Boolesk algebra är en typ av algebra som skapas genom att man använder det binära systemet. År 1854 föreslog George Boole, en engelsk matematiker, denna algebra. Detta är en variant av Aristoteles propositionella logik som använder symbolerna 0 och 1, eller Sant och Falskt. Boolesk algebra handlar om binära variabler och logiska operationer.

Boolean algebra är grundläggande i utvecklingen av digitala elektroniksystem eftersom de alla använder konceptet boolesk algebra för att utföra kommandon. Förutom digital elektronik finner denna algebra också sin tillämpning inom mängdteori, statistik och andra grenar av matematik.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om grundläggande booleska operationer, booleska uttryck, sanningstabeller, booleska lagar och andra i detalj.

Innehållsförteckning

• Boolean Algebra Operations
• Tabell över booleska Algbera
• booleskt uttryck och variabler
• Booleska algebraterminologier
• Sanningstabeller i boolesk algebra
• Booleska algebraregler
• Lagar för boolesk algebra
• Booleska algebrasatser
• Lösta exempel på boolesk algebra

Boolean Algebra Operations

Det finns olika operationer som används i boolesk algebra men de grundläggande operationerna som utgör basen för boolesk algebra är.

• Negation eller INTE Drift
• Samband eller OCH-drift
• Åtskiljande eller ELLER-operation

Boolean algebra uttryck

Kolla upp: Grunderna i boolesk algebra i digital elektronik

Dessa operationer har sina egna symboler och prioritet och tabellen nedan visar symbolen och prioritet för dessa operatörer.

Vi kan enkelt definiera dessa operationer med hjälp av två booleska variabler.

Låt oss ta två booleska variabler A och B som kan ha något av de två värdena 0 eller 1, dvs de kan vara antingen AV eller PÅ. Sedan förklaras dessa operationer som,

Negation eller NOT-drift

Använda INTE operation vänder värdet på den booleska variabeln från 0 till 1 eller vice versa. Detta kan förstås som:

• Om A = 1, då använder vi NOT-operationen (A)' = 0

• Om A = 0, har vi med NOT-operationen (A)' = 1
• Vi representerar också negationsoperationen som ~A, dvs om A = 1, ~A = 0

Kolla upp: Egenskaper för boolesk algebra

Konjunktion eller AND-drift

Använda OCH operation uppfyller villkoret om både värdet på de individuella variablerna är sant och om något av värdet är falskt ger denna operation det negativa resultatet. Detta kan förstås som

• Om A = Sant, B = Sant, då A . B = Sant

• Om A = Sant, B = Falskt, Eller A = Falskt, B = Sant, då A . B = Falskt

• Om A = Falskt, B = Falskt, då A . B = Falskt

Kolla upp: Booleska algebraiska satser

Disjunction (ELLER) Operation

Använda ELLER operationen uppfyller villkoret om något värde av de individuella variablerna är sant, det ger bara ett negativt resultat om båda värdena är falska. Detta kan förstås som

udp-protokoll

• Om A = Sant, B = Sant, då är A + B = Sant

• Om A = Sant, B = Falskt, Eller A = Falskt, B = Sant, då är A + B = Sant

• Om A = Falskt, B = Falskt, så är A + B = Falskt

Tabell över boolesk algebra

Nedan ges uttrycket för den booleska algebra

booleskt uttryck och variabler

Booleskt uttryck är ett uttryck som producerar ett booleskt värde när det utvärderas, dvs det producerar antingen ett sant värde eller ett falskt värde. Medan booleska variabler är variabler som lagrar booleska tal.

P + Q = R är en boolesk fras där P, Q och R är booleska variabler som bara kan lagra två värden: 0 och 1. 0 och 1 är synonymerna för falskt och sant och används i boolesk algebra, ibland vi använder också Ja i stället för Sant och Nej i stället för Falskt.

Således kan vi säga att påståenden som använder booleska variabler och arbetar på booleska operationer är booleska uttryck. Några exempel på booleska uttryck är,

• A + B = Sant
• A.B = Sant
• (A)' = Falskt

Kolla upp: Axiom för boolesk algebra

Booleska algebraterminologier

Det finns olika terminologier relaterade till boolesk algebra, som används för att förklara olika parametrar för boolesk algebra . Det inkluderar,

• boolesk algebra
• Booleska variabler
• Boolesk funktion
• Bokstavlig
• Komplement
• Sanningstabell

Nu kommer vi att diskutera de viktiga terminologierna för boolesk algebra i artikeln nedan,

boolesk algebra

Den gren av algebra som behandlar binära operationer eller logiska operationer kallas boolesk algebra. Det introducerades av George Boole i mitten av 1800-talet. Den används för att analysera och manipulera logiska funktioner i binära variabler. Det används flitigt inom olika områden såsom digital logikdesign, datavetenskap och telekommunikation.

