Liknande trianglar är trianglar med samma form men kan ha olika storlekar. Liknande trianglar har motsvarande sidor i proportion till varandra och motsvarande vinklar lika med varandra. Liknande trianglar skiljer sig från kongruenta trianglar. Två kongruenta figurer är alltid lika, men två liknande figurer behöver inte vara kongruenta.

Två trianglar anses vara lika när deras motsvarande vinklar matchar och deras sidor är proportionella. Det betyder att liknande trianglar har samma form, även om deras storlekar kan skilja sig åt. Å andra sidan definieras trianglar som kongruenta när de inte bara delar samma form utan också har motsvarande sidor som är identiska i längd.

Nu ska vi lära oss mer om liknande trianglar och deras egenskaper med lösta exempel och andra i detalj i den här artikeln.

Innehållsförteckning

• Vad är liknande trianglar?
• Liknande trianglar Definition
• Exempel på liknande trianglar
• Grundläggande proportionalitetssats (Thales sats)
• Kriterier för liknande trianglar
• Liknande trianglar formel
• Formel för liknande trianglar i geometri
• Liknande triangelregler
• Angle-Angle (AA) eller AAA Similarity Theorem
• Side-Angle-Side eller SAS Similarity Theorem
• Side-Side-Side eller SSS Similarity Theorem
• Hur hittar man liknande trianglar?
• Area av liknande trianglar – sats
• Skillnaden mellan liknande trianglar och kongruenta trianglar
• Tillämpningar av liknande trianglar
• Viktiga anmärkningar om liknande trianglar
• Lösta frågor om liknande trianglar
• Övningsfrågor Liknande trianglar

Vad är liknande Trianglar?

Liknande trianglar är trianglar som liknar varandra, men deras storlekar kan vara olika. Liknande föremål har samma form men olika storlekar. Detta innebär att liknande former, när de förstoras eller förminskas, ska läggas över varandra. Denna egenskap av liknande former är känd som Likhet .

Det finns tre liknande triangelsatser:

• AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
• SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
• SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Liknande trianglar Definition

Två trianglar kallas likartade trianglar om deras motsvarande vinklar är lika och motsvarande sidor är i samma proportion. Motsvarande vinklar för två likartade trianglar måste vara lika. Liknande trianglar kan ha olika längder på triangelns sidor, men förhållandet mellan längderna på motsvarande sidor måste vara detsamma.

När två trianglar är lika innebär det att:

c-kod abs

• Alla par av motsvarande vinklar i trianglarna är lika.
• Alla par av motsvarande sidor i triangeln är proportionella.

Symbolen ∼ används för att representera likheten mellan liknande trianglar. Så när två trianglar är lika, skriver vi det som △ABC ∼ △DEF.

Exempel på liknande trianglar

Olika exempel på liknande trianglar är:

• Om vi ​​tar två trianglar som har sidor i förhållandet så är de lika trianglar.
• Flaggstängerna och deras skuggor representerar liknande trianglar.

Trianglarna som visas i bilden nedan är lika och vi representerar dem som △ABC ∼ △PQR.

Grundläggande proportionalitetssats (Thales sats)

Basic Proportionality Theorem, även känd som Thales’ Theorem, är ett grundläggande begrepp inom geometri som relaterar till likheten mellan trianglar. Den säger att om en linje dras parallellt med en sida av en triangel delar den de andra två sidorna proportionellt. I enklare termer, om en linje parallell med en sida av en triangel skär de andra två sidorna, delar den dessa sidor proportionellt.

Matematiskt, om en linje DE dras parallellt med ena sidan av triangeln ABC, skärande sidorna AB och AC vid punkterna D och E, så enligt den grundläggande proportionalitetssatsen:

BD/DA = CE/HER

Detta teorem är en följd av likheten mellan trianglar som bildas av den parallella linjen och sidorna i den ursprungliga triangeln. Specifikt är trianglarna ADE och ABC, såväl som trianglarna ADC och AEB, lika på grund av att motsvarande vinklar är lika. Följaktligen är förhållandena mellan motsvarande sidor i liknande trianglar lika, vilket leder till proportionalitetsförhållandet som beskrivs av Basic Proportionity Theorem.

Grundläggande proportionalitetssats används ofta inom geometri och trigonometri för att lösa olika problem som involverar parallella linjer och trianglar. Det fungerar som en grundläggande princip för att förstå egenskaperna hos liknande trianglar och förhållandet mellan deras motsvarande sidor och vinklar. Dessutom utgör den grunden för mer avancerade begrepp inom geometri, såsom Parallel Lines Theorem och tillämpningar i olika geometriska konstruktioner och bevis.

