logo

TechCodeview

Principen för matematisk induktion

Matematisk induktion är ett begrepp inom matematiken som används för att bevisa olika matematiska påståenden och satser. Principen för matematisk induktion kallas ibland PMI. Det är en teknik som används för att bevisa de grundläggande satserna i matematik som involverar lösningen upp till n ändliga naturliga termer.

Principen för matematisk induktion används i stor utsträckning för att bevisa olika påståenden som summan av först n naturliga tal ges av formeln n(n+1)/2. Detta kan enkelt bevisas med hjälp av principen om matematisk induktion.

I den här artikeln kommer vi att lära oss om principen för matematisk induktion, dess uttalande, dess exempel och andra i detalj.



Innehållsförteckning

Vad är matematisk induktion?

Matematisk induktion är en av de grundläggande metoderna för att skriva bevis och den används för att bevisa ett givet påstående om alla välorganiserade uppsättningar. I allmänhet används det för att bevisa resultat eller fastställa påståenden som är formulerade i termer av n , där n är ett naturligt tal.

Antag att P(n) är ett påstående för n naturliga tal så kan det bevisas med hjälp av principen för matematisk induktion, först kommer vi att bevisa för P(1) och sedan låta P(k) vara sant och sedan bevisa för P(k+1) . Om P(k+1) gäller så säger vi att P(n) är sant enligt principen om matematisk induktion.

Vi kan jämföra matematisk induktion med fallande dominobrickor. När en domino faller, slår den ner nästa domino i följd. Den första dominon slår ner den andra, den andra slår ner den tredje och så vidare. I slutändan kommer alla dominobrickor att kastas över. Men det finns några villkor som måste uppfyllas:

  • Grundsteget är att startdominon måste falla för att sätta igång knackningsprocessen.
  • Avståndet mellan dominobrickor måste vara lika för två intilliggande dominobrickor. Annars kan en viss domino ramla ner utan att bowla under nästa. Då upphör reaktionssekvensen. Genom att bibehålla det lika stora avståndet mellan dominotyperna säkerställs att P(k) ⇒ P(k + 1) för varje heltal k ≥ a. Detta är det induktiva steget.

Principen för matematisk induktionssats

Varje påstående P(n) som är för n naturligt tal kan bevisas med hjälp av principen om matematisk induktion genom att följa stegen nedan,

Steg 1: Kontrollera om påståendet är sant för triviala fall ( n = 1) dvs kontrollera om P(1) är sant.

Steg 2: Antag att påståendet är sant för n = k för något k ≥ 1, dvs. P(k) är sant.

Steg 3: Om sanningen av P(k) antyder sanningen av P(k + 1), så är påståendet P(n) sant för alla n ≥ 1 .

Bilden som läggs till nedan innehåller alla steg för matematisk induktion

Det första påståendet är faktumet och om det inte är möjligt för alla P(n) att vara sanna vid n = 1 så är dessa påståenden sanna för vissa andra värden på n, säg n = 2, n = 3 och andra.

Om påståendet är sant för P(k) så om P(k+1) bevisas vara sant så säger vi att P(n) är sant för alla n som hör till naturliga tal (N)

Matematiska induktionssteg

Olika steg som används i matematisk induktion namnges därefter. Namnen på de olika stegen som används i principen för matematisk induktion är,

  • Bassteg: Bevisa att P(k) är sant för k =1
  • Antagande steg: Låt P(k) vara sant för alla k i N och k> 1
  • Induktionssteg: Bevisa att P(k+1) är sant med hjälp av grundläggande matematiska egenskaper.

Om ovanstående tre steg bevisas kan vi säga att med principen om matematisk induktion är P(n) sant för alla n som hör till N.

Exempel på matematisk induktion

Matematisk induktion används för att bevisa olika påståenden vi kan lära oss detta med hjälp av följande exempel.

För ett positivt heltal n, bevisa att n3+ 2n är alltid delbart med 3

Lösning:

Låt P(n): n3+ 2n är delbart med 3 för det givna påståendet.

Steg 1: Grundläggande steg

Först bevisar vi att P(1) är sant. Låt n = 1 i n3+ 2n
= 13+ 2(1)
= 3

Eftersom 3 är delbart med 3. Därför är P(1) sant.

Steg 2: Antagande Steg

Låt oss anta att P(k) är sant

Sedan, k3+ 2k är delbart med 3

Därför kan vi skriva det som k3+ 2k = 3n, (där n är vilket positivt heltal som helst)...(i)

hur mycket väger kat timpf

Steg 3: Induktionssteg

Nu måste vi bevisa det algebraiska uttrycket (k + 1)3+ 2(k + 1) är delbart med 3

= (k + 1)3+ 2(k + 1)

= k3+ 3k2+ 5k + 3

= (k3+ 2 k) + (3 k2+ 3k + 3)

från eq(i)

= 3n + 3(k2+ k + 1)

= 3(n + k2+ k + 1)

Eftersom det är en multipel av 3 kan vi säga att det är delbart med 3.

