Permutation och kombination är de mest grundläggande begreppen inom matematik och med dessa begrepp introduceras en ny gren av matematik för elever, dvs kombinatorik. Permutation och kombination är sätten att ordna en grupp av objekt genom att markera dem i en specifik ordning och bilda deras delmängder.

För att ordna grupper av data i en specifik ordning används permutations- och kombinationsformler. Att välja data eller objekt från en viss grupp sägs vara permutation, medan ordningen i vilken de är arrangerade kallas en kombination.

Permutationer och kombinationer

I den här artikeln kommer vi att studera begreppet permutation och kombination och deras formler, och använda dessa för att lösa många exempelproblem också.

Innehållsförteckning

• Permutation Betydelse
• Kombination Betydelse
• Härledning av permutations- och kombinationsformler
• Skillnaden mellan permutation och kombination
• Lösta exempel på permutation och kombination

Permutation Betydelse

Permutation är de distinkta tolkningarna av ett tillhandahållet antal komponenter som bärs en efter en, eller några, eller alla åt gången. Till exempel, om vi har två komponenter A och B, så finns det två troliga prestationer, AB och BA.

Ett antal permutationer när 'r'-komponenter är placerade av totalt 'n'-komponenter ⁿ P _r . Låt till exempel n = 3 (A, B och C) och r = 2 (Alla permutationer av storlek 2). Sen finns det ³ P ₂ sådana permutationer, vilket är lika med 6. Dessa sex permutationer är AB, AC, BA, BC, CA och CB. De sex permutationerna av A, B och C tagna tre åt gången visas i bilden nedan:

Permutation Betydelse

Permutationsformel

Permutationsformel används för att hitta antalet sätt att välja r saker ur n olika saker i en specifik ordning och utbyte är inte tillåtet och ges enligt följande:

Permutationsformel

Förklaring av Permutationsformel

Som vi vet är permutation en ordning av r saker ur n där ordningsföljd är viktig (AB och BA är två olika permutationer). Om det finns tre olika siffror 1, 2 och 3 och om någon är nyfiken på att permutera siffrorna med 2 i ett ögonblick, visar det (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3) (3, 1) och (3, 2). Det vill säga att det kan åstadkommas på 6 sätt.

Här är (1, 2) och (2, 1) distinkta. Återigen, om dessa 3 siffror ska läggas till att hantera alla samtidigt, kommer tolkningarna att vara (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1) ), (3, 1, 2) och (3, 2, 1) dvs på 6 sätt.

I allmänhet kan n distinkta saker ställas in med r (r^thsak kan vara vilken som helst av de återstående n – (r – 1) sakerna.

Därför är hela antalet permutationer av n distinkta saker som bär r åt gången n(n – 1)(n – 2)...[n – (r – 1)] vilket skrivs somⁿP_r. Eller med andra ord,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Kombination Betydelse

Det är de distinkta sektionerna av ett delat antal komponenter som bärs en efter en, eller några, eller alla åt gången. Till exempel, om det finns två komponenter A och B, så finns det bara ett sätt att välja två saker, välj båda.

Låt till exempel n = 3 (A, B och C) och r = 2 (Alla kombinationer av storlek 2). Sen finns det ³ C ₂ sådana kombinationer, vilket är lika med 3. Dessa tre kombinationer är AB, AC och BC.

Här, den kombination av två bokstäver av tre bokstäver A, B och C visas nedan, märker vi att i kombination är ordningen i vilken A och B tas inte viktig eftersom AB och BA representerar samma kombination.

Kombination Betydelse

Notera: I samma exempel har vi distinkta punkter för permutation och kombination. För, AB och BA är två distinkta objekt, dvs två distinkta permutationer, men för att välja är AB och BA samma, dvs. samma kombination.

Kombinationsformel

Kombinationsformel används för att välja 'r'-komponenter av ett totalt antal 'n'-komponenter, och ges av:

Kombinationsformel

Med hjälp av ovanstående formel för r och (n-r) får vi samma resultat. Således,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Förklaring av kombinationsformel

Kombination, å andra sidan, är en typ av pack. Återigen, av dessa tre siffror 1, 2 och 3 om set skapas med två nummer, då är kombinationerna (1, 2), (1, 3) och (2, 3).

