Pascals triangel är ett numeriskt mönster arrangerat i en triangulär form. Denna triangel tillhandahåller koefficienterna för expansionen av alla binomiala uttryck, med tal organiserade på ett sätt som bildar en triangulär form. d.v.s. den andra raden i Pascals triangel representerar koefficienterna i (x+y)²och så vidare.

I Pascals triangel är varje tal summan av de två ovanstående talen. Pascals triangel har olika tillämpningar inom sannolikhetsteori, kombinatorik, algebra och olika andra grenar av matematiken.

Låt oss lära oss mer om Pascals triangel, dess konstruktion och olika mönster i Pascals triangel i detalj i den här artikeln.

Innehållsförteckning

• Vad är Pascals triangel?
• Vad är Pascals triangel?
• Pascals triangeldefinition
• Pascals triangelkonstruktion
• Pascals triangelformel
• Pascals triangel binomial expansion
• Hur använder man Pascals triangel?
• Pascals triangelmönster
• Tillägg av rader
• Primtal i Pascals triangel
• Diagonaler i Pascals triangel
• Fibonacci-sekvens i Pascals triangel
• Egenskaper för Pascals triangel
• Pascals triangel exempel

Vad är Pascals triangel?

Den är uppkallad efter den berömda filosofen och matematikern Balise 'Pascal' som utvecklade ett mönster av siffror som börjar med 1 och siffrorna nedan är summeringen av ovanstående siffror. Skriv först ner siffran 1 för att börja göra Pascals triangel. Den andra raden skrivs ner med två 1:or igen. Andra rader genereras med hjälp av de föregående raderna för att göra en triangel med tal. Varje rad börjar och slutar med en 1.

En grundläggande struktur för Pascal-triangeln visas i bilden som läggs till nedan,

Vad är Pascals triangel?

Vi definierar Pascal-triangeln som den grundläggande uppsättningen av siffror som arrangeras i en triangulär array så att varje element i Pascals triangel är summan av de två talen ovanför den. Pascals triangel börjar med 1 och detta föreslogs först av den berömda franska matematikern Balise Pascal och fick därför namnet Pascals triangel.

Denna triangel representerar koefficienterna för den binomiska expansionen för olika potenser. (vi måste se till att potensen i den binomala expansionen bara är ett naturligt tal, då representerar endast Pascals triangel koefficienterna i den binomala expansionen).

Pascals triangeldefinition

Pascals triangel är en triangulär uppsättning tal där varje tal är summan av de två direkt ovanför den.

Pascals triangelkonstruktion

Vi kan enkelt konstruera Pad=scals triangel genom att bara lägga till de två talen på raden ovan för att få nästa nummer i raden nedan. Vi kan anta att den nollte raden börjar med ett enda element 1 och sedan är elementet i den andra raden 1 1 som bildas genom att addera 1+0 och 1+0. På liknande sätt är elementen i den andra raden, 1 2 1 2 som bildas genom att addera, 1+0, 1+1 och 1+0, och därmed erhålls elementen i den tredje raden. Genom att utöka detta koncept till den n:e raden får vi en Pascals triangel med n+1 rader.

Pascals triangel upp till 3:e raden visas i bilden nedan,

Från ovanstående figur kan vi enkelt observera att det första och det sista elementet i varje rad är 1.

Pascals triangelformel

Pascal Triangle Formula är formeln som används för att hitta talet som ska fyllas i den m:te kolumnen och den n:e raden. Som vi vet att termerna i Pascals triangel är summeringen av termerna i raden ovan. Så vi kräver elementen i (n-1):e raden och (m-1):e och n:te kolumnerna för att få det nödvändiga numret i den m:te kolumnen och den n:te raden.

Läs i detalj: Pascals triangelformel

Elementen i den n:e raden i Pascals triangel är givna,ⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂, …,ⁿC_n.

Formeln för att hitta valfritt tal i Pascals triangel är:

ⁿ Cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _m

Var,

• ⁿ C _m representerar det (m+1):e elementet i den n:e raden., och
• n är ett icke-negativt heltal [0 ≤ m ≤ n]

Vi kan förstå denna formel med exemplet som diskuteras nedan,

Exempel: Hitta det tredje elementet i den tredje raden i Pascals triangel.

Lösning:

Vi måste hitta det tredje elementet i den tredje raden i Pascals triangel.

Pascal triangelformel är,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

varⁿC_krepresenterar (k+1)^thelement i n^thrad.

Således är det tredje elementet i den tredje raden,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Således är det tredje elementet i den tredje raden i Pascals triangel 3.

