logo

TechCodeview

Primtal

Vad är primtal?

A primtal definieras som ett naturligt tal större än 1 och är delbart med endast 1 och sig själv.

Primtalet är med andra ord ett positivt heltal större än 1 som har exakt två faktorer, 1 och själva talet. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. . .

Notera: 1 är varken primtal eller sammansatt. De återstående talen, förutom 1, klassificeras som primtal och sammansatta tal.



primtal

Några intressanta fakta om primtal:

  • Förutom 2, som är den minsta primtal och det enda jämna primtalet, alla primtal är udda tal.
  • Varje primtal kan representeras i form av 6n + 1 eller 6n – 1 förutom primtalen 2 och 3 , där n är vilket naturligt tal som helst.
  • 2 och 3 är bara två naturliga tal i följd som är primtal.
  • Goldbachs gissning: Varje jämnt heltal större än 2 kan uttryckas som summan av två primtal.
  • Wilsons teorem : Wilsons teorem säger att ett naturligt tal p> 1 är ett primtal om och endast om

(s – 1) ! ≡ -1 mot p
ELLER,
(s – 1) ! ≡ (p-1) mod sid

an-1≡ 1 (mod n)
ELLER,
an-1% n = 1

  • Primtalssats : Sannolikheten att ett givet, slumpmässigt valt tal n är primtal är omvänt proportionell mot dess antal siffror, eller mot logaritmen för n.
  • Lemoines gissning : Alla udda heltal större än 5 kan uttryckas som summan av ett udda primtal (alla andra primtal än 2 är udda) och ett jämnt semiprimtal. Ett halvprimtal är en produkt av två primtal. Detta kallas Lemoines gissning.

Egenskaper för primtal:

  • Varje tal större än 1 kan delas med minst ett primtal.
  • Varje jämnt positivt heltal större än 2 kan uttryckas som summan av två primtal.
  • Förutom 2 är alla andra primtal udda. Med andra ord kan vi säga att 2 är det enda jämna primtalet.
  • Två primtal är alltid samprima till varandra.
  • Varje sammansatt tal kan inkluderas i primfaktorer och individuellt är alla dessa unika till sin natur.

Primtal och samprimtal:

Det är viktigt att skilja på primtal och samprimtal . Nedan listas skillnaderna mellan primtal och samprimtal.

  • Samprimtal betraktas alltid som ett par, medan ett primtal är ett enda tal.
  • Samprimtal är tal som inte har någon gemensam faktor förutom 1. Däremot har primtal inte ett sådant villkor.
  • Ett samprimtal kan vara antingen primtal eller sammansatt, men dess största gemensamma faktor (GCF) måste alltid vara 1. Till skillnad från sammansatta tal har primtal bara två faktorer, 1 och själva talet.
  • Exempel på co-prime: 13 och 15 är co-primtal. Faktorerna 13 är 1 och 13 och faktorerna 15 är 1, 3 och 5. Vi kan se att de bara har 1 som gemensam faktor, därför är de coprimtal.
  • Exempel på prime: Några exempel på primtal är 2, 3, 5, 7 och 11 osv.

Hur kontrollerar man om ett tal är primtal eller inte?

Naivt förhållningssätt: Det naiva förhållningssättet är att

Iterera från 2 till (n-1) och kontrollera om något tal i detta intervall delar sig n . Om antalet delar sig n , då är det inte ett primtal.

Tidskomplexitet: PÅ)
Hjälputrymme: O(1)

Naivt tillvägagångssätt (rekursivt): Rekursion kan också användas för att kontrollera om ett tal mellan 2 till n – 1 delar n. Om vi ​​hittar något tal som delar, returnerar vi falskt.

