Låt A, B och C vara mängder, och låt R vara en relation från A till B och låt S vara en relation från B till C. Det vill säga, R är en delmängd av A × B och S är en delmängd av B × C. Då ger R och S upphov till en relation från A till C indikerad med R◦S och definierad av:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

Relationen R◦S är känd sammansättningen av R och S; det betecknas ibland helt enkelt med RS.

Låt R är en relation på en mängd A, det vill säga R är en relation från en mängd A till sig själv. Då representeras alltid R◦R, sammansättningen av R med sig själv. Dessutom betecknas R◦R ibland med R². På samma sätt, R³= R²◦R = R◦R◦R, och så vidare. Alltså Rⁿdefinieras för alla positiva n.

Exempel 1: Låt X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} och Z = {l, m, n}. Tänk på förhållandet R₁från X till Y och R₂från Y till Ö.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Hitta relationens sammansättning (i) R₁den R₂ (ii) R₁den R₁^-1

Lösning:

(i) Sammansättningsrelationen R₁den R₂som visas i fig:

R₁den R₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) Sammansättningsrelationen R₁den R₁^-1som visas i fig:

R₁den R₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Sammansättning av relationer och matriser

Det finns ett annat sätt att hitta R◦S. Låt M_Roch M_Sbeteckna matrisrepresentationerna av relationerna R och S. Därefter

Exempel

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Lösning: Matriserna för relationen R och S visas i fig.

(i) För att erhålla sammansättningen av relationen R och S. Multiplicera först M_Rmed M_Sför att få matrisen M_Rx M_Ssom visas i fig:

matrismultiplikation i c

Posterna som inte är noll i matrisen M_Rx M_Sberättar de element som är relaterade i RoS. Så,

Därför är sammansättningen R o S av relationen R och S

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Multiplicera först matrisen M_Rav sig själv, såsom visas i fig

Därför är sammansättningen R o R av relationen R och S

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Multiplicera matrisen M_Smed M_Rför att få matrisen M_Sx M_Rsom visas i fig:

Posterna som inte är noll i matris M_Sx M_Rberättar de element som är relaterade i S o R.

Därför är sammansättningen S o R av relationen S och R

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.