillämpningar av medelpunktsformel?
Det finns många användningsfall av mittpunktsformeln, eftersom vi i geometri kan använda den för lösningar och egenskaper hos trianglar, polygoner och andra former, i fysiken har den också tillämpning för att hitta massans centrum.
Kan medelpunktsformel användas för tre eller fler punkter?
Nej, mittpunktsformeln kan inte användas för tre punkter eftersom mittpunkten är definierad för endast två punkter. För tre punkter kan vi använda tyngdpunktsformeln om vi vill hitta koordinaten för tyngdpunkten för triangeln som bildas av de givna tre punkterna.
Hur många mittpunkter har ett segment?
Ett segment har bara en mittpunkt.