Här är (1, 2) och (2, 1) identiska, till skillnad från permutationer där de är distinkta. Detta skrivs som³C₂. I allmänhet är antalet kombinationer av n distinkta saker som tas r åt gången,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Härledning av permutations- och kombinationsformler

Vi kan härleda dessa permutations- och kombinationsformler med de grundläggande räknemetoderna eftersom dessa formler representerar samma sak. Härledning av dessa formler är som följer:

Formel för härledning av permutationer

Permutation är att välja r distinkta objekt från n objekt utan ersättning och där urvalsordningen är viktig, genom grundsatsen om räkning och definitionen av permutation, får vi

P (n, r) = n . (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(n-(r+1))

Genom att multiplicera och dividera ovan med (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2.1, vi får

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Således är formeln för P (n, r) härledd.

primär nyckel sammansatt nyckel

Formel för härledning av kombinationer

Kombination är att välja r objekt av n objekt när urvalsordningen inte spelar någon roll. Dess formel beräknas som,

C(n, r) = Totalt antal permutationer /Antal sätt att ordna r olika objekt.
[Eftersom vi genom grundsatsen för räkning vet att antalet sätt att ordna r olika objekt på r sätt = r!]

C(n,r) = P (n, r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Således härleds formeln för kombination, dvs. C(n, r).

Skillnaden mellan permutation och kombination

Skillnader mellan permutation och kombination kan förstås av följande tabell:

Kolla också,

• Binomialsatsen
• Binomial expansion
• Binomiala slumpmässiga variabler
• Fundamental theorem of Counting

Lösta exempel på permutation och kombination

Exempel 1: Hitta antalet permutationer och kombinationer av n = 9 och r = 3 .

Lösning:

Givet, n = 9, r = 3

Använd formeln ovan:

För permutation:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

Skådespelerskan Sai Pallavi

För kombination:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Exempel 2: På hur många sätt kan en kommitté bestående av 4 män och 2 kvinnor väljas bland 6 män och 5 kvinnor?

Lösning:

Välj 4 män av 6 män =⁶C₄sätt = 15 sätt

Välj 2 kvinnor av 5 kvinnor =⁵C₂sätt = 10 sätt

Kommittén kan väljas i⁶C₄×⁵C₂= 150 sätt.

Exempel 3: På hur många sätt kan 5 olika böcker placeras på en hylla?

Lösning:

Detta är ett permutationsproblem eftersom ordningen på böckerna spelar roll.

Med hjälp av permutationsformeln får vi:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Därför finns det 120 sätt att ordna 5 olika böcker på en hylla.

Exempel 4: Hur många 3-bokstavsord kan skapas med bokstäverna från ordet FABEL?

Lösning:

Detta är ett permutationsproblem eftersom bokstävernas ordning spelar roll.

Med hjälp av permutationsformeln får vi:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Därför finns det 60 3-bokstavsord som kan bildas med hjälp av bokstäverna från ordet FABLE.

Exempel 5: En kommitté med 5 medlemmar ska bildas av en grupp på 10 personer. På hur många sätt kan detta göras?

Lösning:

Detta är ett kombinationsproblem eftersom ordningen på medlemmarna inte spelar någon roll.

Med hjälp av kombinationsformeln får vi:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Därför finns det 252 sätt att bilda en kommitté med 5 medlemmar från en grupp på 10 personer.

Exempel 6: En pizzarestaurang erbjuder 4 olika pålägg till sina pizzor. Om en kund vill beställa en pizza med exakt 2 pålägg, på hur många sätt kan detta göras?

Lösning:

Detta är ett kombinationsproblem eftersom ordningen på påläggen inte spelar någon roll.

Med hjälp av kombinationsformeln får vi:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Därför finns det 6 sätt att beställa en pizza med exakt 2 pålägg från 4 olika pålägg.

Exempel 7: Hur stora ord kan skapas genom att använda 2 bokstäver från termen LOVE?

Lösning:

Termen LOVE har 4 distinkta bokstäver.

Därför krävs antal ord =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Nödvändigt antal ord = 4! / 2! = 24/2

⇒ Nödvändigt antal ord = 12

Exempel 8: Hur många ord med 3 konsonanter och 2 vokaler kan bildas av 5 konsonanter och 3 vokaler?

