logo

TechCodeview

Newton Raphsons metod

Newton Raphson Method eller Newton Method är en kraftfull teknik för att lösa ekvationer numeriskt. Det används oftast för approximation av rötterna till de verkliga funktionerna. Newton Rapson Method utvecklades av Isaac Newton och Joseph Raphson, därav namnet Newton Rapson Method.

Newton Raphson-metoden innebär att man iterativt förfinar en första gissning för att konvergera den mot den önskade roten. Metoden är dock inte effektiv för att beräkna rötterna till polynomen eller ekvationerna med högre grader, men i fallet med smågradersekvationer ger denna metod mycket snabba resultat. I den här artikeln kommer vi att lära oss om Newton Raphson-metoden och stegen för att beräkna rötterna med denna metod också.



Innehållsförteckning

Vad är Newton Raphson-metoden?

Newton-Raphson-metoden, som också är känd som Newtons metod, är en iterativ numerisk metod som används för att hitta rötterna till en verkligt värderad funktion. Denna formel är uppkallad efter Sir Isaac Newton och Joseph Raphson, eftersom de självständigt bidrog till dess utveckling. Newton Raphson-metod eller Newtons metod är en algoritm för att approximera rötterna till nollor för de verkliga funktionerna, med hjälp av gissning för den första iterationen (x0) och sedan approximera nästa iteration(x1) som är nära rötter med följande formel.

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



var,

  • x 0 är det initiala värdet av x,
  • f(x 0 ) är ekvationens värde vid initialt värde, och
  • f'(x 0 ) är värdet av första ordningens derivata av ekvationen eller funktionen vid det initiala värdet x0.

Notera: f'(x0) bör inte vara noll annars ändras bråkdelen av formeln till oändlighet vilket betyder att f(x) inte ska vara en konstant funktion.

Newton Raphsons metodformel

I den allmänna formen skrivs Newton-Raphson-metodens formel enligt följande:



x n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

Var,

  • x n-1 är den uppskattade (n-1)throten till funktionen,
  • f(x n-1 ) är värdet av ekvationen vid (n-1)thuppskattad rot, och
  • f'(x n-1 ) är värdet av första ordningens derivata av ekvationen eller funktionen vid xn-1.

Newton Raphson metodberäkning

Antag ekvationen eller funktionerna vars rötter ska beräknas som f(x) = 0.

För att bevisa giltigheten av Newton Raphson-metoden följs följande steg:

Steg 1: Rita en graf av f(x) för olika värden på x enligt nedan:

Newton Raphson metodberäkning

Steg 2: En tangent dras till f(x) vid x0. Detta är startvärdet.

Steg 3: Denna tangent kommer att skära X-axeln vid någon fast punkt (x1,0) om den första derivatan av f(x) inte är noll, dvs. f'(x 0 ) ≠ 0.

Steg 4: Eftersom denna metod förutsätter iteration av rötter, är detta x1anses vara nästa approximation av roten.

Steg 5: Nu upprepas steg 2 till 4 tills vi når den faktiska roten x*.

Nu vet vi att lutningsskärningsekvationen för vilken linje som helst representeras som y = mx + c,

Var m är linjens lutning och c är linjens x-avsnitt.

Med samma formel får vi

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

Här f(x0) representerar c och f'(x0) representerar lutningen för tangenten m. Eftersom denna ekvation gäller för varje värde på x, måste den gälla för x1. Således ersätter x med x1, och likställer ekvationen med noll när vi behöver beräkna rötterna får vi:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x 1 − x 0 )

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Vilket är Newton Raphson-metodens formel.

Således var Newton Raphsons metod matematiskt bevisad och accepterad att vara giltig.

Konvergens av Newton Raphson-metoden

Newton-Raphson-metoden tenderar att konvergera om följande villkor är sant:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Det betyder att metoden konvergerar när modulen för produkten av värdet av funktionen vid x och andraderivatan av en funktion vid x är mindre än kvadraten på modulen för den första derivatan av funktionen vid x. Newton-Raphson-metoden har en konvergens av ordning 2 vilket betyder att den har en kvadratisk konvergens.

Notera:

Newton Raphsons metod är inte giltig om den första derivatan av funktionen är 0 vilket betyder f'(x) = 0. Det är bara möjligt när den givna funktionen är en konstant funktion.

  • Newtons metod för att hitta rötter
  • Skillnad mellan Newton Raphson Method och Regular Falsi Method
  • Skillnad mellan Bisection Method och Newton Raphson Method
  • Root Finding Algoritm

Newton Raphson-metodexempel

Låt oss överväga följande exempel för att lära oss mer om processen att hitta roten till en verkligt värderad funktion.

Exempel: För startvärdet x 0 = 3, approximera roten av f(x)=x 3 +3x+1.

full huggorm

Lösning:

Givet, x0= 3 och f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Med hjälp av Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1,767

Löste problem med Newton Raphson-metoden

Uppgift 1: För startvärdet x 0 = 1, approximera roten av f(x)=x 2 −5x+1.

Lösning:

Givet, x0= 1 och f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

hur man gör om i photoshop

Med hjälp av Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1-1

⇒ x1= 0

Uppgift 2: För startvärdet x 0 = 2, approximera roten av f(x)=x 3 −6x+1.

Lösning:

Givet, x0= 2 och f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Med hjälp av Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2,5

Uppgift 3: För startvärdet x 0 = 3, approximera roten av f(x)=x 2 −3.

Lösning:

Givet, x0= 3 och f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Med hjälp av Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

Uppgift 4: Hitta roten till ekvationen f(x) = x 3 – 3 = 0, om startvärdet är 2.

Lösning:

Givet x0= 2 och f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

Med hjälp av Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1,583

Använder Newton Raphson-metoden igen:

x2= 1,4544

x3= 1,4424

x4= 1,4422

Därför är roten av ekvationen ungefär x = 1,442.

Uppgift 5: Hitta roten till ekvationen f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, om startvärdet är 3.

Lösning:

Givet x0= 3 och f(x) = x3– 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Med hjälp av Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2,3181

Använder Newton Raphson-metoden igen:

x2= 1,9705

x3= 1,8504

x4= 1,8345

x5= 1,8342

Därför är roten av ekvationen ungefär x = 1,834.

Vanliga frågor om Newton Raphson-metoden

F1: Definiera Newton Raphson-metoden.

Svar:

Newton Raphson-metoden är en numerisk metod för att approximera rötterna till en given funktion med verkligt värde. I den här metoden använde vi olika iterationer för att approximera rötterna, och ju högre antal iterationer desto mindre fel i värdet på den beräknade roten.

F2: Vad är fördelen med Newton Raphson-metoden?

Svar:

Newton Raphsons metod har en fördel att den tillåter oss att gissa rötterna till en ekvation med en liten grad mycket effektivt och snabbt.

F3: Vad är nackdelen med Newton Raphson-metoden?

Svar:

Nackdelen med Newton Raphson-metoden är att den tenderar att bli mycket komplex när graden av polynomet blir mycket stor.

F4: Ange eventuell verklig tillämpning av Newton Raphsons metod.

Svar:

spärrade nummer

Newton Raphson-metoden används för att analysera vattenflödet i vattendistributionsnätverk i verkligheten.

F5: Vilken teori bygger Newton-Raphson-metoden på?

Svar:

Newton Raphsons metod är baserad på teorin om kalkyl och tangent till en kurva.