Propositionell logik är en gren av matematiken som studerar de logiska sambanden mellan propositioner (eller påståenden, meningar, påståenden) som en helhet och kopplade via logiska bindemedel.

I den här artikeln har vi behandlat propositionell logik och relaterade ämnen i detalj.

Innehållsförteckning

• Vad är logik?
• Propositionell logik
• Sanningstabell
• 1. Negation
• 2. Konjunktion
• 3. Disjunktion
• 4. Exklusivt Or
• 5. Implikation
• 6. Bivillkorlig eller dubbel implikation

Vad är logik?

Logik är grunden för alla matematiska resonemang och alla automatiserade resonemang. Logikens regler anger innebörden av matematiska påståenden. Dessa regler hjälper oss att förstå och resonera med påståenden som –

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Vilket på enkel engelska betyder Det finns ett heltal som inte är summan av två kvadrater .

Betydelsen av matematisk logik

Logikens regler ger exakt mening åt matematiska påståenden. Dessa regler används för att skilja mellan giltiga och ogiltiga matematiska argument. Förutom dess betydelse för att förstå matematiska resonemang har logik många tillämpningar inom datavetenskap, allt från design av digitala kretsar till konstruktion av datorprogram och verifiering av programs riktighet.

Propositionell logik

Vad är ett förslag? En proposition är logikens grundläggande byggsten. Det definieras som en deklarativ mening som är antingen Sann eller Falsk, men inte båda. De Sanningsvärde av en proposition är True (betecknas som T) om det är ett sant påstående, och False (betecknat som F) om det är ett falskt påstående. Till exempel,

1. Solen går upp i öster och går ner i väst.
2. 1 + 1 = 2
3. 'b' är en vokal.

Alla ovanstående meningar är påståenden, där de två första är Giltig (Sant) och den tredje är Ogiltig (False). Vissa meningar som inte har ett sanningsvärde eller kan ha mer än ett sanningsvärde är inte påståenden. Till exempel,

1. Vad är klockan?
2. Gå ut och lek
3. x + 1 = 2

Ovanstående meningar är inte påståenden eftersom de två första inte har ett sanningsvärde, och den tredje kan vara sann eller falsk. För att representera propositioner, propositionella variabler används. Genom konvention representeras dessa variabler av små alfabet som t.exp,:q,:r,:s . Det logikområde som handlar om propositioner kallas propositionskalkyl eller propositionell logik . Det inkluderar också att ta fram nya förslag med hjälp av befintliga. Propositioner konstruerade med en eller flera propositioner kallas sammansatta förslag . Förslagen kombineras med hjälp av Logiska kopplingar eller Logiska operatörer .

Propositionell logik

java gör medan exempel

Sanningstabell

Eftersom vi behöver veta sanningsvärdet av en proposition i alla möjliga scenarier, överväger vi alla möjliga kombinationer av propositionerna som är sammanfogade av logiska anslutningar för att bilda den givna sammansatta propositionen. Denna sammanställning av alla möjliga scenarier i ett tabellformat kallas en sanningstabell . Vanligaste logiska bindemedel-

1. Negation

Omp är en proposition, då negationen avp betecknas med eg p , vilket när det översätts till enkel engelska betyder- Det är inte så att sid eller helt enkelt inte sid . Sanningsvärdet av -s är motsatsen till sanningsvärdet av sid . Sanningstabellen för -s är:

Exempel, Negation av Det regnar idag, är Det är inte så att det regnar idag eller helt enkelt Det regnar inte idag.

2. Konjunktion

För två förslagp ochq , deras konjunktion betecknas medpwedge q , som betyderp ochq . Konjunktionenpwedge q är sant när bådap ochq är Sanna, annars Falska. Sanningstabellen förpwedge q är:

Exempel, Konjunktion av propositionernap – Idag är det fredag ​​ochq - Det regnar idag,pwedge q idag är det fredag ​​och det regnar idag. Detta förslag är sant endast på regniga fredagar och är falskt på alla andra regniga dagar eller på fredagar när det inte regnar.

3. Disjunktion

För två förslagp ochq , deras disjunktion betecknas medpvee q , som betyderp ellerq . Disjunktionenpvee q är sant när antingenp ellerq är sant, annars falskt. Sanningstabellen förpvee q är:

Exempel, Disjunktion av propositionernap – Idag är det fredag ​​ochq - Det regnar idag,pvee q är Idag är det fredag ​​eller så regnar det idag. Detta förslag är sant på alla dagar som är en fredag ​​eller en regnig dag (inklusive regniga fredagar) och är falsk på alla andra dagar än fredagar när det inte heller regnar.

