En period definieras som tidsintervallet mellan två tidpunkter, och en periodisk funktion definieras som en funktion som upprepar sig med jämna mellanrum eller tidsperioder. Med andra ord är en periodisk funktion en funktion vars värden återkommer efter ett visst tidsintervall. En periodisk funktion representeras som f(x + p) = f(x), där p är funktionens period. Sinusvåg, triangulär våg, fyrkantsvåg och sågtandsvåg är några exempel på periodiska funktioner. Nedan visas grafer över några periodiska funktioner, och vi kan observera att varje periodisk funktions graf har translationssymmetri.

En funktions grundläggande period

En periodisk funktions domän omfattar alla reella talvärden medan dess intervall är specificerat för ett fast intervall. En periodisk funktion är en funktion där det finns ett positivt reellt tal P så att f (x + p) = f (x), för alla x är reella tal. Grundperioden för en funktion är det minsta värdet av det positiva reella talet P eller perioden under vilken en funktion upprepar sig.

f(x + P) = f(x)

var,

P är perioden för funktionen och f är den periodiska funktionen.

år in i kvartalen

Hur bestämmer man perioden för en funktion?

1. En periodisk funktion definieras som en funktion som upprepar sig med jämna mellanrum eller perioder.
2. Det representeras som f(x + p) = f(x), där p är perioden för funktionen, p ∈ R.
3. Period betyder tidsintervallet mellan de två förekomsterna av vågen.

Perioder av trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner är periodiska funktioner och perioden för trigonometriska funktioner är som följer

• Perioden för Sin x och Cos x är 2 sid .

dvs sin(x + 2π) = sin x och cos(x + 2π) = cos x

• Perioden för Tan x och Cot x är Pi.

d.v.s. tan(x + π) = tan x och cot(x + π) = cot x

• Perioden för Sec x och Cosec x är 2 sid.

dvs sek(x + 2π) = sek x och cosec(x + 2π) = cosec x

Funktionens period hänvisas till som avståndet mellan upprepningarna av en funktion. Perioden för en trigonometrisk funktion är längden av en hel cykel. Amplitud definieras som den maximala förskjutningen av en partikel i en våg från jämvikt. Med enkla ord är det avståndet mellan den högsta eller lägsta punkten och mittpunkten på grafen för en funktion. Inom trigonometri finns det tre grundläggande funktioner, nämligen sin, cos och tan, vars perioder är 2π, 2π respektive π perioder. Startpunkten för grafen för valfri trigonometrisk funktion tas som x = 0.

Om vi ​​till exempel observerar cosinusgrafen nedan kan vi se att avståndet mellan två förekomster är 2π, dvs. cosinusfunktionens period är 2π. Dess amplitud är 1.

Cosinus graf

Periodiska formler

• Om p är perioden för den periodiska funktionen f (x), så är 1/f (x) också en periodisk funktion och kommer att ha samma fundamentala period av p som f(x).

Om f (x + p) = f (x),

linux ändra katalognamn

F (x) = 1/f (x) , då F (x + p) = F (x).

• Om p är perioden för den periodiska funktionen f(x), då är f (ax + b), a>0 också en periodisk funktion med perioden p/|a|.

• Perioden för Sin (ax + b) och Cos (ax + b) är 2π/|a|.
• Perioden för Tan (ax + b) och Cot (ax + b) är π/|a|.
• Perioden för Sec (ax + b) och Cosec (ax + b) är 2π/|a|.

• Om p är perioden för den periodiska funktionen f(x), så är af(x) + b, a>0 också en periodisk funktion med perioden p.

• Perioden för [a Sin x + b] och [a Cos x + b] är 2π.
• Perioden för [a Tan x + b] och [a Cot x + b] är π.
• Perioden för [a Sec x + b] och [a Cosec x + b] är 2π.

Öva problem baserade på periodisk funktion

Uppgift 1: Bestäm perioden för den periodiska funktionen cos(5x + 4).

Lösning:

Given funktion: cos (5x + 4)

Koefficienten för x = a = 5.

Vi vet det,

Perioden för cos x är 2π.

Så perioden för cos(5x + 4) är 2π/ |a| = 2π/5.

Därför är perioden för cos(5x + 4) 2π/5.

Uppgift 2: Hitta perioden för f(x) = cot 4x + sin 3x/2.

Lösning:

Given periodisk funktion: f(x) = spjälsäng 4x + sin 3x/2

Vi vet det,

Perioden för cot x är π och perioden för sin x är 2π.

Så perioden för spjälsäng 4x är π/4.

Så, perioden för sin 3x/2 är 2π/(3/2) = 4π/3.

Nu är beräkningen av perioden för funktionen f(x) = cot 4x + sin 3x/2,

Period för f(x) = (LCM för π och 4π)/(HCF av 3 och 4) = 4π/1 = 4π.

Därför är perioden för spjälsäng 4x + sin 3x/2 4π.

partiella derivat i latex

Uppgift 3: Skissa grafen för y = 3 sin 3x+ 5.

Lösning:

Givet att y = 3 sin 3x + 5

Den givna vågen är i form av y = a sin bx + c

Från grafen ovan kan vi skriva följande:

1. Period = 2π/|b| = 2π/3
2. Axel: y = 0 [x-axel]
3. Amplitud: 3
4. Maximalt värde = (3 × 1) + 5 = 8
5. Minsta värde = (3 × -1) + 5 = 2
6. Domän: { x : x ∈ R }
7. Område = [ 8, 2]

Uppgift 4: Bestäm perioden för den givna periodiska funktionen 5 sin(2x + 3).

Lösning:

Given funktion: 5 sin(2x + 3)

Koefficienten för x = a = 2.

Vi vet det,

Perioden för cos x är 2π.

ficklampa installera

Så, perioden för 5 sin(2x + 3) är 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Därför är perioden 5 sin(2x + 3) π.

Uppgift 5: Hitta perioden för f (x) = tan 3x + cos 5x.

Lösning:

Given periodisk funktion: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Vi vet det,

Perioden för tan x är π och perioden för cos x är 2π.

Så perioden för tan 3x är π/3.

Så perioden för cos 6x är 2π/5.

Nu är beräkningen av perioden för funktionen f(x) = tan 3x + cos 6x,

Period för f(x) = (LCM för π och 2π)/(HCF av 3 och 5) = 2π/1 = 2π.

Därför är perioden f (x) = tan 3x + cos 5x 2π.