Nedan är implementeringen av ovanstående idé:

C++




// C++ program to check whether a number> // is prime or not using recursion> #include> using> namespace> std;> > // function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >static> int> i = 2;> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> }> > // Driver Code> int> main()> {> > >isPrime(35) ? cout <<>' true '> : cout <<>' false '>;> >return> 0;> }> > // This code is contributed by yashbeersingh42> 

>

>

Java




// Java program to check whether a number> // is prime or not using recursion> import> java.io.*;> > class> GFG {> > >static> int> i =>2>;> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >{> > >// Corner cases> >if> (n ==>0> || n ==>1>) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// Base cases> >if> (n % i ==>0>) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>35>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by divyeshrabadiya07> 

>

>

Python3




# Python3 program to check whether a number> # is prime or not using recursion> > # Function check whether a number> # is prime or not> > > def> isPrime(n, i):> > ># Corner cases> >if> (n>=>=> 0> or> n>=>=> 1>):> >return> False> > ># Checking Prime> >if> (n>=>=> i):> >return> True> > ># Base cases> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >i>+>=> 1> > >return> isPrime(n, i)> > > # Driver Code> if> (isPrime(>35>,>2>)):> >print>(>'true'>)> else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by bunnyram19> 

>

>

C#




// C# program to check whether a number> // is prime or not using recursion> using> System;> class> GFG {> > >static> int> i = 2;> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >static> bool> isPrime(>int> n)> >{> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >static> void> Main()> >{> >if> (isPrime(35)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by divyesh072019> 

>

>

Javascript




> >// JavaScript program to check whether a number> >// is prime or not using recursion> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >var> i = 2;> > >function> isPrime(n) {> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)>return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> > >isPrime(35) ? document.write(>' true '>) : document.write(>' false '>);> > >// This code is contributed by rdtank.> >>

Charat i sträng 

>

>

Produktion 

 false>

Tidskomplexitet: PÅ)
Hjälputrymme: O(N) om vi betraktar rekursionsstacken. Annars är det O(1).

Effektivt tillvägagångssätt: En effektiv lösning är att:

Iterera genom alla siffror från 2 till kvadratroten av n och för varje tal kontrollera om det delar n [eftersom om ett tal uttrycks som n = xy och något av x eller y är större än roten av n, det andra måste vara mindre än rotvärdet]. Om vi ​​hittar något tal som delar, returnerar vi falskt.

Nedan är implementeringen:

C++14




// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to square root of n> >for> (>int> i = 2; i <=>sqrt>(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> }> > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> 

>

>

Java




// A school method based Java program to> // check if a number is prime> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Check for number prime or not> >static> boolean> isPrime(>int> n)> >{> > >// Check if number is less than> >// equal to 1> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if number is 2> >else> if> (n ==>2>)> >return> true>;> > >// Check if n is a multiple of 2> >else> if> (n %>2> ==>0>)> >return> false>;> > >// If not, then just check the odds> >for> (>int> i =>3>; i <= Math.sqrt(n); i +=>2>) {> >if> (n % i ==>0>)> >return> false>;> >}> >return> true>;> >}> > >// Driver code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>19>))> >System.out.println(>'true'>);> > >else> >System.out.println(>'false'>);> >}> }> > // This code is contributed by Ronak Bhensdadia> 

>

>

Python3




# A school method based Python3 program> # to check if a number is prime> > > # import sqrt from math module> from> math>import> sqrt> > > > # Function check whether a number> # is prime or not> def> isPrime(n):> > ># Corner case> >if> (n <>=> 1>):> >return> False> > ># Check from 2 to sqrt(n)> >for> i>in> range>(>2>,>int>(sqrt(n))>+>1>):> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >return> True> > > # Driver Code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >if> isPrime(>11>):> >print>(>'true'>)> >else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by Sachin Bisht> 

>

>

C#




// A school method based C# program to> // check if a number is prime> using> System;> > class> GFG {> > >// Function check whether a> >// number is prime or not> >static> bool> isPrime(>int> n)> >{> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to sqrt(n)> >for> (>int> i = 2; i <= Math.Sqrt(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> >}> > >// Driver Code> >static> void> Main()> >{> >if> (isPrime(11))> >Console.Write(>'true'>);> > >else> >Console.Write(>'false'>);> >}> }> > // This code is contributed by Sam007> 

>

>

Javascript

java hashset




// A school method based Javascript program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to n-1> >for> (let i = 2; i if (n % i == 0) return false; return true; } // Driver Code isPrime(11) ? console.log(' true') : console.log(' false'); // This code is contributed by Mayank Tyagi> 

>

>

PHP




// A school method based PHP program to // check if a number is prime // Function check whether a number // is prime or not function isPrime($n) { // Corner case if ($n <= 1) return false; // Check from 2 to n-1 for ($i = 2; $i <$n; $i++) if ($n % $i == 0) return false; return true; } // Driver Code if(isPrime(11)) echo('true'); else echo('false'); // This code is contributed by Ajit. ?>> 