Booleska variabler

Variabler som används i boolesk algebra som lagrar det logiska värdet av 0 och 1 kallas booleska variabler. De används för att lagra antingen sanna eller falska värden. Booleska variabler är grundläggande för att representera logiska tillstånd eller propositioner i booleska uttryck och funktioner.

Boolesk funktion

En funktion av den booleska algebra som bildas genom användning av booleska variabler och booleska operatorer kallas den booleska funktionen. Den bildas genom att kombinera booleska variabler och logiska uttryck som AND, OR och NOT. Den används för att modellera logiska relationer, villkor eller operationer.

Bokstavlig

En variabel eller komplementet till variabeln i boolesk algebra kallas bokstavlig. Bokstaver är de grundläggande byggstenarna i de booleska uttrycken och funktionerna. De representerar operanderna i logiska operationer.

Komplement

Inversen av den booleska variabeln kallas komplementet till variabeln. Komplementet till 0 är 1 och komplementet till 1 är 0. Det representeras av ' eller (¬) över variabeln. Komplement används för att representera logiska negationer i booleska uttryck och funktioner.

Sanningstabell

Tabell som innehåller alla möjliga värden för de logiska variablerna och kombinationen av variabeln tillsammans med den givna operationen kallas sanningstabellen. Antalet rader i sanningstabellen beror på det totala antalet booleska variabler som används i den funktionen. Det ges genom att använda formeln,

Antal rader i sanningstabellen = 2 ⁿ

där n är antalet booleska variabler som används.

Kolla upp:

• Mängdteori
• Statistik

Sanningstabeller i boolesk algebra

En sanningstabell representerar alla kombinationer av ingångsvärden och utdata i tabellform. Alla möjligheter för input och output visas i den och därav namnet sanningstabell. I logiska problem används sanningstabeller vanligtvis för att representera olika fall. T eller 1 anger 'Sant' & F eller 0 betecknar 'False' i sanningstabellen.

Exempel: Rita sanningstabellen för villkoren A + B och A.B där A och b är booleska variabler.

Lösning:

Den nödvändiga sanningstabellen är,

Booleska algebraregler

I boolesk algebra finns det olika grundläggande regler för logiska uttryck.

• Binär representation: I boolesk algebra kan variablerna bara ha två värden, antingen 0 eller 1 där 0 representerar Låg och 1 representerar hög. Dessa variabler representerar logiska tillstånd i systemet.
• Komplettera representation: Komplementet av variablerna representeras av (¬) eller (‘) över variabeln. Detta indikerar logisk negation eller inversion av variabelns värde. Så komplement till variabel A kan representeras avoverline{A},om värdet på A=0 är dess komplement 1.
• ELLER Operation: ELLER-operationen representeras av (+) mellan variablerna. ELLER-operationen returnerar sant om minst en av operanderna är sann. För exempel låt oss ta tre variabler A,B,C ELLER-operationen kan representeras som A+B+C.
• OCH Drift: OCH-operationen betecknas med (.) mellan variablerna. AND-operation returnerar bara sant om alla operander är sanna. För exempel, låt oss ta tre variabler A,B,C OCH-operationen kan representeras A.B.C eller ABC.

Lagar för boolesk algebra

De grundläggande lagarna för den booleska algebra läggs till i tabellen nedan,

Låt oss lära oss om dessa lagar i detalj.

Identitetslag

I den booleska algebra har vi identitetselement för både AND(.) och OR(+) operationer. Identitetslagen säger att vi i boolesk algebra har sådana variabler att vi vid drift med AND och OR operation får samma resultat, d.v.s.

• A + 0 = A
• A.1 = A

Kommutativ lag

Binära variabler i boolesk algebra följer den kommutativa lagen. Denna lag säger att drift av booleska variabler A och B liknar att driva booleska variabler B och A. Det vill säga,

• A.B = B.A
• A + B = B + A

Associativ lag

Associativ lag säger att ordningen för att utföra boolesk operator är ologisk eftersom resultatet alltid är detsamma. Detta kan förstås som

• (A.B). C = A. ( FÖRE KRISTUS )
• ( A + B ) + C = A + ( B + C)

Distributiv lag

Booleska variabler följer också den distribuerande lagen och uttrycket för Distributiv lag ges som:

• A . ( B + C) = (A . B) + (A . C)

Inversionslag

Inversionslag är den unika lagen för boolesk algebra, denna lag säger att komplementet till komplementet till ett tal är själva talet.