Pascals triangel binomial expansion

Vi kan enkelt hitta koefficienten för binomial expansion med hjälp av Pascals triangel. Elementen i (n+1):e raden i Pascal-triangeln representerar koefficienten för det expanderade uttrycket av polynomet (x + y)ⁿ.

Vi vet att expansionen av (x + y)ⁿär,

(x + y)ⁿ= a₀xⁿ+ a₁x^n-1och +a₂x^n-2och²+ … + a_n-1xy^n-1+ a_nochⁿ

Här en₀, a₁, a₂, a₃, …., a_när termen i (n+1):e raden i Pascals triangel

Se till exempel expansionen av (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀x⁴+⁴C₁x³och +⁴C₂x²och²+⁴C₃xy³+⁴C₄x⁰och⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²och²+ (4)xy³+ (1)y⁴

Här är koefficienterna 1, 4, 6, 4 och 1 elementen i den fjärde raden i Pascals triangel

Hur använder man Pascals triangel?

Vi använder Pascal-triangeln för att hitta olika fall av möjliga utfall i sannolikhetsförhållanden. Detta kan förstås av följande exempel, att kasta ett mynt en gång får vi två utfall, dvs H och T detta representeras av elementet i den första raden av Pascals triangel.

Om du kastar ett mynt två gånger får vi tre utfall, dvs {H, H}, {H, T}, {T, H} och {T, T} detta tillstånd representeras av elementet i den andra raden av Pascals triangel.

Således kan vi enkelt säga det möjliga antalet utfall vid kastning av ett myntexperiment genom att helt enkelt observera de respektive elementen i Pascaltriangeln.

Tabellen nedan berättar om fallen om ett mynt kastas en gång, två gånger, tre gånger och fyra gånger, och dess överensstämmelse med Pascals triangel

Pascals triangelmönster

Vi observerar olika mönster i Pascals triangel, de är:

• Tillägg av rader
• Primtal i triangeln
• Diagonaler i Pascals triangel
• Fibonacci mönster

Tillägg av rader

När vi tittar närmare på Pascals triangel kan vi dra slutsatsen att summan av alla rader i Pascals triangel är lika med en potens av 2. Formeln för densamma är, För vilken som helst (n+1)^thraden i Pascals triangel är summan av alla element 2ⁿ

Genom att tillämpa denna formel i de första 4 raderna av Pascals triangel får vi,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Primtal i Pascals triangel

Ett annat mycket intressant mönster i Pascalstriangeln är att om en rad börjar med ett primtal (försummar 1 i början av varje rad), så är alla element i den raden delbara med det primtalet. Detta mönster gäller inte för de sammansatta talen.

Till exempel är den åttonde raden i Pascal-triangeln,

1 7 21 35 35 21 7 1

Här är alla element delbara med 7.

För rader som börjar med sammansatta nummer som den femte raden,

1 4 6 4 1

Mönstret stämmer inte eftersom 4 inte delar 6.

Diagonaler i Pascals triangel

Varje högerdiagonal i Pascals triangel, när den betraktas som en sekvens representerar de olika talen, såsom den första högerdiagonalen representerar en sekvens av nummer 1, den andra högerdiagonalen representerar triangulära tal, den tredje högerdiagonalen representerar de tetraedriska talen, den fjärde högerdiagonalen representerar Penelopes siffror och så vidare.

Fibonacci-sekvens i Pascals triangel

Vi kan enkelt få Fibonacci-sekvensen genom att helt enkelt lägga till siffrorna i diagonalerna i Pascals triangel. Detta mönster visas i bilden som läggs till nedan,

Egenskaper för Pascals triangel

Olika egenskaper hos Pascals triangel är,

• Varje tal i Pascal-triangeln är summan av talet ovanför den.
• Start- och slutsiffran i Pascals triangel är alltid 1.
• Den första diagonalen i Pascals triangel representerar det naturliga talet eller räknande talen.
• Summan av element i varje rad i Pascals triangel ges med en potens av 2.
• Elementen i varje rad är siffrorna i potensen 11.
• Pascaltriangeln är en symmetrisk triangel.
• Elementen i valfri rad i Pascals triangel kan användas för att representera koefficienterna för binomial expansion.
• Längs diagonalen av Pascals triangel observerar vi Fibonacci-talen.

Artiklar relaterade till Pascals triangel:

• Binomialsatsen
• Binomial slumpmässiga variabler och binomial distribution

Pascals triangel exempel

Exempel 1: Hitta femte raden i Pascals triangel.

Lösning:

Pascal-triangeln med 5 rader visas i bilden nedan,

Exempel 2: Expandera med Pascal Triangle (a + b) ² .

Lösning:

Skriv först de generiska uttrycken utan koefficienterna.