Kriterier för liknande trianglar

Om två trianglar är lika måste de uppfylla en av följande regler,

• Två par motsvarande vinklar är lika. (AA-regel)
• Tre par av motsvarande sidor är proportionella. (SSS-regel)
• Två par motsvarande sidor är proportionella och motsvarande vinklar mellan dem är lika. (SAS-regel)

Läs i detalj: Kriterier för liknande trianglar

Liknande trianglar formel

I det sista avsnittet studerade vi två villkor med vilka vi kan verifiera om de givna trianglarna är lika eller inte. Villkoren är när två trianglar är lika; deras motsvarande vinklar är lika, eller motsvarande sidor är i proportion. Genom att använda båda villkoren kan vi bevisa att △PQR och △XYZ liknar varandra från följande uppsättning liknande triangelformler.

Formel för liknande trianglar i geometri

I △PQR och △XYZ om,

1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Ovanstående två trianglar liknar varandra, d.v.s. △PQR ∼ △XYZ.

Liknande triangelregler

Likhetssatserna hjälper oss att ta reda på om de två trianglarna är lika eller inte. När vi inte har måttet på vinklar eller trianglarnas sidor använder vi likhetssatserna.

Det finns tre huvudtyper av likhetsregler, enligt nedan:

• AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
• SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
• SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Angle-Angle (AA) eller AAA Similarity Theorem

AA likhetskriterium säger att om två vinklar i en triangel är lika med två vinklar i en annan triangel, så måste de vara likartade trianglar. En likhetsregel är lätt att tillämpa när vi bara vet måttet på vinklarna och inte har någon aning om längden på triangelns sidor.

I bilden nedan, om det är känt att ∠B = ∠G och ∠C = ∠F:

Och vi kan säga att med AA-likhetskriteriet är △ABC och △EGF lika eller △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF och ∠A = ∠E.

Side-Angle-Side eller SAS Similarity Theorem

Enligt SAS likhetsteorem, om två sidor i den första triangeln står i exakt proportion till de två sidorna av den andra triangeln tillsammans med vinkeln som bildas av dessa två sidor av de individuella trianglarna är lika, då måste de vara likartade trianglar. Denna regel tillämpas generellt när vi bara vet måttet på två sidor och vinkeln som bildas mellan dessa två sidor i båda trianglarna.

I bilden nedan, om det är känt att AB/DE = AC/DF och ∠A = ∠D

Och vi kan säga att med SAS likhetskriteriet är △ABC och △DEF lika eller △ABC ∼ △DEF.

Side-Side-Side eller SSS Similarity Theorem

Enligt SSS likhetsteoremet kommer två trianglar att vara lika varandra om motsvarande förhållande mellan alla sidor i de två trianglarna är lika. Detta kriterium används ofta när vi bara har måttet på triangelns sidor och har mindre information om triangelns vinklar.

linux mint cinnamon vs mate

I bilden nedan, om det är känt att PQ/ED = PR/EF = QR/DF

Och vi kan säga att med SSS-likhetskriteriet är △PQR och △EDF lika eller △PQR ∼ △EDF.

Liknande trianglar egenskaper

Liknande trianglar har olika egenskaper som används i stor utsträckning för att lösa olika geometriska problem. Några av de vanliga egenskaperna hos liknande triangel:

• Formen på liknande trianglar är fast men deras storlekar kan vara olika.
• Motsvarande vinklar av liknande trianglar är lika.
• Motsvarande sidor av liknande trianglar har gemensamma förhållanden.
• Förhållandet mellan arean av liknande trianglar är lika med kvadraten på förhållandet mellan deras motsvarande sida.

Hur hittar man liknande trianglar?

Två givna trianglar kan bevisas som likartade trianglar med de ovan givna satserna. Vi kan följa stegen nedan för att kontrollera om de givna trianglarna är lika eller inte:

Steg 1: Notera de givna måtten på trianglarna (motsvarande sidor eller motsvarande vinklar).

Steg 2: Kontrollera om dessa dimensioner följer något av villkoren för liknande triangelsatser (AA, SSS, SAS).

Steg 3 : De givna trianglarna, om de uppfyller någon av likhetssatserna, kan representeras med hjälp av ∼ för att beteckna likhet.

Detta kan förstås bättre med hjälp av följande exempel:

Exempel: Kontrollera om △ABC och △PQR är likartade trianglar eller inte med hjälp av givna data: ∠A = 65°, ∠B = 70º och ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Med hjälp av given mätning av vinklar kan vi inte dra slutsatsen om de givna trianglarna följer AA-likhetskriteriet eller inte. Låt oss hitta måttet på den tredje vinkeln och utvärdera det.