• (A’)’ = A

Förutom dessa andra lagar nämns nedan:

OCH lag

AND-lagen i den booleska algebra använder AND-operatorn och AND-lagen är,

• A . 0 = 0
• A . 1 = A
• A . A = A

ELLER lag

OR-lagen i den booleska algebra använder OR-operator och OR-lagen är,

• A + 0 = A
• A + 1 = 1
• A + A = A

De Morgans lagar kallas också Från Morgans sats . De är de viktigaste lagarna i boolesk algebra och dessa läggs till nedan under rubriken Boolean Algebra Theorem

Booleska algebrasatser

Det finns två grundläggande satser av stor betydelse i boolesk algebra, som är De Morgans första lagar och De Morgans andra lagar. Dessa kallas också De Morgans satser. Låt oss nu lära oss om båda i detalj.

powershell vs bash

De Morgans första lagar

(P.Q)' = (P)' + (Q)'

• Egenskaper för boolesk algebra
• Principen för matematisk induktion
• Logiska grindar

Lösta exempel på boolesk algebra

Rita sanningstabell för P + P.Q = P

Lösning:

Sanningstabellen för P + P.Q = P

P	F	P.Q	P + P.Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	F
F	F	F	F

I sanningstabellen kan vi se att sanningsvärdena för P + P.Q är exakt samma som P.

Rita sanningstabell för P.Q + P + Q

Lösning:

Sanningstabellen för P.Q + P + Q

P	F	P.Q	P.Q + P + Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	F

Lösa extbf{(overline{A} + B cdot C)}

Lösning:

Använder De Morgans lag

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Använder distribuerande lag

byte array till sträng

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Så det förenklade uttrycket för den givna ekvationenoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Slutsats

Boolean algebra fungerar som ett grundläggande ramverk för att representera och manipulera logiska uttryck med hjälp av binära variabler och logiska operatorer. Det spelar en avgörande roll inom olika områden som digital logikdesign, datorprogrammering och kretsanalys. Genom att tillhandahålla ett systematiskt sätt att beskriva och analysera logiska samband, möjliggör Boolean Algebra utveckling av komplexa system och algoritmer. Dess principer och funktioner, inklusive AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR och XNOR, utgör byggstenarna för att designa logiska kretsar, skriva effektiv kod och lösa logiska problem.

Boolean algebra – vanliga frågor

Vad är boolesk algebra?

Boolean algebra kallas också Logisk algebra är en gren av matematiken som behandlar booleska variabler som 0 och 1.

Vad är huvudbooleska operatörer?

Det finns tre huvudsakliga booleska operatörer som är,

• AND (konjunktion)
• ELLER (Disjunktion)
• INTE (Negation)

Hur minimerar man boolesk funktion?

Det finns flera metoder för att minimera booleska funktioner, inklusive:

• Algebraisk förenkling:
• Karnaugh Maps (K-Maps):
• Quine-McCluskey Algoritm:
• Tabulationsmetod:
• Bry dig inte om villkor:

Vilka är tillämpningar av boolesk algebra?

boolesk algebra har olika tillämpningar. Det används för att förenkla logiska kretsar som är ryggraden i modern teknik.

Vad representerar 0 i boolesk algebra?

0 tum boolesk algebra representerar ett falskt tillstånd eller representerar avstängningsvillkoret.

Vad representerar 1 i boolesk algebra?

Den 1 tum boolesk algebra representerar ett sant tillstånd eller det representerar påslagningsvillkoret.

Vilka är booleska algebralagar?

Booleska algebralagar är regler för att manipulera logiska uttryck med binära variabler, säkerställa konsekvens och förenkling i operationer som addition, multiplikation och komplement, avgörande inom områden som digital elektronik och datavetenskap.

Vilka är de 5 lagarna för boolesk algebra?

Boolesk algebra styrs av fem primära lagar, som fungerar som grunden för att manipulera logiska uttryck:

1. Identitetslag för AND

2. Identitetslag för OR

3. Kompletterande lag för AND

4. Komplettera lag för OR

5. Idempotent lag

Vilka är de tre lagarna i boolesk logik?

De tre grundläggande lagarna i boolesk logik är

• Identitetslagen (att addera noll eller multiplicera med ett förblir variabeln oförändrad)
• Dominationslagen (att lägga till en variabel till dess komplement resulterar i 1 och multiplicera den med dess komplement resulterar i 0)
• Den kommutativa lagen (variablernas ordning kan ändras i addition eller multiplikation utan att resultatet ändras).

Vad är De Morgans sats?

De Morgans teorem säger att t komplementet av en logisk AND-operation är ekvivalent med ELLER-operationen för komplementen till de individuella termerna, och vice versa. Det är en grundläggande princip i boolesk algebra som används för att förenkla logiska uttryck och optimera logiska kretsar.