(a + b)²= c₀a²b⁰+ c₁a¹b¹+ c₂a⁰b²

Låt oss nu bygga en Pascals triangel för 3 rader för att ta reda på koefficienterna.

Värdena på den sista raden ger oss värdet av koefficienter.

c₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a + b)²= a²b⁰+ 2a¹b¹+ a⁰b²

Alltså verifierat.

Exempel 3: Expandera med Pascal Triangle (a + b) ⁶ .

Lösning:

Skriv först de generiska uttrycken utan koefficienterna.

(a + b)⁶= c₀a⁶b⁰+ c₁a⁵b¹+ c₂a⁴b²+ c₃a³b³+ c₄a²b⁴+ c₅a¹b⁵+ c₆a⁰b⁶

Låt oss nu bygga en Pascals triangel för 7 rader för att ta reda på koefficienterna.

Värdena på den sista raden ger oss värdet av koefficienter.

c₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄=15, c₅= 6 och c₆= 1.

(a + b)⁶= la⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

Exempel 4: Hitta det andra elementet i den tredje raden i Pascals triangel.

Lösning:

Vi måste hitta det andra elementet i den tredje raden i Pascals triangel.

Vi vet att den n:e raden i Pascals triangel ärⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,ⁿC_3…

Pascal triangelformeln är,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

varⁿC_krepresenterar (k+1)^thelement i n^thrad.

Sålunda är det andra elementet i den tredje raden,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Således är det andra elementet i den tredje raden i Pascals triangel 3.

Exempel 5: Ett mynt kastas fyra gånger, hitta sannolikheten att få exakt 2 svansar.

Lösning:

Använder Pascal Triangle Formula,

Totalt antal utfall = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Här får vi fyra fall där vi får 2 svansar,

Således,

Sannolikhet att få Two Tails = gynnsamt resultat/totalt resultat

= 4/16 = 1/4

Så sannolikheten att få exakt två svansar är 1/4 eller 25 %

Sammanfattning – Pascals triangel

Pascals triangel är ett triangulärt arrangemang av tal där varje tal är summan av de två talen direkt ovanför den. Uppkallad efter matematikern Blaise Pascal börjar denna triangel med en enda 1:a överst, och varje rad börjar och slutar med 1. Siffrorna i Pascals triangel motsvarar koefficienterna i den binomiska expansionen, vilket gör den användbar i algebra, sannolikhet och kombinatorik. Mönster inom triangeln inkluderar summor av rader som är 2 potenser, kopplingar till Fibonacci-sekvensen och närvaron av primtal. Pascals triangel är också till hjälp för att beräkna kombinationer och förstå resultat i sannolikhetsexperiment, som myntkast.

Vanliga frågor om Pascals triangel

Vad är Pascals triangel?

Triangelmatrisen av numret som föreslagits av den berömda matematikern Balise Pascal kallas Pascals triangel. Denna triangel börjar med 1 och på nästa rad är start- och sluttalen fixerade till 1, sedan genereras mitttalet genom att ta summan av de två ovanstående talen.

Vad är användningen av Pascals triangel?

Pascals trianglar har olika användningsområden,

• Den används för att hitta binomialkoefficienten för den binomala expansionen.
• Det ger ett alternativt sätt att utöka de binomiala termerna.
• Det används i algebra, sannolikhetsteori, permutation och kombination och andra grenar av matematiken.

Vad är användningen av Pascals triangel i binomial expansion?

Vi använder Pascals triangel för att enkelt hitta koefficienten för vilken term som helst i den binomiala expansionen. Vilken rad som helst i Pascals triangel (säg n:te) representerar koefficienten för den binomiska expansionen av (x+y)ⁿ. Till exempel är den andra raden i Pascals triangel, 1 2 1 och expansionen av (x+y)²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

Här är koefficienten för varje term 1 2 1 vilket liknar den andra raden i Pascals triangel.

Vilka är de olika mönstren som finns i Pascals triangel?

Olika mönster som vi lätt hittade i Pascals triangel är:

• Triangulärt mönster
• Udda och jämnt mönster
• Fibonacci mönster
• Symmetriskt mönster

Vad är 5:an^thRad av Pascals triangel?

Den femte raden i Pascals triangel representeras nedan,

1 5 10 10 5 1

Vi vet att summan av alla element i en rad ges med 2ⁿdär n representerar antalet rader. Alltså summan av alla termer i den femte raden är,

2⁵= 32

hur avmarkerar du i gimp

Vad är det första elementet i varje rad i Pascals triangel?

Det första elementet i varje rad i Pascals triangel är 1. Vi kallar denna term den 0:e termen i raden.