Vi vet, med hjälp av vinkelsummaegenskapen för en triangel, ∠C i △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

På liknande sätt, ∠Q i △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Därför kan vi dra slutsatsen att i △ABC och △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P och ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Area av liknande trianglar – sats

Liknande triangelareasats säger att för två liknande trianglar är förhållandet mellan trianglarnas area proportionellt mot kvadraten på förhållandet mellan deras motsvarande sidor. Antag att vi får två liknande trianglar, ΔABC och ΔPQR då

Enligt liknande triangelsats:

(Area av ΔABC)/(Area av ΔPQR) = (AB/PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

Skillnaden mellan liknande trianglar och kongruenta trianglar

Liknande trianglar och kongruenta trianglar är två typer av trianglar som används ofta inom geometri för att lösa olika problem. Varje typ av triangel har olika egenskaper och den grundläggande skillnaden mellan dem diskuteras i tabellen nedan.

Tillämpningar av liknande trianglar

Olika tillämpningar av den liknande triangeln som vi ser i det verkliga livet är,

• Skugga och höjd för olika objekt beräknas med hjälp av konceptet med liknande trianglar.
• Map Scaling använder konceptet med en liknande triangel.
• Fotografiska enheter använder liknande triangelegenskaper för att fånga olika bilder.
• Model Making använder konceptet med liknande trianglar.
• Navigation och trigonometri använder också den liknande triangelmetoden för att lösa olika problem osv.

Viktiga anmärkningar om liknande trianglar:

• Förhållandet mellan områden med liknande trianglar är lika med kvadraten på förhållandet mellan deras motsvarande sidor.
• Alla kongruenta trianglar är lika, men alla liknande trianglar behöver inte nödvändigtvis vara kongruenta.
• denna ' ~ ’-symbolen används för att beteckna liknande trianglar.

Lösta frågor om liknande trianglar

Fråga 1: I den givna figuren 1, DE || FÖRE KRISTUS. Om AD = 2,5 cm, DB = 3 cm och AE = 3,75 cm. Hitta AC?

Lösning:

I △ABC, DE || FÖRE KRISTUS.

AD/DB = AE/EC (genom Thales sats)

2,5/3 = 3,75/x, där EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

Följaktligen är AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Fråga 2: I figur 1 DE || FÖRE KRISTUS. Om AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm och AC = 9 cm. Hitta AE?

Lösning:

Låt AE = x cm.

I △ABC, DE || FÖRE KRISTUS.

Genom Thales sats har vi,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Därav AE = 2,25 cm

Fråga 3: Bevisa att en linje dragen genom mittpunkten av en sida av en triangel (figur 1) parallell med en annan sida delar den tredje sidan.

vad är build-essential ubuntu

Lösning:

Givet en ΔΑΒC där D är mittpunkten av AB och DE || BC, möte AC på E.

ATT BEVISA AE = EC.

Bevis: Sedan DE || BC, enligt Thales sats, har vi:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, givet)

AE/EC = 1

AE = EC

Fråga 4: I den givna figuren 2, AD/DB = AE/EC och ∠ADE = ∠ACB. Bevisa att ABC är en likbent triangel.

Lösning:

Vi har AD/DB = AE/EC DE || BC [genom motsatsen till Thales sats]

∠ADE = ∠ABC (motsvarande ∠s)

Men, ∠ADE = ∠ACB (given).

Därför är ∠ABC = ∠ACB.

Så, AB = AC [sidor som är motsatta mot lika vinklar].

Därför är △ABC en likbent triangel.

Fråga 5: Om D och E är punkter på sidorna AB och AC av △ABC (figur 2) så att AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm och AE = 1,8 cm, visa att DE | | FÖRE KRISTUS.

Lösning:

Givet, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm och AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 och AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Följaktligen, genom motsatsen till Thales sats, DE || FÖRE KRISTUS.

Fråga 6: Bevisa att linjesegmentet som förenar mittpunkterna på två sidor av en triangel (figur 2) är parallellt med den tredje sidan.

Lösning:

I △ABC där D och E är mittpunkterna för AB respektive AC.

Eftersom D och E är mittpunkterna för AB respektive AC, har vi:

AD = DB och AE = EC.

AD/DB = AE/EC (vardera lika med 1)

Följaktligen, genom motsatsen till Thales sats, DE || före Kristus

Viktiga matematikrelaterade länkar:

• Vad är enkelt intresse
• Förlustformel
• Angle Sum Property
• Delbarhet med 11
• Stapeldiagram
• Användning av trigonometri
• Lista över naturliga siffror
• Pythagoras modell
• Matematikprojekt för klass 9

Övningsfrågor Liknande trianglar

Q1. I två liknande trianglar △ABC och △ADE, om DE || BC och AD = 3 cm, AB = 8 cm och AC = 6 cm. Hitta AE.

Q2. I två liknande trianglar △ABC och △PQR, om QR || BC och PQ = 2 cm, AB = 12 cm och AC = 9 cm. Hitta PR.

Q3. I två liknande trianglar ΔABC och ΔAPQ anges sidornas längd som AP = 9 cm , PB = 12 cm och BC = 24 cm. Hitta förhållandet mellan areorna för ΔABC och ΔAPQ.