4. Exklusivt Or

För två förslagp ochq , deras exklusiva eller betecknas medpoplus q , vilket betyder antingenp ellerq men inte båda. Den exklusiva ellerpoplus q är sant när antingenp ellerq är Sant och Falskt när båda är sanna eller båda är falska. Sanningstabellen förpoplus q är:

Exempel, Exklusivt eller av förslagenp – Idag är det fredag ​​ochq - Det regnar idag,poplus q är Antingen är det fredag ​​i dag eller så regnar det idag, men inte båda. Detta förslag är sant på alla dagar som är en fredag ​​eller en regnig dag (ej regniga fredagar) och är falsk på alla andra dagar än fredagar när det inte regnar eller regniga fredagar.

5. Implikation

För två förslagp ochq , uttalandet ifp sedanq kallas en implikation och den betecknas medp ightarrow q . I implikationenp ightarrow q ,p kallas hypotes eller föregående eller premiss ochq kallas slutsats eller Följd . Innebörden ärp ightarrow q kallas också a Villkorligt uttalande . Implikationen är falsk närp är sant ochq är falskt annars är det sant. Sanningstabellen förp ightarrow q är:

Man kan undra varförp ightarrow q sant närp är falskt. Detta beror på att implikationen garanterar att närp ochq är sanna så är implikationen sann. Men implikationen garanterar inget när premissenp är falskt. Det finns inget sätt att veta om implikationen är falsk eller intep hände inte. Denna situation liknar den oskyldiga tills skyldig hållning, vilket innebär att implikationenp ightarrow q anses vara sant tills det bevisats falskt. Eftersom vi inte kan kalla implikationenp ightarrow q falskt närp är falskt är vårt enda alternativ att kalla det sant.

Detta följer av Explosionsprincipen som säger: Ett falskt påstående antyder vad som helst. Villkorliga påståenden spelar en mycket viktig roll i matematiska resonemang, därför används en mängd olika terminologier för att uttryckap ightarrow q , av vilka några listas nedan.

Om p, så är qp tillräckligt för qq när pa nödvändiga villkor för p är qp endast om qq om inte ≠pq följer av p

designmönster java

Exempel, Om det är fredag ​​så regnar det idag är ett förslag som är av formenp ightarrow q . Ovanstående förslag är sant om det inte är fredag ​​(förutsättningen är falsk) eller om det är fredag ​​och det regnar, och det är falskt när det är fredag ​​men det regnar inte.

6. Bivillkorlig eller dubbel implikation

För två förslagp ochq , påståendetp om och bara om (iff)q kallas en bivillkorlig och den betecknas medpleftrightarrow q . Påståendetpleftrightarrow q kallas också a bi-implikation .pleftrightarrow q har samma sanningsvärde som(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Innebörden är sann närp ochq har samma sanningsvärden och är falsk annars. Sanningstabellen förpleftrightarrow q är:

Några andra vanliga uttryckssättpleftrightarrow q är:

p är nödvändigt och tillräckligt för qif p sedan q, och omvänt p ​​om q

Exempel: Det regnar idag om och bara om det är fredag ​​idag. är en proposition som är av formenpleftrightarrow q . Ovanstående förslag är sant om det inte är fredag ​​och det inte regnar eller om det är fredag ​​och det regnar, och det är falskt när det inte är fredag ​​eller det inte regnar. Träning:

saira banu skådespelare

1) Tänk på följande påståenden:

• P: Bra mobiltelefoner är inte billiga.
• F: Billiga mobiltelefoner är inte bra.
• L: P innebär Q
• M: Q antyder P
• N: P är ekvivalent med Q

Vilket av följande om L, M och N är KORREKT? (Gate 2014)

(A) Endast L är SANT.

(B) Endast M är SANT.

(C) Endast N är SANT.

(D) L, M och N är SANT.

För lösning, se GATE | GATE-CS-2014-(Set-3) | Fråga 11

2) Vilket av följande motsvarar inte p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

För lösning, se GATE | GATE-CS-2015 (uppsättning 1) | Fråga 65