>

>

Produktion 

true>

Tidskomplexitet: O(sqrt(n))
Extra utrymme: O(1)

Ett annat effektivt tillvägagångssätt: För att kontrollera om talet är primtal eller inte, följ idén nedan:

Vi kommer att ta itu med några siffror som 1, 2, 3 och talen som är delbara med 2 och 3 i separata fall och för återstående siffror. Iterera från 5 till sqrt(n) och kontrollera för varje iteration om (det värdet) eller (det värdet + 2) delar n eller inte och öka värdet med 6 [eftersom vilket primtal som helst kan uttryckas som 6n+1 eller 6n-1 ]. Om vi ​​hittar något tal som delar, returnerar vi falskt.

Nedan är implementeringen av ovanstående idé:

C++




// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> > > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi kumari> 

>

>

C




java list metoder
// A school method based C program to> // check if a number is prime> #include> #include> > // Function check whether a number> // is prime or not> int> isPrime(>int> n)> n % 3 == 0)> >return> 0;> >// Check from 5 to square root of n> >// Iterate i by (i+6)> >for> (>int> i = 5; i * i <= n; i = i + 6)> >if> (n % i == 0> > // Driver Code> int> main()> {> >if> (isPrime(11) == 1)> >printf>(>'true '>);> >else> >printf>(>'false '>);> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi Kumari> 

>

>

Java




// Java program to check whether a number> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if n=2 or n=3> >if> (n ==>2> > > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>11>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Sayan Chatterjee> 

>

>

Python3




import> math> > def> is_prime(n:>int>)>->>>bool>:> > ># Check if n=1 or n=0> >if> n <>=> 1>:> >return> 'false'> > ># Check if n=2 or n=3> >if> n>=>=> 2> or> n>=>=> 3>:> >return> 'true'> > ># Check whether n is divisible by 2 or 3> >if> n>%> 2> =>=> 0> or> n>%> 3> =>=> 0>:> >return> 'false'> > ># Check from 5 to square root of n> ># Iterate i by (i+6)> >for> i>in> range>(>5>,>int>(math.sqrt(n))>+>1>,>6>):> >if> n>%> i>=>=> 0> or> n>%> (i>+> 2>)>=>=> 0>:> >return> 'false'> > >return> 'true'> > if> __name__>=>=> '__main__'>:> >print>(is_prime(>11>))> 

>

>

C#




// C# program to check whether a number> using> System;> class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> bool> isPrime(>int> n)> >> > >// Driver Code> >public> static> void> Main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(11)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Abhijeet> // Kumar(abhijeet_19403)> 

>

>

Javascript




// A school method based JS program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> n % (i + 2) == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> > > // Driver Code> isPrime(11) ? console.log(>'true'>) : console.log(>'false'>);> > > // This code is contributed by phasing17> 

>

>

Produktion 

true>

Tidskomplexitet: O(sqrt(n))
Extra utrymme: O(1)

Effektiva lösningar

  • Primalitetstest | Set 1 (Introduktion och skolmetod)
  • Primalitetstest | Set 2 (Fermat-metod)
  • Primalitetstest | Set 3 (Miller–Rabin)
  • Primalitetstest | Set 4 (Solovay-Strassen)
  • Lucas Primalitetstest

Algoritmer för att hitta alla primtal som är mindre än N.

  • Sil av Eratosthenes
  • Sikt av Eratosthenes i 0(n) tidskomplexitet
  • Segmenterad sil
  • Sikt av Sundaram
  • Bitvis sil
  • Senaste artiklarna om Sieve!

Fler problem relaterade till primtal

  • Hitta två distinkta primtal med a given produkt
  • Skriv ut alla primtal mindre än eller lika med N
  • Rekursivt program för primtal
  • Hitta två primtal med a given summa
  • Hitta den högst förekommande siffran i primtal i ett intervall
  • Prime Factorization med Sieve O(log n) för flera frågor
  • Program för att skriva ut alla primtalsfaktorer för ett givet tal
  • Minsta primtalsfaktor för tal till n
  • Primära faktorer för LCM av arrayelement – ​​techcodeview.com
  • Program för Goldbachs förmodan
  • Primtal och Fibonacci
  • Sammansatt tal
  • Nya artiklar om primtal!