Lösning:

Antal sätt att välja 3 konsonanter från 5 =⁵C₃

Antal sätt att välja 2 vokaler från 3 =³C₂

Antal sätt att välja 3 konsonanter från 2 och 2 vokaler från 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Obligatoriskt antal = 10 × 3

reagera inline stil

= 30

Det betyder att vi kan ha 30 grupper där varje grupp innehåller totalt 5 bokstäver (3 konsonanter och 2 vokaler).

Antal sätt att ordna 5 bokstäver sinsemellan

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Därför är det nödvändiga antalet sätt = 30 × 120

⇒ Nödvändigt antal sätt = 3600

Exempel 9: Hur många olika kombinationer får du om du har 5 objekt och väljer 4?

Lösning:

Infoga de givna talen i kombinationsekvationen och lös. n är antalet objekt som finns i uppsättningen (5 i detta exempel); r är antalet objekt du väljer (4 i det här exemplet):

C(n, r) = n! /r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Lösningen är 5.

Exempel 10: Av 6 konsonanter och 3 vokaler, hur många uttryck av 2 konsonanter och 1 vokal kan skapas?

Lösning:

Antal sätt att välja 2 konsonanter från 6 =⁶C₂

Antal sätt att välja 1 vokal från 3 =³C₁

Antal sätt att välja 3 konsonanter från 7 och 2 vokaler från 4.

⇒ Nödvändiga sätt =⁶C₂׳C₁

⇒ Nödvändiga sätt = 15 × 3

⇒ Nödvändiga sätt= 45

Det betyder att vi kan ha 45 grupper där varje grupp innehåller totalt 3 bokstäver (2 konsonanter och 1 vokal).

Antal sätt att ordna 3 bokstäver sinsemellan = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Nödvändiga sätt att ordna tre bokstäver = 6

Därför är det nödvändiga antalet sätt = 45 × 6

⇒ Nödvändiga sätt = 270

Exempel 11: I hur många distinkta former kan bokstäverna i termen 'TELEFON' organiseras så att vokalerna konsekvent komma gemensamt?

Lösning:

Ordet 'TELEFON' har 5 bokstäver. Den har vokalerna 'O',' E', i den och dessa 2 vokaler bör konsekvent komma tillsammans. Således kan dessa två vokaler grupperas och ses som en enda bokstav. Det vill säga PHN(OE).

Därför kan vi ta totala bokstäver som 4 och alla dessa bokstäver är distinkta.

Antal metoder för att organisera dessa bokstäver = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Obligatoriska sätt att ordna bokstäver = 24

Alla de två vokalerna (OE) är distinkta.

Antal sätt att ordna dessa vokaler sinsemellan = 2! = 2 × 1

⇒ Nödvändiga sätt att ordna vokaler = 2

Därför är det nödvändiga antalet sätt = 24 × 2

⇒ Nödvändiga sätt = 48.

Vanliga frågor om permutationer och kombinationer

Vad är faktorformeln?

Faktoriell formel används för beräkning av permutationer och kombinationer. Faktorformeln för n! ges som

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Till exempel 3! = 3 × 2 × 1 = 6 och 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Vad gör ⁿ C _r representera?

ⁿC_rrepresenterar antalet kombinationer som kan göras från n föremål som tar r vid en tid.

Vad menar du med permutationer och kombinationer?

En permutation är en handling att ordna saker i en specifik ordning. Kombinationer är sätten att välja r föremål från en grupp av n objekt, där ordningen på det valda objektet inte påverkar den totala kombinationen.

Skriv exempel på permutationer och kombinationer.

Antal 3-bokstavsord som kan bildas genom att använda bokstäverna i ordet säger, HEJ;⁵P₃= 5!/(5-3)! detta är ett exempel på en permutation.
Antal kombinationer vi kan skriva orden med hjälp av vokalerna i ordet HEJ;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], detta är ett exempel på en kombination.

Skriv formeln för att hitta permutationer och kombinationer.

• Formel för beräkning av permutationer: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Formel för att beräkna kombinationer: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Skriv några verkliga exempel på permutationer och kombinationer.

Sortering av personer, siffror, bokstäver och färger är några exempel på permutationer.
Att välja meny, kläder och ämnen är exempel på kombinationer.

Vad är värdet på 0!?

Värdet på 0! = 1, är mycket användbar för att lösa permutations- och kombinationsproblemen.