Q4. I två liknande trianglar ΔABC och ΔAPQ anges sidornas längd som AP = 3 cm , PB = 4 cm och BC = 8 cm. Hitta förhållandet mellan areorna för ΔABC och ΔAPQ.

Sammanfattning – Liknande trianglar

Liknande trianglar är geometriska figurer som delar samma form men skiljer sig i storlek, kännetecknade av lika motsvarande vinklar och proportionellt motsvarande sidor. Nyckelsatser som Angle-Angle (AA), Side-Angle-Side (SAS) och Side-Side-Side (SSS) fastställer kriterier för triangellikhet.

Dessa principer är grundläggande inom områden som teknik, datorgrafik och arkitektur på grund av deras förmåga att bibehålla formintegritet under skalning. Thales’ sats, eller Basic Proportionality Theorem, illustrerar hur en linje parallell med en sida av en triangel delar de andra två proportionellt, vilket ytterligare visar begreppet likhet i trianglar.

Liknande trianglar är avgörande för praktiska tillämpningar som sträcker sig från beräkning av höjder och avstånd i navigering till optimering av design inom teknik och konstruktion, vilket visar deras vittgående relevans i både akademiska och verkliga sammanhang.

Liknande trianglar – Vanliga frågor

Vad är liknande trianglar klass 10?

Liknande trianglar är trianglarna som gav alla vinklar lika och deras sidor är i ett gemensamt förhållande. De har en liknande form men inte ett liknande område.

Vad är formler för liknande trianglar?

Liknande triangelformler är de formler som talar om för oss om två trianglar är lika eller inte. För två trianglar △ABC och △XYZ är formlerna för liknande trianglar,

• ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y och ∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Vilken symbol används för att representera liknande trianglar?

Liknande trianglar representeras med '~'-symbolen. Om två trianglar △ABC och △XYZ är lika representerar vi dem som, △ABC ~ △XYZ, den läses som triangel ABC liknande triangeln XYZ.

Vad är 3 liknande triangelsatser?

Vi kan enkelt bevisa att två trianglar är lika genom att använda tre triangelsatsen som är,

exekvera skriptskal

• AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
• SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
• SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Vilka egenskaper har liknande trianglar?

De viktiga egenskaperna hos den liknande triangeln är,

• Liknande trianglar har fasta former men deras storlekar kan vara olika.
• Motsvarande vinklar är lika i en liknande triangel.
• Motsvarande sidor är i gemensamma förhållanden i en liknande triangel.

Hur vet man om två trianglar är lika?

Om alla vinklar i en triangel är lika kan vi enkelt säga att trianglar är lika.

Vilka trianglar är alltid lika?

Triangeln som alltid är lika är en liksidig triangel. Eftersom alla vinklar i de liksidiga trianglarna alltid är 60 grader är alla två liksidiga trianglar alltid lika.

Vad är liknande trianglar area?

Förhållandet mellan arean av två liknande trianglar är alltid lika med förhållandet mellan kvadraterna på deras sidor. För två trianglar △ABC och △XYZ kan vi säga att,

• area △ABC / area △XYZ = (AB / XY)²

Vad är liknande triangelkriterier?

Kriterier för liknande trianglar är kriterierna där vi kan deklarera tre trianglar som liknande trianglar och dessa tre kriterier är,

• AAA-kriterier (Angle-Angle-Criteria)
• SAS Criteria (Side-Angle-Side Criteria)
• SSS-kriterier (Side-Side-Side Criteria)

Vem är fadern till liknande trianglar?

Euklid, den antika grekiske matematikern som ofta kallas geometrins fader, gav grundläggande principer för att förstå liknande trianglar i sitt arbete Elements.

Är liknande trianglar proportionella?

Ja, liknande trianglar är proportionella. Detta betyder att motsvarande sidor i liknande trianglar är i proportion, vilket innebär att förhållandet mellan motsvarande sidor i liknande trianglar förblir konstant.

Vilka trianglar är alltid lika?

Trianglar som har samma tre vinklar är alltid lika. Detta är en grundläggande egenskap som kallas likhetskriteriet Angle-Angle (AA).

Är alla räta trianglar lika?

Nej, alla räta trianglar är inte lika. Medan räta trianglar med samma spetsiga vinklar är lika, kan längden på hypotenusan och förhållandet mellan sidolängderna skilja sig, vilket leder till olikhet mellan räta trianglar.

Vad är förhållandet mellan två liknande trianglar?

Förhållandet mellan två motsvarande sidor i liknande trianglar förblir konstant. Det betyder att om du tar motsvarande sidor av liknande trianglar och bildar ett förhållande, blir resultatet alltid detsamma, oavsett vilka specifika sidlängder som väljs.