Således är P(k+1) sant, dvs (k + 1)3+ 2(k + 1) är att vara delbart med 3. Nu genom principen om matematisk induktion kan vi säga att P(n): n3+ 2n är delbart med 3 är sant.

Läs mer,

Lösta exempel på matematisk induktion

Exempel 1: För alla n ≥ 1, bevisa att, 1 2 + 2 2 + 3 2 +….+n 2 = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Lösning:

Låt det givna påståendet vara P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Låt oss nu ta ett positivt heltal, k, och anta att P(k) är sant, dvs.

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Vi ska nu bevisa att P(k + 1) också är sant, så nu har vi,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)2

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Således är P(k + 1) sant, närhelst P(k) är sant för alla naturliga tal. Därför, genom processen med matematisk induktion, är det givna resultatet sant för alla naturliga tal.

Exempel 2: För alla n ≥ 1, bevisa att 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+...+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Lösning:

Låt det givna påståendet vara S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Låt oss nu ta ett positivt heltal, k, och anta att S(k) är sant, dvs.

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Vi ska nu bevisa att S(k + 1) också är sant, så nu har vi,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Således är S(k + 1) sant, närhelst S(k) är sant för alla naturliga tal. Och vi visade inledningsvis att S(1) är sant så S(n) är sant för alla naturliga tal.

Exempel 3: För alla n ≥ 1, bevisa att 1 + 3 + 5 +... + 2n – 1 = n 2

Lösning:

java len av array

Låt det givna påståendet vara S(n),

och S(n) = 1 + 3 + 5+... +2n – 1 = n2

För n = 1, 2 × 1 – 1 = 12Således är S(1) sant.

Låt oss nu ta ett positivt heltal, k, och anta att S(k) är sant, dvs.

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k2

Vi ska nu bevisa att S(k + 1) också är sant, så nu har vi,

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k2+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)2

⇒ L.H.S = R.H.S

Således är S(k + 1) sant, närhelst S(k) är sant för alla naturliga tal. Och vi visade inledningsvis att S(1) är sant så S(n) är sant för alla naturliga tal.

Exempel 4: För alla n ≥ 1, bevisa att 1,2 + 2,3 + 3,4 +...+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Lösning:

Låt det givna påståendet vara S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Låt oss nu ta ett positivt heltal, k, och anta att S(k) är sant, dvs.

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Vi ska nu bevisa att S(k + 1) också är sant, så nu har vi,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Således är S(k + 1) sant, närhelst S(k) är sant för alla naturliga tal. Och vi visade inledningsvis att S(1) är sant så S(n) är sant för alla naturliga tal.

Exempel 5: Bevisa a n = a 1 + (n – 1) d, är den allmänna termen för varje aritmetisk sekvens.

Lösning:

För n = 1 har vi an= a1+ (1 – 1) d = a1, så formeln är sann för n = 1,

Låt oss anta att formeln ak= a1+ (k – 1) är sant för alla naturliga tal.

Vi ska nu bevisa att formeln också är sann för k+1, så nu har vi,

ak + 1= a1+ [(k + 1) – 1] d = a1+ k · d.

Vi antog att ak= a1+ (k – 1) d, och enligt definitionen av en aritmetisk sekvens ak+ 1– ak= d,

Då enk + 1– ak

= (a1+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a1– a1+ kd – kd + d
= d

Således är formeln sann för k + 1, närhelst den är sann för k. Och vi visade först att formeln är sann för n = 1. Formeln är alltså sann för alla naturliga tal.

Vanliga frågor om matematisk induktion

Vad är den matematiska induktionsprincipen?

Principen för matematisk induktion är en princip som säger att för varje påstående P(n) om det är sant för något godtyckligt värde 'a' om P(a) är sant och om vi tar P(k) för att vara sant så genom att bevisa P( k+1) för att vara sann kan vi bevisa att P(n) är sann för alla n ≥ a, och n som hör till naturliga tal.

Vad är användningen av matematisk induktion?

Matematisk induktion är den grundläggande principen som används i matematik för att bevisa de grundläggande påståendena i matematik som inte lätt kan bevisas på andra sätt.

Vad är principen för matematisk induktion i matriser?

Principen för matematisk induktion i matriser är en grundläggande princip som används för att bevisa de grundläggande påståendena i matriser som inte lätt kan bevisas på andra sätt.

Hur tillämpar man principen om matematisk induktion?

Principen för matematisk induktion används för att bevisa matematiska påståenden, anta att vi måste bevisa ett påstående P(n) då är stegen som tillämpas,

Steg 1: Bevisa att P(k) är sant för k =1

Steg 2: Låt P(k) vara sant för alla k i N och k> 1

Steg 3: Bevisa att P(k+1) är sant med hjälp av grundläggande matematiska egenskaper.

Alltså, om P(k+1) är sant så säger vi att P(n) är sant.

Vilka är stegen för att lösa ett problem med matematisk induktion?

Tre grundläggande steg som används i matematisk induktion är

  • Bassteg
  • Antagande Steg
  • Induktionssteg